Basis für Im(D) < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $ V := [mm] P_3(\IR) [/mm] $. Für jedes Funktion $ f(x) [mm] \in [/mm] V $ definieren wir
$ D(f(x)) = f''(x) + 3f'(x) + 2f(x) $.
Gib eine Basis für $ Im(D) $. Ist $D$ surjektiv? |
Hallo alle :)
Ich bin folgendermaßen vorgegangen.
Wir wissen, dass die Monome $ [mm] x^3, x^2, [/mm] x $ und $1$ ein minimales Erzeugendensystem fpr $ [mm] P_3(\IR) [/mm] $ bilden (und sogar eine Basis). Daher muss gelten, dass
$ [mm] \{D(x^3), D(x^2), D(x), D(1)\} [/mm] $
auch ein minimales EZS für $Im(D)$ bilden. Der Beweis hierzu müsste direkt aus der Definition einer linearen Abbildung folgen (dass $D$ eine lineare Abbildung ist, habe ich schon gezeigt):
$ Im(D) $ wird definiert als
$ Im(D) := [mm] \{D(v) | v \in V\} [/mm] = [mm] \D{a_1v_1, \ldots, a_nv_n | a_i \in \IR\} [/mm] = [mm] \{a_1D(v_1) + \ldots + a_nD(v_n) | a_i \in \IR\} [/mm] = [mm] [/mm] $
Hieraus folgt oben genannte Annahme. Also kriegen wir aus der Definition der lin. Abbildung:
$ D(1) = 2 $
$ D(x) = 3+2x $
$ [mm] D(x^2) [/mm] = [mm] 2+6x+2x^2 [/mm] $ und
$ [mm] D(x^3) [/mm] = [mm] 6x+9x^2+2x^3 [/mm] $.
Die lineare Unabhängigkeit der vier Funktionen zeige ich, indem ich beweise, dass die Gleichung
$ [mm] a_1(2)+a_2(3+2x)+a_3(2+6x+2x^2)+a_4(6x+9x^2+2x^3) [/mm] = 0 $
nur erfüllt werden kann, wenn $ [mm] a_1, a_2, a_3, a_4 \in \IR [/mm] $ alle $0$ ergeben. Das lineare Gleichungssystem
$ [mm] 2a_1+0a_2+0a_3+0a_4=0 [/mm] $
$ [mm] 3a_1+2a_2+0a_3+0a_4=0 [/mm] $
$ [mm] 2a_1+6a_2+2a_3+0a_4=0 [/mm] $
$ [mm] 0a_1+6a_2+9a_3+2a_4=0 [/mm] $
zeigt uns sofort, dass gilt $ [mm] a_1 [/mm] = [mm] a_2 [/mm] = [mm] a_3 [/mm] = [mm] a_4 [/mm] = 0$. Die vier Funktionen sind also linear unabhängig. Zusammen mit der Tatsache, dass sie auch ein min. EZS für [mm] $P_3(\IR)$ [/mm] bilden, kann man also sagen, dass sie eine Basis für [mm] $P_3(\IR)$ [/mm] sind.
Um zu kontrollieren, ob $D$ surjektiv ist, kann man aus dem Satz
$ [mm] dim(P_3(\IR)) [/mm] = dim(Ker(D)) + dim(Im(D)) $
folgern, dass $dim(Im(D)) = 4$, weil [mm] $dim(P_3(\IR)) [/mm] = 4$ (wegen der Basis aus den o.g. vier Monomen) und $dim(Ker(D)) = 0$ (haben wir schon gezeigt, weil der Kern nur den Nullvektor enthält). Weil $Im(D)$ und [mm] $P_3(\IR)$ [/mm] dieselbe Dimension haben, kann gefolgert werden, dass $ [mm] P_3(\IR) [/mm] = Im(D) $. Hiermit ist dann auch bewiesen, dass jeder Vektor in $Im(D)$ erzeugt werden kann mit mindestens einem Element aus [mm] $P_3(\IR)$ [/mm] (weil sie ja dasselbe sind).
Ist meine Argumentation schlüssig und richtig?
Vielen Dank :)
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> Sei [mm]V := P_3(\IR) [/mm]. Für jedes Funktion [mm]f(x) \in V[/mm]
> definieren wir
>
> [mm]D(f(x)) = f''(x) + 3f'(x) + 2f(x) [/mm].
>
> Gib eine Basis für [mm]Im(D) [/mm]. Ist [mm]D[/mm] surjektiv?
> Hallo alle :)
>
> Ich bin folgendermaßen vorgegangen.
Hallo,
>
> Wir wissen, dass die Monome [mm]x^3, x^2, x[/mm] und [mm]1[/mm] ein minimales
> Erzeugendensystem fpr [mm]P_3(\IR)[/mm] bilden
Ja.
> (und sogar eine
> Basis).
Ein minimales Erzeugendensystem IST eine Basis.
> Daher muss gelten, dass
>
> [mm]\{D(x^3), D(x^2), D(x), D(1)\}[/mm]
>
> auch ein minimales EZS für [mm]Im(D)[/mm] bilden.
Nein, das muß nicht zwingend so sein:
betrachte [mm] T:V\to [/mm] V mit
T(f(x)):=f'(x).
Es ist
[mm] T(x^3)=2x^2, T(x^2)=2x, [/mm] T(x)=1, T(1)=0,
und diese 4 Vektoren sind sicher kein minimals Erzeugendensystem des Bildes von T, denn auf T(1) könnte man offenbar gutverzichten.
Richtig ist: die 4 Vektoren sind ein Erzeugendensystem des Bildes von T.
> Der Beweis hierzu
> müsste direkt aus der Definition einer linearen Abbildung
> folgen (dass [mm]D[/mm] eine lineare Abbildung ist, habe ich schon
> gezeigt):
>
> [mm]Im(D)[/mm] wird definiert als
>
> [mm]Im(D) := \{D(v) | v \in V\} = D\{a_1v_1, \ldots, a_nv_n | a_i \in \IR\} = \{a_1D(v_1) + \ldots + a_nD(v_n) | a_i \in \IR\} = [/mm]
Richtig, [mm] D(v_1), ...D(v_n) [/mm] spannen das Bild auf, sie sind ein Erzeugendensystem.
Aber nicht zwingend ein minimales Erzeugendensystem!
(In einem minimalen Erzeugendensystem wird jeder Vektor gebraucht.)
> Hieraus folgt oben genannte Annahme. Also kriegen wir aus
> der Definition der lin. Abbildung:
>
> [mm]D(1) = 2[/mm]
> [mm]D(x) = 3+2x[/mm]
> [mm]D(x^2) = 2+6x+2x^2[/mm] und
> [mm]D(x^3) = 6x+9x^2+2x^3 [/mm].
>
> Die lineare Unabhängigkeit der vier Funktionen zeige ich,
> indem ich beweise, dass die Gleichung
>
> [mm]a_1(2)+a_2(3+2x)+a_3(2+6x+2x^2)+a_4(6x+9x^2+2x^3) = 0[/mm]
Okay. Dir war nicht klar, daß minimales Erzeugendensystem etwas anderes ist als Erzeugendensystem.
Dir ist jetzt klar, daß die Bilder der Basisvektoren ein Erzeugendensystem des Bildes bilden, und nun beweist Du, daß sie linear unabhängig sind, also eine Basis des Bildes.
