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| Aufgabe | Sei A = [mm] \pmat{ 2 & -1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & 2 &-1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 &1 & 1} \in (\mathbb{Q})_5.
[/mm]
(a) Bestimmen Sie die Jordansche Normalform für A.
(b) Bestimmen Sie eine Transformationsmatrix, die A in Jordansche Normalform überführt.
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Hallo!
Ich dachte, das hätte ich schon hinter mir gelassen!
Für a) habe ich die Normalenform eigentlich schon aufgestellt; ich habe das charakteristische Polynom berechnet und das Minimalpolynom.
Ich finde, dass das Charakteristische Polynom [mm] \chi_A(x) [/mm] = [mm] (x-1)^5 [/mm] ist.
Das Minimalpolynom ist [mm] m_A(x) [/mm] = [mm] (x-1)^3. [/mm] D.h. ein Jordankästchen hat Größe 3, jetzt ist die Frage ob das andere ein 2x2 oder zwei 1x1 Kästchen sind.
Dazu muss ich die Dimension des Kernes Kern(A-E) berechnen.
Der ist Kern(A-E) = [mm] <\vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] >
also dimKern(A-E) = 2, die Jordanform besteht aus einem dreier Kästchen und einem einer Kästchen.
Bei b) komm ich aber nun nicht weiter, da wir den Algorithmus zur Bestimmung einer Jordanbasis nicht wirklich behandelt haben.
Mein Computer sagt, dass die Basistransformationmatrix sein soll:
Q = [mm] \pmat{ -1 & 1 & 2 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1} [/mm]
Jetzt muss ich die Kerne der Potenzen zu den EW berechnen; so hab ich das hier und da gelesen, wenn auch nicht verstanden...
Kern(A-E) = [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }, \vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Jetzt sagt der Computer noch:
[mm] Kern(A-E)^2 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] Kern(A-E)^3 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Genau jetzt weiß ich nicht mehr weiter!
Wie ich damit auf das Q oben komm ist mir ein Rätsel. Ich weiß, ich muss mir die Basisvektoren aus diesen Kernen zusammensuchen, aber ich versteh die Herangehensweise nicht...
Vielen dank für die Hilfe,
einen guten Start in die Woche!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum im Internet gestellt.
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> (b) Bestimmen Sie eine Transformationsmatrix, die A in
> Jordansche Normalform überführt.
Hallo,
Dir ist klar, daß die Jordanbasis nicht eindeutig ist, Du kannst also durchaus eine andere Basis herausbekommen als die Musterlösung.
An diesem ![[]](/images/popup.gif) Kochrezept kannst Du Dich bei der Bestimmung der Jordanbasis entlanghangeln, versuch das mal.
Zu beachten ist, daß in diesem Rezept die Jordannf eine untere Dreiecksmatrix ist.
Wenn es be Dir eine obere sein soll, mußt Du die jeweiligen Mengen v. Basisvektoren genau andersrum aufschreiben, als den Eigenvektor als erstes und nicht als letztes.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela!
Ich habe es schon mal wie in dem Link probiert, aber vielleicht einen Fehler gemacht.
[mm] Kern(A-E)^3 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}, [/mm]
[mm] Kern(A-E)^2 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Ich suche die Vektoren, die in [mm] Kern(A-E)^3 [/mm] sind aber nicht in [mm] Kern(A-E)^2.
[/mm]
Das sind
[mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, [/mm]
[mm] v_2 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Jetzt berechne ich:
[mm] (A-E)v_1 [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
[mm] (A-E)^2 v_1 [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
(A-E) [mm] v_2 [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
[mm] (A-E)^2 v_2 [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Jetzt muss ich doch die doppelten rausnehmen, also hab ich als Basisvektoren:
[mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, (A-E)v_1 [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \\ 1}, (A-E)^2 v_1 [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, v_2 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, [/mm] (A-E) [mm] v_2 [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \\ 1}, (A-E)^2 v_2 [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Jetzt die gleiche Prozedur für
Kern(A-E) = [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }, \vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm]
[mm] Kern(A-E)^2 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Die Vektoren die in [mm] Kern(A-E)^2 [/mm] nicht in Kern(A-E) sind,...
Das wären:
[mm] v_3 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] v_4 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] v_5 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Wiederum das spiel:
(A-E) [mm] v_3 [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
[mm] (A-E)^2 [/mm] v3 = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
(A-E) [mm] v_4 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 }
[/mm]
[mm] (A-E)^2 v_4 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
(A-E) [mm] v_5 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 }
[/mm]
[mm] (A-E)^2 v_5 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
Also hab ich als einzelne (unterschiedliche Vektoren):
[mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, [/mm]
[mm] (A-E)v_1 [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \\ 1}, [/mm]
[mm] (A-E)^2 v_1 [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, [/mm]
[mm] v_2 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, [/mm]
[mm] v_3 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Damit wären die fünfe doch voll, oder?
Aber die Matrix Q die ich daraus resultiert diagonalisiert nix, weil sie nicht invertierbar ist!
D.h irgendwo muss ich einen Fehler gemacht haben, nur wo???
Liebe Grüße und dank für die Hilfe
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Hallo!
Danke nochmal für den Hinweis!
ich glaub ich hab es jetzt doch raus; zumindest scheint das Ergebnis zu passen. Daher ist das erstmal erledigt; ich hoff, dass noch näher auf den Algorithmus in der VL oder Übung eingegangen wird.
Grüße und dank!
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