Basis für Kern und Bild < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 Di 01.02.2011 | | Autor: | kioto |
| Aufgabe | bestimmen sie den rang der matrix
A= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 } \in [/mm] M (3X3, [mm] \IR) [/mm] |
nach der umformung auf zsf hab ich
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
rang(ker(A)) ist also 2, somit auch dim(ker(A))=2
dim(bild(A)) muss ja wegen der dimensionsformel dann 1 sein.
aber wieso habe ich für basis von kern nur [mm] {\lambda \vektor{-1 \\ -2 \\ 1} \lambda\in\IR} [/mm] raus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 Di 01.02.2011 | | Autor: | pyw |
Hi,
> bestimmen sie den rang der matrix
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> A= [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 } \in[/mm] M (3X3,
> [mm]\IR)[/mm]
> nach der umformung auf zsf hab ich
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> rang(ker(A)) ist also 2, somit auch dim(ker(A))=2
Nein. Der Ausdruck rang(ker(A)) ergibt keinen Sinn. Man spricht vom Rang einer Matrix oder einer linearen Abbildung. ker(A) ist aber eine Menge aus Vektoren.
Erinnere dich noch einmal: Der Rang ist die Dimensiom des Spaltenraums oder des Bildes. Hier hat der Spaltenraum bzw. das Bild die Dimension 2, da es 2 Pivotstellen (1. und 2. Spalte) gibt.
> dim(bild(A)) muss ja wegen der dimensionsformel dann 1
Folgefehler 
> sein.
>
> aber wieso habe ich für basis von kern nur [mm]{\lambda \vektor{-1 \\ -2 \\ 1} \lambda\in\IR}[/mm]
> raus?
Das Ergebnis für die Basis ist richtig.
Gruß, pyw
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Di 01.02.2011 | | Autor: | kioto |
> Hi,
>
> > bestimmen sie den rang der matrix
> >
> > A= [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 } \in[/mm] M (3X3,
> > [mm]\IR)[/mm]
> > nach der umformung auf zsf hab ich
> > [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
> >
> > rang(ker(A)) ist also 2, somit auch dim(ker(A))=2
> Nein. Der Ausdruck rang(ker(A)) ergibt keinen Sinn. Man
> spricht vom Rang einer Matrix oder einer linearen
> Abbildung. ker(A) ist aber eine Menge aus Vektoren.
> Erinnere dich noch einmal: Der Rang ist die Dimensiom des
> Spaltenraums oder des Bildes. Hier hat der Spaltenraum bzw.
> das Bild die Dimension 2, da es 2 Pivotstellen (1. und 2.
> Spalte) gibt.
also habe ich da mit 2 nicht die dimension vom kern sondern vom bild?
kann ich dann als basis vom bild dann [mm] {\vektor{1 \\ 2 \\ 3}\vektor{2 \\ 3 \\ 4} } [/mm] nehmen?
> > dim(bild(A)) muss ja wegen der dimensionsformel dann 1
> Folgefehler
> > sein.
> >
> > aber wieso habe ich für basis von kern nur [mm]{\lambda \vektor{-1 \\ -2 \\ 1} \lambda\in\IR}[/mm]
> > raus?
> Das Ergebnis für die Basis ist richtig.
>
> Gruß, pyw
grüße
kioto
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Di 01.02.2011 | | Autor: | pyw |
Hi
> also habe ich da mit 2 nicht die dimension vom kern sondern
> vom bild?
Ja.
> kann ich dann als basis vom bild dann [mm]{\vektor{1 \\ 2 \\ 3}\vektor{2 \\ 3 \\ 4} }[/mm]
> nehmen?
Ja. Interessant wäre, wie du darauf kommst. Schreib es doch einmal hin. Für mich wären nämlich andere Basen viel naheliegender.
Gruß, pyw
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Di 01.02.2011 | | Autor: | kioto |
hi
> > also habe ich da mit 2 nicht die dimension vom kern
> sondern
> > vom bild?
> Ja.
> > kann ich dann als basis vom bild dann [mm]{\vektor{1 \\ 2 \\ 3}\vektor{2 \\ 3 \\ 4} }[/mm]
> > nehmen?
> Ja. Interessant wäre, wie du darauf kommst. Schreib es
> doch einmal hin. Für mich wären nämlich andere Basen
> viel naheliegender.
was meinst du mit anderen basen? also mir wurde mal gesagt, dass die vektoren für basis in den führenden elemente der Nichtnullzeilen liegen, dann muss man nur noch die entsprechenden spalten vom ausgangsmatrix nehmen. so ungefähr glaub ich. wie hättest du gemacht? wärs noch einfacher?
>
> Gruß, pyw
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Di 01.02.2011 | | Autor: | pyw |
Hi,
> > Ja. Interessant wäre, wie du darauf kommst. Schreib es
> > doch einmal hin. Für mich wären nämlich andere Basen
> > viel naheliegender.
>
> was meinst du mit anderen basen? also mir wurde mal gesagt,
> dass die vektoren für basis in den führenden elemente der
> Nichtnullzeilen liegen, dann muss man nur noch die
> entsprechenden spalten vom ausgangsmatrix nehmen. so
> ungefähr glaub ich. wie hättest du gemacht? wärs noch
> einfacher?
Ok, das leuchtet ein, die Variante war mir gerade nicht präsent
Andere Methoden (die nicht notwendig besser sind):
1. Basis bei kleiner Matrix/ bekannter Dimension raten.
2. Noch eine andere Methode, wenn man nur eine Basis des Bildes bestimmen will: Man kann Zeilenoperationen auch analog auf Spalten anwenden und die Matrix in eine "gespiegelte" ZSF bringen - dann kann man auch sofort Basisvektoren aus den Spalten ablesen, die keine Nullspalten sind.
Gruß
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