>
> nur erfüllt werden kann, wenn [mm]a_1, a_2, a_3, a_4 \in \IR[/mm]
> alle [mm]0[/mm] ergeben. Das lineare Gleichungssystem
>
> [mm]2a_1+0a_2+0a_3+0a_4=0[/mm]
> [mm]3a_1+2a_2+0a_3+0a_4=0[/mm]
> [mm]2a_1+6a_2+2a_3+0a_4=0[/mm]
> [mm]0a_1+6a_2+9a_3+2a_4=0[/mm]
>
> zeigt uns sofort, dass gilt [mm]a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 0[/mm].
Ja.
> Die
> vier Funktionen sind also linear unabhängig. Zusammen mit
> der Tatsache, dass sie auch ein min. EZS für [mm]P_3(\IR)[/mm]
> bilden, kann man also sagen, dass sie eine Basis für
> [mm]P_3(\IR)[/mm] sind.
Ja.
Und da Du gezeigt hast, daß sie eine Basis sind, weißt Du nun auch, daß sie ein minimales Erzeugendensystem sind.
>
> Um zu kontrollieren, ob [mm]D[/mm] surjektiv ist,
müßten wir erstmal wissen, wie D definiert ist.
Du hast es gar nicht angegeben.
Es ist nämlich ein riesengroßer Unterschied, ob wir
[mm] D:P_3(\IR)\to P_3(\IR) [/mm] betrachten, also einen Endomorphismus von V,
oder womöglich [mm] D:P_3(\IR)\to P_7(\IR).
[/mm]
Merke: immer den kompletten Aufgabentext posten. Es gibt sonst unnötige Verwirrungen.
> kann man aus dem
> Satz
>
> [mm]dim(P_3(\IR)) = dim(Ker(D)) + dim(Im(D))[/mm]
>
> folgern, dass [mm]dim(Im(D)) = 4[/mm], weil [mm]dim(P_3(\IR)) = 4[/mm] (wegen
> der Basis aus den o.g. vier Monomen) und [mm]dim(Ker(D)) = 0[/mm]
> (haben wir schon gezeigt, weil der Kern nur den Nullvektor
> enthält).
In einer vorhergehenden Teilaufgabe wurde das gezeigt?
Dann hättest Du Dir das ganze vorangehende "Gedöns" sparen können und hättest sofort gewußt:
es gilt [mm] dim(P_3(\IR)) [/mm] = dim(Ker(D)) + dim(Im(D)), also haben wir 4=0+dim(Im(D)), dh. dim(Im(D))=4.
> Weil [mm]Im(D)[/mm] und [mm]P_3(\IR)[/mm] dieselbe Dimension
> haben, kann gefolgert werden, dass [mm]P_3(\IR) = Im(D) [/mm].
Nein. Das gilt nur, wenn wir in den [mm] P_3(\IR) [/mm] abbilden: da in diesem Falle Im(D) ein vierdimensionaler Unterraum des [mm] P_3(\IR) [/mm] ist, muß es der [mm] P_3(\IR) [/mm] selbst sein.
Es ist in diesem Falle also D(V)=V, und damit ist D surjektiv.
(Vielleicht war auch der Satz für Endomorphismen f von endlichdimensionalen Vektorräumen dran:
f [mm] injektiv\gdw [/mm] f [mm] surjektiv\gdw [/mm] f bijektiv.)
Wenn Du aber in den [mm] P_7(\IR) [/mm] abbildest, klappt diese Argumentation nicht.
LG Angela
> Hiermit ist dann auch bewiesen, dass jeder Vektor in [mm]Im(D)[/mm]
> erzeugt werden kann mit mindestens einem Element aus
> [mm]P_3(\IR)[/mm] (weil sie ja dasselbe sind).
>
> Ist meine Argumentation schlüssig und richtig?
>
> Vielen Dank :)
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> > Sei [mm]V := P_3(\IR) [/mm]. Für jedes Funktion [mm]f(x) \in V[/mm]
> >
> definieren wir
> >
> > [mm]D(f(x)) = f''(x) + 3f'(x) + 2f(x) [/mm].
> >
> > Gib eine Basis für [mm]Im(D) [/mm]. Ist [mm]D[/mm] surjektiv?
> > Hallo alle :)
> >
> > Ich bin folgendermaßen vorgegangen.
>
> Hallo,
>
> >
> > Wir wissen, dass die Monome [mm]x^3, x^2, x[/mm] und [mm]1[/mm] ein
> minimales
> > Erzeugendensystem fpr [mm]P_3(\IR)[/mm] bilden
>
> Ja.
>
> > (und sogar eine
> > Basis).
>
> Ein minimales Erzeugendensystem IST eine Basis.
>
> > Daher muss gelten, dass
> >
> > [mm]\{D(x^3), D(x^2), D(x), D(1)\}[/mm]
> >
> > auch ein minimales EZS für [mm]Im(D)[/mm] bilden.
>
> Nein, das muß nicht zwingend so sein:
>
> betrachte [mm]T:V\to[/mm] V mit
>
> T(f(x)):=f'(x).
>
> Es ist
>
> [mm]T(x^3)=2x^2, T(x^2)=2x,[/mm] T(x)=1, T(1)=0,
>
> und diese 4 Vektoren sind sicher kein minimals
> Erzeugendensystem des Bildes von T, denn auf T(1) könnte
> man offenbar gutverzichten.
>
> Richtig ist: die 4 Vektoren sind ein Erzeugendensystem des
> Bildes von T.
>
Also, sie sind ein EZS, aber kein minimales EZS, stimmt's?
>
>
>
> > Der Beweis hierzu
> > müsste direkt aus der Definition einer linearen
> Abbildung
> > folgen (dass [mm]D[/mm] eine lineare Abbildung ist, habe ich
> schon
> > gezeigt):
> >
> > [mm]Im(D)[/mm] wird definiert als
> >
> > [mm]Im(D) := \{D(v) | v \in V\} = D\{a_1v_1, \ldots, a_nv_n | a_i \in \IR\} = \{a_1D(v_1) + \ldots + a_nD(v_n) | a_i \in \IR\} = [/mm]
>
> Richtig, [mm]D(v_1), ...D(v_n)[/mm] spannen das Bild auf, sie sind
> ein Erzeugendensystem.
> Aber nicht zwingend ein minimales Erzeugendensystem!
> (In einem minimalen Erzeugendensystem wird jeder Vektor
> gebraucht.)
>
>
> > Hieraus folgt oben genannte Annahme. Also kriegen wir aus
> > der Definition der lin. Abbildung:
> >
> > [mm]D(1) = 2[/mm]
> > [mm]D(x) = 3+2x[/mm]
> > [mm]D(x^2) = 2+6x+2x^2[/mm] und
> > [mm]D(x^3) = 6x+9x^2+2x^3 [/mm].
> >
> > Die lineare Unabhängigkeit der vier Funktionen zeige
> ich,
> > indem ich beweise, dass die Gleichung
> >
> > [mm]a_1(2)+a_2(3+2x)+a_3(2+6x+2x^2)+a_4(6x+9x^2+2x^3) = 0[/mm]
>
> Okay. Dir war nicht klar, daß minimales Erzeugendensystem
> etwas anderes ist als Erzeugendensystem.
> Dir ist jetzt klar, daß die Bilder der Basisvektoren ein
> Erzeugendensystem des Bildes bilden, und nun beweist Du,
> daß sie linear unabhängig sind, also eine Basis des
> Bildes.
>
Das heißt, dass ein EZS, das unabhängig ist, ein minimales EZS ist? Ich frage noch mal nach, um es wirklich richtig zu verstehen. Nicht, dass ich mir hinterher was merke, was ich falsch verstanden habe.
> >
> > nur erfüllt werden kann, wenn [mm]a_1, a_2, a_3, a_4 \in \IR[/mm]
>
> > alle [mm]0[/mm] ergeben. Das lineare Gleichungssystem
> >
> > [mm]2a_1+0a_2+0a_3+0a_4=0[/mm]
> > [mm]3a_1+2a_2+0a_3+0a_4=0[/mm]
> > [mm]2a_1+6a_2+2a_3+0a_4=0[/mm]
> > [mm]0a_1+6a_2+9a_3+2a_4=0[/mm]
> >
> > zeigt uns sofort, dass gilt [mm]a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 0[/mm].
>
> Ja.
>
>
> > Die
> > vier Funktionen sind also linear unabhängig. Zusammen
> mit
> > der Tatsache, dass sie auch ein min. EZS für [mm]P_3(\IR)[/mm]
> > bilden, kann man also sagen, dass sie eine Basis für
> > [mm]P_3(\IR)[/mm] sind.
>
> Ja.
> Und da Du gezeigt hast, daß sie eine Basis sind, weißt
> Du nun auch, daß sie ein minimales Erzeugendensystem
> sind.
>
Was ja dann dasselbe ist, oder?
> >
> > Um zu kontrollieren, ob [mm]D[/mm] surjektiv ist,
>
> müßten wir erstmal wissen, wie D definiert ist.
> Du hast es gar nicht angegeben.
> Es ist nämlich ein riesengroßer Unterschied, ob wir
> [mm]D:P_3(\IR)\to P_3(\IR)[/mm] betrachten, also einen
> Endomorphismus von V,
> oder womöglich [mm]D:P_3(\IR)\to P_7(\IR).[/mm]
>
> Merke: immer den kompletten Aufgabentext posten. Es gibt
> sonst unnötige Verwirrungen.
Alles klar. $D$ wird definiert als
$ D : V [mm] \to [/mm] V $, wobei $ V := [mm] P_3(\IR) [/mm] $.
>
>
> > kann man aus dem
> > Satz
> >
> > [mm]dim(P_3(\IR)) = dim(Ker(D)) + dim(Im(D))[/mm]
> >
> > folgern, dass [mm]dim(Im(D)) = 4[/mm], weil [mm]dim(P_3(\IR)) = 4[/mm]
> (wegen
> > der Basis aus den o.g. vier Monomen) und [mm]dim(Ker(D)) = 0[/mm]
>
> > (haben wir schon gezeigt, weil der Kern nur den Nullvektor
> > enthält).
>
> In einer vorhergehenden Teilaufgabe wurde das gezeigt?
> Dann hättest Du Dir das ganze vorangehende "Gedöns"
> sparen können und hättest sofort gewußt:
>
> es gilt [mm]dim(P_3(\IR))[/mm] = dim(Ker(D)) + dim(Im(D)), also
> haben wir 4=0+dim(Im(D)), dh. dim(Im(D))=4.
>
>
> > Weil [mm]Im(D)[/mm] und [mm]P_3(\IR)[/mm] dieselbe Dimension
> > haben, kann gefolgert werden, dass [mm]P_3(\IR) = Im(D) [/mm].
>
> Nein. Das gilt nur, wenn wir in den [mm]P_3(\IR)[/mm] abbilden: da
> in diesem Falle Im(D) ein vierdimensionaler Unterraum des
> [mm]P_3(\IR)[/mm] ist, muß es der [mm]P_3(\IR)[/mm] selbst sein.
> Es ist in diesem Falle also D(V)=V, und damit ist D
> surjektiv.
>
> (Vielleicht war auch der Satz für Endomorphismen f von
> endlichdimensionalen Vektorräumen dran:
> f [mm]injektiv\gdw[/mm] f [mm]surjektiv\gdw[/mm] f bijektiv.)
>
>
> Wenn Du aber in den [mm]P_7(\IR)[/mm] abbildest, klappt diese
> Argumentation nicht.
>
Da ich ja in den [mm] $P_3(\IR)$ [/mm] abbilde, ist es aber so, dass $ Im(D) = [mm] P_3(\IR)$, [/mm] weil $ dim(Im(D)) = [mm] dim(P_3(\IR))$, [/mm] oder?
> LG Angela
>
>
> > Hiermit ist dann auch bewiesen, dass jeder Vektor in [mm]Im(D)[/mm]
> > erzeugt werden kann mit mindestens einem Element aus
> > [mm]P_3(\IR)[/mm] (weil sie ja dasselbe sind).
> >
> > Ist meine Argumentation schlüssig und richtig?
> >
> > Vielen Dank :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 Sa 27.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > Sei [mm]V := P_3(\IR) [/mm]. Für jedes Funktion [mm]f(x) \in V[/mm]
> >
> >
> > definieren wir
> > >
> > > [mm]D(f(x)) = f''(x) + 3f'(x) + 2f(x) [/mm].
> > >
> > > Gib eine Basis für [mm]Im(D) [/mm]. Ist [mm]D[/mm] surjektiv?
> > > Hallo alle :)
> > >
> > > Ich bin folgendermaßen vorgegangen.
> >
> > Hallo,
> >
> > >
> > > Wir wissen, dass die Monome [mm]x^3, x^2, x[/mm] und [mm]1[/mm] ein
> > minimales
> > > Erzeugendensystem fpr [mm]P_3(\IR)[/mm] bilden
> >
> > Ja.
> >
> > > (und sogar eine
> > > Basis).
> >
> > Ein minimales Erzeugendensystem IST eine Basis.
> >
> > > Daher muss gelten, dass
> > >
> > > [mm]\{D(x^3), D(x^2), D(x), D(1)\}[/mm]
> > >
> > > auch ein minimales EZS für [mm]Im(D)[/mm] bilden.
> >
> > Nein, das muß nicht zwingend so sein:
da braucht man eigentlich keinen großen Kniffe - man nehme die
Nullabbildung
$T [mm] \colon [/mm] V [mm] \to [/mm] V$ mit [mm] $T(f)=0\,,$
[/mm]
wobei die 0 rechterhand das Nullpolynom ist.
Es gibt da aber einen Satz, der sagen würde: Ist die lineare Abbildung
[mm] $T\,$ [/mm] injektiv, so sind Bilder linear unabhängiger Vektoren auch wieder...?
> > betrachte [mm]T:V\to[/mm] V mit
> >
> > T(f(x)):=f'(x).
> >
> > Es ist
> >
> > [mm]T(x^3)=2x^2, T(x^2)=2x,[/mm] T(x)=1, T(1)=0,
> >
> > und diese 4 Vektoren sind sicher kein minimals
> > Erzeugendensystem des Bildes von T, denn auf T(1) könnte
> > man offenbar gutverzichten.
> >
> > Richtig ist: die 4 Vektoren sind ein Erzeugendensystem des
> > Bildes von T.
> >
>
> Also, sie sind ein EZS, aber kein minimales EZS, stimmt's?
Das war der Sinn der Angabe. Wie gesagt, ich empfehle Dir immmer noch,
mal die entsprechenden Kapitel aus Bosch: Lineare Algebra durchzuarbeiten.
(Angela hat oben wohl nicht die Nullabbildung genommen, weil die Basis
des Nullraums [hier darf man wirklich mal DIE sagen - normalerweise muss
man von EINER reden] etwas speziell ist.)
> >
> >
> >
> > > Der Beweis hierzu
> > > müsste direkt aus der Definition einer linearen
> > Abbildung
> > > folgen (dass [mm]D[/mm] eine lineare Abbildung ist, habe ich
> > schon
> > > gezeigt):
> > >
> > > [mm]Im(D)[/mm] wird definiert als
> > >
> > > [mm]Im(D) := \{D(v) | v \in V\} = D\{a_1v_1, \ldots, a_nv_n | a_i \in \IR\} = \{a_1D(v_1) + \ldots + a_nD(v_n) | a_i \in \IR\} = [/mm]
>
> >
> > Richtig, [mm]D(v_1), ...D(v_n)[/mm] spannen das Bild auf, sie sind
> > ein Erzeugendensystem.
> > Aber nicht zwingend ein minimales Erzeugendensystem!
> > (In einem minimalen Erzeugendensystem wird jeder Vektor
> > gebraucht.)
> >
> >
> > > Hieraus folgt oben genannte Annahme. Also kriegen wir aus
> > > der Definition der lin. Abbildung:
> > >
> > > [mm]D(1) = 2[/mm]
> > > [mm]D(x) = 3+2x[/mm]
> > > [mm]D(x^2) = 2+6x+2x^2[/mm]
> und
> > > [mm]D(x^3) = 6x+9x^2+2x^3 [/mm].
> > >
> > > Die lineare Unabhängigkeit der vier Funktionen zeige
> > ich,
> > > indem ich beweise, dass die Gleichung
> > >
> > > [mm]a_1(2)+a_2(3+2x)+a_3(2+6x+2x^2)+a_4(6x+9x^2+2x^3) = 0[/mm]
>
> >
> > Okay. Dir war nicht klar, daß minimales Erzeugendensystem
> > etwas anderes ist als Erzeugendensystem.
> > Dir ist jetzt klar, daß die Bilder der Basisvektoren
> ein
> > Erzeugendensystem des Bildes bilden, und nun beweist Du,
> > daß sie linear unabhängig sind, also eine Basis des
> > Bildes.
> >
>
> Das heißt, dass ein EZS, das unabhängig ist, ein
> minimales EZS ist?
Da wir eh nur endlichdimensionale VRe hier haben, beschränken wir unsere
Überlegungen auch mal nur auf solche (damit wir nicht irgendwann merken,
dass wir bei unendlichdimensionalen doch was übersehen haben).
Und wir machen es noch einfacher, wir bemerken:
Du hast nun ein endliches EZS. (Ist Dir klar, was der Begriff ENDLICHES EZS
genau besagt?) Wenn die Vektoren des endlichen EZS zudem linear
unabhängig sind, dann ist dieses auch ein minimales, also eine Basis.
> Ich frage noch mal nach, um es wirklich
> richtig zu verstehen. Nicht, dass ich mir hinterher was
> merke, was ich falsch verstanden habe.
>
> > >
> > > nur erfüllt werden kann, wenn [mm]a_1, a_2, a_3, a_4 \in \IR[/mm]
>
> >
> > > alle [mm]0[/mm] ergeben. Das lineare Gleichungssystem
> > >
> > > [mm]2a_1+0a_2+0a_3+0a_4=0[/mm]
> > > [mm]3a_1+2a_2+0a_3+0a_4=0[/mm]
> > > [mm]2a_1+6a_2+2a_3+0a_4=0[/mm]
> > > [mm]0a_1+6a_2+9a_3+2a_4=0[/mm]
> > >
> > > zeigt uns sofort, dass gilt [mm]a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 0[/mm].
>
> >
> > Ja.
> >
> >
> > > Die
> > > vier Funktionen sind also linear unabhängig.
> Zusammen
> > mit
> > > der Tatsache, dass sie auch ein min. EZS für
> [mm]P_3(\IR)[/mm]
> > > bilden, kann man also sagen, dass sie eine Basis
> für
> > > [mm]P_3(\IR)[/mm] sind.
> >
> > Ja.
> > Und da Du gezeigt hast, daß sie eine Basis sind,
> weißt
> > Du nun auch, daß sie ein minimales Erzeugendensystem
> > sind.
> >
>
> Was ja dann dasselbe ist, oder?
Ja, das hat Angela aber eh schonmal gesagt.
> > >
> > > Um zu kontrollieren, ob [mm]D[/mm] surjektiv ist,
> >
> > müßten wir erstmal wissen, wie D definiert ist.
> > Du hast es gar nicht angegeben.
> > Es ist nämlich ein riesengroßer Unterschied, ob wir
> > [mm]D:P_3(\IR)\to P_3(\IR)[/mm] betrachten, also einen
> > Endomorphismus von V,
> > oder womöglich [mm]D:P_3(\IR)\to P_7(\IR).[/mm]
> >
> > Merke: immer den kompletten Aufgabentext posten. Es gibt
> > sonst unnötige Verwirrungen.
>
> Alles klar. [mm]D[/mm] wird definiert als
>
> [mm]D : V \to V [/mm], wobei [mm]V := P_3(\IR) [/mm].
>
> >
> >
> > > kann man aus dem
> > > Satz
> > >
> > > [mm]dim(P_3(\IR)) = dim(Ker(D)) + dim(Im(D))[/mm]
> > >
> > > folgern, dass [mm]dim(Im(D)) = 4[/mm], weil [mm]dim(P_3(\IR)) = 4[/mm]
> > (wegen
> > > der Basis aus den o.g. vier Monomen) und [mm]dim(Ker(D)) = 0[/mm]
>
> >
> > > (haben wir schon gezeigt, weil der Kern nur den Nullvektor
> > > enthält).
> >
> > In einer vorhergehenden Teilaufgabe wurde das gezeigt?
> > Dann hättest Du Dir das ganze vorangehende "Gedöns"
> > sparen können und hättest sofort gewußt:
> >
> > es gilt [mm]dim(P_3(\IR))[/mm] = dim(Ker(D)) + dim(Im(D)), also
> > haben wir 4=0+dim(Im(D)), dh. dim(Im(D))=4.
> >
> >
> > > Weil [mm]Im(D)[/mm] und [mm]P_3(\IR)[/mm] dieselbe Dimension
> > > haben, kann gefolgert werden, dass [mm]P_3(\IR) = Im(D) [/mm].
>
> >
> > Nein. Das gilt nur, wenn wir in den [mm]P_3(\IR)[/mm] abbilden: da
> > in diesem Falle Im(D) ein vierdimensionaler Unterraum des
> > [mm]P_3(\IR)[/mm] ist, muß es der [mm]P_3(\IR)[/mm] selbst sein.
Dir ist klar, dass Angela Dich auf die einfache (nicht ganz trivial, aber fast
trivial) Tatsache hingewiesen hat, dass die Dimension eines Unterraums
immer [mm] $\le$ [/mm] der Dimension des Vektorraums (auf den man sich beim
Unterraum bezieht) ist.
> > Es ist in diesem Falle also D(V)=V, und damit ist D
> > surjektiv.
> >
> > (Vielleicht war auch der Satz für Endomorphismen f von
> > endlichdimensionalen Vektorräumen dran:
> > f [mm]injektiv\gdw[/mm] f [mm]surjektiv\gdw[/mm] f bijektiv.)
Auch hier nochmal der Hinweis, dass Angela von
linearen Abbildungen $f [mm] \colon \red{V}$ $\to$ $\red{V}$
[/mm]
redet! (Zudem [mm] $\red{V}$ [/mm] endlichdimensional!)
> >
> > Wenn Du aber in den [mm]P_7(\IR)[/mm] abbildest, klappt diese
> > Argumentation nicht.
> >
>
> Da ich ja in den [mm]P_3(\IR)[/mm] abbilde, ist es aber so, dass
> [mm]Im(D) = P_3(\IR)[/mm], weil [mm]dim(Im(D)) = dim(P_3(\IR))[/mm], oder?
Manche Fragen könntest Du Dir auch selbst beantworten. Aber ich sage
Dir jetzt mal, welchen Satz Du beweisen kannst:
Ist [mm] $\dim(V)=n \in \IN$ [/mm] und ist $U [mm] \subseteq [/mm] V$ ein Unterraum (beides VRe
über einem gemeinsamen Körper [mm] $K\,$), [/mm] dann gilt
[mm] $U=V\,$ $\iff$ $\dim(U)=\dim(V)$ ($=n\,$)
[/mm]
Also: Ja.
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
> > > > Sei [mm]V := P_3(\IR) [/mm]. Für jedes Funktion [mm]f(x) \in V[/mm]
> >
> >
> > >
> > > definieren wir
> > > >
> > > > [mm]D(f(x)) = f''(x) + 3f'(x) + 2f(x) [/mm].
> > > >
> > > > Gib eine Basis für [mm]Im(D) [/mm]. Ist [mm]D[/mm] surjektiv?
> > > > Hallo alle :)
> > > >
> > > > Ich bin folgendermaßen vorgegangen.
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > >
> > > > Wir wissen, dass die Monome [mm]x^3, x^2, x[/mm] und [mm]1[/mm] ein
> > > minimales
> > > > Erzeugendensystem fpr [mm]P_3(\IR)[/mm] bilden
> > >
> > > Ja.
> > >
> > > > (und sogar eine
> > > > Basis).
> > >
> > > Ein minimales Erzeugendensystem IST eine Basis.
> > >
> > > > Daher muss gelten, dass
> > > >
> > > > [mm]\{D(x^3), D(x^2), D(x), D(1)\}[/mm]
> > > >
> > > > auch ein minimales EZS für [mm]Im(D)[/mm] bilden.
> > >
> > > Nein, das muß nicht zwingend so sein:
>
> da braucht man eigentlich keinen großen Kniffe - man nehme
> die
> Nullabbildung
>
> [mm]T \colon V \to V[/mm] mit [mm]T(f)=0\,,[/mm]
>
> wobei die 0 rechterhand das Nullpolynom ist.
> Es gibt da aber einen Satz, der sagen würde: Ist die
> lineare Abbildung
> [mm]T\,[/mm] injektiv, so sind Bilder linear unabhängiger Vektoren
> auch wieder...?
>
> > > betrachte [mm]T:V\to[/mm] V mit
> > >
> > > T(f(x)):=f'(x).
> > >
> > > Es ist
> > >
> > > [mm]T(x^3)=2x^2, T(x^2)=2x,[/mm] T(x)=1, T(1)=0,
> > >
> > > und diese 4 Vektoren sind sicher kein minimals
> > > Erzeugendensystem des Bildes von T, denn auf T(1) könnte
> > > man offenbar gutverzichten.
> > >
> > > Richtig ist: die 4 Vektoren sind ein Erzeugendensystem des
> > > Bildes von T.
> > >
> >
> > Also, sie sind ein EZS, aber kein minimales EZS, stimmt's?
>
> Das war der Sinn der Angabe. Wie gesagt, ich empfehle Dir
> immmer noch,
> mal die entsprechenden Kapitel aus Bosch: Lineare Algebra
> durchzuarbeiten.
> (Angela hat oben wohl nicht die Nullabbildung genommen,
> weil die Basis
> des Nullraums [hier darf man wirklich mal DIE sagen -
> normalerweise muss
> man von EINER reden] etwas speziell ist.)
>
> > >
> > >
> > >
> > > > Der Beweis hierzu
> > > > müsste direkt aus der Definition einer linearen
> > > Abbildung
> > > > folgen (dass [mm]D[/mm] eine lineare Abbildung ist, habe
> ich
> > > schon
> > > > gezeigt):
> > > >
> > > > [mm]Im(D)[/mm] wird definiert als
> > > >
> > > > [mm]Im(D) := \{D(v) | v \in V\} = D\{a_1v_1, \ldots, a_nv_n | a_i \in \IR\} = \{a_1D(v_1) + \ldots + a_nD(v_n) | a_i \in \IR\} = [/mm]
>
> >
> > >
> > > Richtig, [mm]D(v_1), ...D(v_n)[/mm] spannen das Bild auf, sie sind
> > > ein Erzeugendensystem.
> > > Aber nicht zwingend ein minimales
> Erzeugendensystem!
> > > (In einem minimalen Erzeugendensystem wird jeder
> Vektor
> > > gebraucht.)
> > >
> > >
> > > > Hieraus folgt oben genannte Annahme. Also kriegen wir aus
> > > > der Definition der lin. Abbildung:
> > > >
> > > > [mm]D(1) = 2[/mm]
> > > > [mm]D(x) = 3+2x[/mm]
> > > > [mm]D(x^2) = 2+6x+2x^2[/mm]
> > und
> > > > [mm]D(x^3) = 6x+9x^2+2x^3 [/mm].
> > > >
> > > > Die lineare Unabhängigkeit der vier Funktionen
> zeige
> > > ich,
> > > > indem ich beweise, dass die Gleichung
> > > >
> > > > [mm]a_1(2)+a_2(3+2x)+a_3(2+6x+2x^2)+a_4(6x+9x^2+2x^3) = 0[/mm]
>
> >
> > >
> > > Okay. Dir war nicht klar, daß minimales Erzeugendensystem
> > > etwas anderes ist als Erzeugendensystem.
> > > Dir ist jetzt klar, daß die Bilder der
> Basisvektoren
> > ein
> > > Erzeugendensystem des Bildes bilden, und nun beweist Du,
> > > daß sie linear unabhängig sind, also eine Basis des
> > > Bildes.
> > >
> >
> > Das heißt, dass ein EZS, das unabhängig ist, ein
> > minimales EZS ist?
>
> Da wir eh nur endlichdimensionale VRe hier haben,
> beschränken wir unsere
> Überlegungen auch mal nur auf solche (damit wir nicht
> irgendwann merken,
> dass wir bei unendlichdimensionalen doch was übersehen
> haben).
> Und wir machen es noch einfacher, wir bemerken:
> Du hast nun ein endliches EZS. (Ist Dir klar, was der
> Begriff ENDLICHES EZS
> genau besagt?)
Wenn ein EZS endlich ist, dann gibt es eine Teilmenge in einem Raum, die eine endliche Anzahl Vektoren enthält. Richtig?
> Wenn die Vektoren des endlichen EZS zudem
> linear
> unabhängig sind, dann ist dieses auch ein minimales, also
> eine Basis.
>
> > Ich frage noch mal nach, um es wirklich
> > richtig zu verstehen. Nicht, dass ich mir hinterher was
> > merke, was ich falsch verstanden habe.
> >
> > > >
> > > > nur erfüllt werden kann, wenn [mm]a_1, a_2, a_3, a_4 \in \IR[/mm]
>
> >
> > >
> > > > alle [mm]0[/mm] ergeben. Das lineare Gleichungssystem
> > > >
> > > > [mm]2a_1+0a_2+0a_3+0a_4=0[/mm]
> > > > [mm]3a_1+2a_2+0a_3+0a_4=0[/mm]
> > > > [mm]2a_1+6a_2+2a_3+0a_4=0[/mm]
> > > > [mm]0a_1+6a_2+9a_3+2a_4=0[/mm]
> > > >
> > > > zeigt uns sofort, dass gilt [mm]a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 0[/mm].
>
> >
> > >
> > > Ja.
> > >
> > >
> > > > Die
> > > > vier Funktionen sind also linear unabhängig.
> > Zusammen
> > > mit
> > > > der Tatsache, dass sie auch ein min. EZS für
> > [mm]P_3(\IR)[/mm]
> > > > bilden, kann man also sagen, dass sie eine Basis
> > für
> > > > [mm]P_3(\IR)[/mm] sind.
> > >
> > > Ja.
> > > Und da Du gezeigt hast, daß sie eine Basis sind,
> > weißt
> > > Du nun auch, daß sie ein minimales Erzeugendensystem
> > > sind.
> > >
> >
> > Was ja dann dasselbe ist, oder?
>
> Ja, das hat Angela aber eh schonmal gesagt.
Genau. Ich wiederhole es nur, um es richtig zu verstehen. Lieber einmal zu viel als einmal zu wenig ;)
>
> > > >
> > > > Um zu kontrollieren, ob [mm]D[/mm] surjektiv ist,
> > >
> > > müßten wir erstmal wissen, wie D definiert ist.
> > > Du hast es gar nicht angegeben.
> > > Es ist nämlich ein riesengroßer Unterschied, ob
> wir
> > > [mm]D:P_3(\IR)\to P_3(\IR)[/mm] betrachten, also einen
> > > Endomorphismus von V,
> > > oder womöglich [mm]D:P_3(\IR)\to P_7(\IR).[/mm]
> > >
> > > Merke: immer den kompletten Aufgabentext posten. Es gibt
> > > sonst unnötige Verwirrungen.
> >
> > Alles klar. [mm]D[/mm] wird definiert als
> >
> > [mm]D : V \to V [/mm], wobei [mm]V := P_3(\IR) [/mm].
> >
> > >
> > >
> > > > kann man aus dem
> > > > Satz
> > > >
> > > > [mm]dim(P_3(\IR)) = dim(Ker(D)) + dim(Im(D))[/mm]
> > > >
> > > > folgern, dass [mm]dim(Im(D)) = 4[/mm], weil [mm]dim(P_3(\IR)) = 4[/mm]
> > > (wegen
> > > > der Basis aus den o.g. vier Monomen) und
> [mm]dim(Ker(D)) = 0[/mm]
> >
> > >
> > > > (haben wir schon gezeigt, weil der Kern nur den Nullvektor
> > > > enthält).
> > >
> > > In einer vorhergehenden Teilaufgabe wurde das gezeigt?
> > > Dann hättest Du Dir das ganze vorangehende
> "Gedöns"
> > > sparen können und hättest sofort gewußt:
> > >
> > > es gilt [mm]dim(P_3(\IR))[/mm] = dim(Ker(D)) + dim(Im(D)), also
> > > haben wir 4=0+dim(Im(D)), dh. dim(Im(D))=4.
> > >
> > >
> > > > Weil [mm]Im(D)[/mm] und [mm]P_3(\IR)[/mm] dieselbe Dimension
> > > > haben, kann gefolgert werden, dass [mm]P_3(\IR) = Im(D) [/mm].
>
> >
> > >
> > > Nein. Das gilt nur, wenn wir in den [mm]P_3(\IR)[/mm] abbilden: da
> > > in diesem Falle Im(D) ein vierdimensionaler Unterraum des
> > > [mm]P_3(\IR)[/mm] ist, muß es der [mm]P_3(\IR)[/mm] selbst sein.
>
> Dir ist klar, dass Angela Dich auf die einfache (nicht ganz
> trivial, aber fast
> trivial) Tatsache hingewiesen hat, dass die Dimension
> eines Unterraums
> immer [mm]\le[/mm] der Dimension des Vektorraums (auf den man sich
> beim
> Unterraum bezieht) ist.
Ja, das habe ich schon mal gesehen.
>
> > > Es ist in diesem Falle also D(V)=V, und damit ist D
> > > surjektiv.
> > >
> > > (Vielleicht war auch der Satz für Endomorphismen f von
> > > endlichdimensionalen Vektorräumen dran:
> > > f [mm]injektiv\gdw[/mm] f [mm]surjektiv\gdw[/mm] f bijektiv.)
>
> Auch hier nochmal der Hinweis, dass Angela von
>
> linearen Abbildungen [mm]f \colon \red{V}[/mm] [mm]\to[/mm] [mm]\red{V}[/mm]
>
> redet! (Zudem [mm]\red{V}[/mm] endlichdimensional!)
>
> > >
> > > Wenn Du aber in den [mm]P_7(\IR)[/mm] abbildest, klappt diese
> > > Argumentation nicht.
> > >
> >
> > Da ich ja in den [mm]P_3(\IR)[/mm] abbilde, ist es aber so, dass
> > [mm]Im(D) = P_3(\IR)[/mm], weil [mm]dim(Im(D)) = dim(P_3(\IR))[/mm], oder?
>
> Manche Fragen könntest Du Dir auch selbst beantworten.
Auch hier wie oben. Ich formuliere es in meinen eigenen Worten, weil es öfter mal vorkommen kann, dass man denkt, man hätte es verstanden, aber wenn man es dann erklären bzw. anwenden muss, dann zeigt sich, dass man es wohl doch nicht ganz durchblicken kann. Manche Sachen versuche ich also einfach noch mal zu wiederholen, um es wirklich zu begreifen. Bitte nehmt mir das nicht übel.
> Aber ich sage
> Dir jetzt mal, welchen Satz Du beweisen kannst:
> Ist [mm]\dim(V)=n \in \IN[/mm] und ist [mm]U \subseteq V[/mm] ein Unterraum
> (beides VRe
> über einem gemeinsamen Körper [mm]K\,[/mm]), dann gilt
>
> [mm]U=V\,[/mm] [mm]\iff[/mm] [mm]\dim(U)=\dim(V)[/mm] ([mm]=n\,[/mm])
>
> Also: Ja.
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 So 28.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > > > Sei [mm]V := P_3(\IR) [/mm]. Für jedes Funktion [mm]f(x) \in V[/mm]
>
> > >
> > >
> > > >
> > > > definieren wir
> > > > >
> > > > > [mm]D(f(x)) = f''(x) + 3f'(x) + 2f(x) [/mm].
> > > >
> >
> > > > > Gib eine Basis für [mm]Im(D) [/mm]. Ist [mm]D[/mm] surjektiv?
> > > > > Hallo alle :)
> > > > >
> > > > > Ich bin folgendermaßen vorgegangen.
> > > >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > >
> > > > > Wir wissen, dass die Monome [mm]x^3, x^2, x[/mm] und [mm]1[/mm]
> ein
> > > > minimales
> > > > > Erzeugendensystem fpr [mm]P_3(\IR)[/mm] bilden
> > > >
> > > > Ja.
> > > >
> > > > > (und sogar eine
> > > > > Basis).
> > > >
> > > > Ein minimales Erzeugendensystem IST eine Basis.
> > > >
> > > > > Daher muss gelten, dass
> > > > >
> > > > > [mm]\{D(x^3), D(x^2), D(x), D(1)\}[/mm]
> > > > >
> > > > > auch ein minimales EZS für [mm]Im(D)[/mm] bilden.
> > > >
> > > > Nein, das muß nicht zwingend so sein:
> >
> > da braucht man eigentlich keinen großen Kniffe - man nehme
> > die
> > Nullabbildung
> >
> > [mm]T \colon V \to V[/mm] mit [mm]T(f)=0\,,[/mm]
> >
> > wobei die 0 rechterhand das Nullpolynom ist.
> > Es gibt da aber einen Satz, der sagen würde: Ist die
> > lineare Abbildung
> > [mm]T\,[/mm] injektiv, so sind Bilder linear unabhängiger Vektoren
> > auch wieder...?
> >
> > > > betrachte [mm]T:V\to[/mm] V mit
> > > >
> > > > T(f(x)):=f'(x).
> > > >
> > > > Es ist
> > > >
> > > > [mm]T(x^3)=2x^2, T(x^2)=2x,[/mm] T(x)=1, T(1)=0,
> > > >
> > > > und diese 4 Vektoren sind sicher kein minimals
> > > > Erzeugendensystem des Bildes von T, denn auf T(1) könnte
> > > > man offenbar gutverzichten.
> > > >
> > > > Richtig ist: die 4 Vektoren sind ein Erzeugendensystem des
> > > > Bildes von T.
> > > >
> > >
> > > Also, sie sind ein EZS, aber kein minimales EZS, stimmt's?
> >
> > Das war der Sinn der Angabe. Wie gesagt, ich empfehle Dir
> > immmer noch,
> > mal die entsprechenden Kapitel aus Bosch: Lineare
> Algebra
> > durchzuarbeiten.
> > (Angela hat oben wohl nicht die Nullabbildung genommen,
> > weil die Basis
> > des Nullraums [hier darf man wirklich mal DIE sagen -
> > normalerweise muss
> > man von EINER reden] etwas speziell ist.)
> >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > > Der Beweis hierzu
> > > > > müsste direkt aus der Definition einer
> linearen
> > > > Abbildung
> > > > > folgen (dass [mm]D[/mm] eine lineare Abbildung ist, habe
> > ich
> > > > schon
> > > > > gezeigt):
> > > > >
> > > > > [mm]Im(D)[/mm] wird definiert als
> > > > >
> > > > > [mm]Im(D) := \{D(v) | v \in V\} = D\{a_1v_1, \ldots, a_nv_n | a_i \in \IR\} = \{a_1D(v_1) + \ldots + a_nD(v_n) | a_i \in \IR\} = [/mm]
>
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> > >
> > > >
> > > > Richtig, [mm]D(v_1), ...D(v_n)[/mm] spannen das Bild auf, sie sind
> > > > ein Erzeugendensystem.
> > > > Aber nicht zwingend ein minimales
> > Erzeugendensystem!
> > > > (In einem minimalen Erzeugendensystem wird jeder
> > Vektor
> > > > gebraucht.)
> > > >
> > > >
> > > > > Hieraus folgt oben genannte Annahme. Also kriegen wir aus
> > > > > der Definition der lin. Abbildung:
> > > > >
> > > > > [mm]D(1) = 2[/mm]
> > > > > [mm]D(x) = 3+2x[/mm]
> > > > >
> [mm]D(x^2) = 2+6x+2x^2[/mm]
> > > und
> > > > > [mm]D(x^3) = 6x+9x^2+2x^3 [/mm].
> > > > >
> > > > > Die lineare Unabhängigkeit der vier Funktionen
> > zeige
> > > > ich,
> > > > > indem ich beweise, dass die Gleichung
> > > > >
> > > > >
> [mm]a_1(2)+a_2(3+2x)+a_3(2+6x+2x^2)+a_4(6x+9x^2+2x^3) = 0[/mm]
> >
> > >
> > > >
> > > > Okay. Dir war nicht klar, daß minimales Erzeugendensystem
> > > > etwas anderes ist als Erzeugendensystem.
> > > > Dir ist jetzt klar, daß die Bilder der
> > Basisvektoren
> > > ein
> > > > Erzeugendensystem des Bildes bilden, und nun beweist Du,
> > > > daß sie linear unabhängig sind, also eine Basis des
> > > > Bildes.
> > > >
> > >
> > > Das heißt, dass ein EZS, das unabhängig ist, ein
> > > minimales EZS ist?
> >
> > Da wir eh nur endlichdimensionale VRe hier haben,
> > beschränken wir unsere
> > Überlegungen auch mal nur auf solche (damit wir nicht
> > irgendwann merken,
> > dass wir bei unendlichdimensionalen doch was übersehen
> > haben).
> > Und wir machen es noch einfacher, wir bemerken:
> > Du hast nun ein endliches EZS. (Ist Dir klar, was der
> > Begriff ENDLICHES EZS
> > genau besagt?)
>
> Wenn ein EZS endlich ist, dann gibt es eine Teilmenge in
> einem Raum, die eine endliche Anzahl Vektoren enthält.
> Richtig?
bitte? Ein EZS ist eine MENGE. Und eine Menge heißt genau dann endlich,
wenn die Anzahl ihrer Elemente endlich ist.
Mathematisch kann man folgendes machen, um zu definieren, wann eine
Menge endlich heißen möge (dass sie ansonsten nicht endlich oder
unendlich heißen möge, ist wohl klar - wobei Du sicher auch weißt, dass es
*Abstufungen* der Unendlichkeit gibt):
Eine Menge [mm] $M\,$ [/mm] heißt endlich genau dann, wenn sie entweder die leere Menge
ist (deren Elementanzahl setzt man auf 0) oder, wenn es ein $N [mm] \in \IN$ [/mm] so gibt,
dass es eine surjektive Abbildung
$f [mm] \colon \{1,...,N\} \to [/mm] M$
gibt. Im Falle der Endlichkeit der Menge Menge (also falls es eine solche
Abbildung gibt, die surjektiv ist) wird das kleinste solcher [mm] $N\,$ [/mm] als die Anzahl
der Elemente von [mm] $M\,$ [/mm] bezeichnet. Es gilt dann, dass eine zugehörige surjektive
Abbildung (es gibt derer nicht nur eine!) dann zudem auch injektiv, also
bijektiv, ist.
(Dass [mm] $\{1,\ldots,N\}$ [/mm] eine Schnellschreibweise für [mm] $\bigcup_{k=1}^N\{k\}=\{k \mid k \in \{1,\ldots,N\}\}$ [/mm] ist,
bedürfte eigentlich keines Kommentares - aber ich ergänze es dennoch mal.)
> > Wenn die Vektoren des endlichen EZS zudem
> > linear
> > unabhängig sind, dann ist dieses auch ein minimales, also
> > eine Basis.
> >
> > > Ich frage noch mal nach, um es wirklich
> > > richtig zu verstehen. Nicht, dass ich mir hinterher was
> > > merke, was ich falsch verstanden habe.
> > >
> > > > >
> > > > > nur erfüllt werden kann, wenn [mm]a_1, a_2, a_3, a_4 \in \IR[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > > alle [mm]0[/mm] ergeben. Das lineare Gleichungssystem
> > > > >
> > > > > [mm]2a_1+0a_2+0a_3+0a_4=0[/mm]
> > > > > [mm]3a_1+2a_2+0a_3+0a_4=0[/mm]
> > > > > [mm]2a_1+6a_2+2a_3+0a_4=0[/mm]
> > > > > [mm]0a_1+6a_2+9a_3+2a_4=0[/mm]
> > > > >
> > > > > zeigt uns sofort, dass gilt [mm]a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 0[/mm].
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Ja.
> > > >
> > > >
> > > > > Die
> > > > > vier Funktionen sind also linear unabhängig.
> > > Zusammen
> > > > mit
> > > > > der Tatsache, dass sie auch ein min. EZS für
> > > [mm]P_3(\IR)[/mm]
> > > > > bilden, kann man also sagen, dass sie eine
> Basis
> > > für
> > > > > [mm]P_3(\IR)[/mm] sind.
> > > >
> > > > Ja.
> > > > Und da Du gezeigt hast, daß sie eine Basis sind,
> > > weißt
> > > > Du nun auch, daß sie ein minimales Erzeugendensystem
> > > > sind.
> > > >
> > >
> > > Was ja dann dasselbe ist, oder?
> >
> > Ja, das hat Angela aber eh schonmal gesagt.
>
> Genau. Ich wiederhole es nur, um es richtig zu verstehen.
> Lieber einmal zu viel als einmal zu wenig ;)
Genau.
> >
> > > > >
> > > > > Um zu kontrollieren, ob [mm]D[/mm] surjektiv ist,
> > > >
> > > > müßten wir erstmal wissen, wie D definiert ist.
> > > > Du hast es gar nicht angegeben.
> > > > Es ist nämlich ein riesengroßer Unterschied, ob
> > wir
> > > > [mm]D:P_3(\IR)\to P_3(\IR)[/mm] betrachten, also einen
> > > > Endomorphismus von V,
> > > > oder womöglich [mm]D:P_3(\IR)\to P_7(\IR).[/mm]
> > > >
> > > > Merke: immer den kompletten Aufgabentext posten. Es gibt
> > > > sonst unnötige Verwirrungen.
> > >
> > > Alles klar. [mm]D[/mm] wird definiert als
> > >
> > > [mm]D : V \to V [/mm], wobei [mm]V := P_3(\IR) [/mm].
> > >
> > > >
> > > >
> > > > > kann man aus dem
> > > > > Satz
> > > > >
> > > > > [mm]dim(P_3(\IR)) = dim(Ker(D)) + dim(Im(D))[/mm]
> > >
> > >
> > > > > folgern, dass [mm]dim(Im(D)) = 4[/mm], weil
> [mm]dim(P_3(\IR)) = 4[/mm]
> > > > (wegen
> > > > > der Basis aus den o.g. vier Monomen) und
> > [mm]dim(Ker(D)) = 0[/mm]
> > >
> > > >
> > > > > (haben wir schon gezeigt, weil der Kern nur den Nullvektor
> > > > > enthält).
> > > >
> > > > In einer vorhergehenden Teilaufgabe wurde das gezeigt?
> > > > Dann hättest Du Dir das ganze vorangehende
> > "Gedöns"
> > > > sparen können und hättest sofort gewußt:
> > > >
> > > > es gilt [mm]dim(P_3(\IR))[/mm] = dim(Ker(D)) + dim(Im(D)), also
> > > > haben wir 4=0+dim(Im(D)), dh. dim(Im(D))=4.
> > > >
> > > >
> > > > > Weil [mm]Im(D)[/mm] und [mm]P_3(\IR)[/mm] dieselbe Dimension
> > > > > haben, kann gefolgert werden, dass [mm]P_3(\IR) = Im(D) [/mm].
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Nein. Das gilt nur, wenn wir in den [mm]P_3(\IR)[/mm] abbilden: da
> > > > in diesem Falle Im(D) ein vierdimensionaler Unterraum des
> > > > [mm]P_3(\IR)[/mm] ist, muß es der [mm]P_3(\IR)[/mm] selbst sein.
> >
> > Dir ist klar, dass Angela Dich auf die einfache (nicht ganz
> > trivial, aber fast
> > trivial) Tatsache hingewiesen hat, dass die Dimension
> > eines Unterraums
> > immer [mm]\le[/mm] der Dimension des Vektorraums (auf den man sich
> > beim
> > Unterraum bezieht) ist.
>
> Ja, das habe ich schon mal gesehen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das kann man sich aber durchaus auch schon sehr schnell überlegen,
wenn man die richtigen Sätze im Kopf hat.
> >
> > > > Es ist in diesem Falle also D(V)=V, und damit ist D
> > > > surjektiv.
> > > >
> > > > (Vielleicht war auch der Satz für Endomorphismen f von
> > > > endlichdimensionalen Vektorräumen dran:
> > > > f [mm]injektiv\gdw[/mm] f [mm]surjektiv\gdw[/mm] f bijektiv.)
> >
> > Auch hier nochmal der Hinweis, dass Angela von
> >
> > linearen Abbildungen [mm]f \colon \red{V}[/mm] [mm]\to[/mm] [mm]\red{V}[/mm]
> >
> > redet! (Zudem [mm]\red{V}[/mm] endlichdimensional!)
> >
> > > >
> > > > Wenn Du aber in den [mm]P_7(\IR)[/mm] abbildest, klappt diese
> > > > Argumentation nicht.
> > > >
> > >
> > > Da ich ja in den [mm]P_3(\IR)[/mm] abbilde, ist es aber so, dass
> > > [mm]Im(D) = P_3(\IR)[/mm], weil [mm]dim(Im(D)) = dim(P_3(\IR))[/mm], oder?
> >
> > Manche Fragen könntest Du Dir auch selbst beantworten.
>
> Auch hier wie oben. Ich formuliere es in meinen eigenen
> Worten, weil es öfter mal vorkommen kann, dass man denkt,
> man hätte es verstanden, aber wenn man es dann erklären
> bzw. anwenden muss, dann zeigt sich, dass man es wohl doch
> nicht ganz durchblicken kann. Manche Sachen versuche ich
> also einfach noch mal zu wiederholen, um es wirklich zu
> begreifen. Bitte nehmt mir das nicht übel.
Nein, ich nehme Dir das nicht übel.
> > Aber ich sage
> > Dir jetzt mal, welchen Satz Du beweisen kannst:
> > Ist [mm]\dim(V)=n \in \IN[/mm] und ist [mm]U \subseteq V[/mm] ein
> Unterraum
> > (beides VRe
> > über einem gemeinsamen Körper [mm]K\,[/mm]), dann gilt
> >
> > [mm]U=V\,[/mm] [mm]\iff[/mm] [mm]\dim(U)=\dim(V)[/mm] ([mm]=n\,[/mm])
> >
> > Also: Ja.
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
P.S. Wenn ich jetzt irgendeine Rückfrage übersehen habe, dann bedenke
bitte:
Es ist Deine Aufgabe, Deine Fragen so übersichtlich zu gestalten, dass
auch die Antwortgebenden nicht den Überblick verlieren (können). Ich
habe nicht die Zeit, bei jedem unwichtiges *wegzuzitieren*. 
Und wenn Du selbst schon beim Nachfragen merkst, dass Du ellenlang
runterscrollen musst, ist das wohl das erste Anzeichen, dass da
*Streichungsbedarf* besteht. ^^
Gruß,
Marcel
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