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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 Mo 24.11.2008 | | Autor: | ulla |
| Aufgabe | | Es sei V ein K-Vektorraum und [mm] n\in\IN. [/mm] Weiter sei {v1,...,vn} eine Basis in V und für jedes j [mm] \in [/mm] {1,...,n} sei [mm] wj:=\summe_{i=1}^{j} vi\in [/mm] V. Zeigen sie , dass auch {w1,...,wn}eine Basis von V ist. |
Bitte kann mir jemand helfen ich weiß nicht wie ich das zeigen kann! Ich weiß zwar dass es bestimmte Kriterien gbt um zu zeigen , dass es eine Basis ist aber ich kann´es nicht anwenden!
Ich habe diese Frage sonst in keinem Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Mo 24.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Ich mach Dir die Sache mal im Falle n=3 vor, in der Hoffnung, dass Du dann den allgemeinen Fall selbst hinbekommst.
Sei also { [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] } eine Basis von V und
[mm] w_1 [/mm] = [mm] v_1, w_2 [/mm] = [mm] v_1+v_2, w_3 [/mm] = [mm] v_1+v_2+v_3. [/mm] Zu zeigen ist, dass [mm] w_1, w_2, w_3 [/mm] linear unabhängig sind. Sei also
0= [mm] tw_1+sw_2+rw_3, [/mm] also 0= [mm] (t+s+r)v_1 [/mm] + [mm] (s+r)v_2 +rv_3. [/mm] Da [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] linear unabhängig sind folgt:
r = s+r = t+s+r = 0, somit t=s=r=0
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Mo 24.11.2008 | | Autor: | ulla |
Dankeschön für deine Antwort,
stimmt das so?
w1=v1 , wn= v1+...+vn
0= tw1+...+swn
0=(t+s)v1+...+swn
s=t+s=0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Mo 24.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Nein.
Mach das ganze mal für n=4. Vielleicht geht Dir dann ein Licht auf
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Mo 24.11.2008 | | Autor: | ulla |
So ich versuch es noch einmal :
w1=v1 , w2=v1+v2 , w3=v1+v2+...+vn
0=t*w1+s*w2+...+r*wn
0=(t+s+r)v1+(s+r)v2+...+r*vn
r=s+r=t+s+r=0
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> So ich versuch es noch einmal :
> w1=v1 , w2=v1+v2 , w3=v1+v2+...+vn
> 0=t*w1+s*w2+...+r*wn
> 0=(t+s+r)v1+(s+r)v2+...+r*vn
> r=s+r=t+s+r=0
>
>
Hallo,
wenn es Dir dermaßen schwer fällt, da im Vorübergehen n=4 einzusetzen, dann schreib Dir doch den Aufgabentext nochmal nit 'ner 4 auf.
"Es sei V ein K-Vektorraum und $ [mm] \red{4}\in\IN. [/mm] $ Weiter sei [mm] {v_1,...,v_{\red{4}}} [/mm] eine Basis in V und für jedes j $ [mm] \in [/mm] $ {1,...,4} sei $ [mm] wj:=\summe_{i=1}^{j} vi\in [/mm] $ V. Zeigen sie , dass auch [mm] {w_,...,w_{\red{4}}}eine [/mm] Basis von V ist. "
So, was sind also die Bestandteile? Wieviele vektoren w hast Du? [mm] 1,2,3,\red{4}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Mo 24.11.2008 | | Autor: | ulla |
laut meinem Aufgabentext habe ich n Vektoren für w. Dann versteh ich das so, dass ich w1= v1 und wn= v1+...+vn habe. Das weitere habe ich ja vorhin hingeschrieben und besser versteh ich es nicht!
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Hallo,
ich dachte, Du wolltest es mit n=4 versuchen.
Und mit n=5 kannst Du's auch noch machen.
Das, was Du bisher r,s,t ... genannt hast, nenn lieber [mm] t_1, t_2, t_3 [/mm] usw. Dann siehst Du das besser.
gruß von Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Mo 24.11.2008 | | Autor: | ulla |
Danke Angela
also ich versuch es nun ein letztes Mal , bin jetzt nämlich total raus glaub ich .
w1=v1, wn= v1+...+vn
0=t1*w1+...+tn*vn
0=(t1+...+tn)v1+...+tn*vn
tn=...=t1+...+tn=0
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> Danke Angela
> also ich versuch es nun ein letztes Mal , bin jetzt
> nämlich total raus glaub ich .
> w1=v1, wn= v1+...+vn
> [mm] \red{(\*)}0=t1*w1+...+tn*vn
[/mm]
> 0=(t1+...+tn)v1+...+tn*vn
> tn=...=t1+...+tn=0
Hallo,
unten beiden Gleichungen hättest Du vielleicht ein bißchen mehr schreibensollen, damit Du bessser siehst, wie das GS aussieht:
[mm] 0=t_1+ t_2 [/mm] + [mm] t_3 [/mm] + [mm] ...+t_n
[/mm]
0= [mm] t_2 [/mm] + [mm] t_3 [/mm] + [mm] ...+t_n [/mm]
0= [mm] t_3 [/mm] + [mm] ...+t_n [/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
0= [mm] t_{n-1}+t_n
[/mm]
0= [mm] t_n
[/mm]
Diese Gleichungssystem ist zu lösen, und wenn Du für alle t Null herausbekommst, weißt Du, daß Deine [mm] w_i [/mm] linear unabhängig sind. Bei [mm] \red{(\*)} [/mm] war ja die Startgleichung für die Unabhängigkeit.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Calcio |
Um zu zeigen, dass {w1, ..., wn} eine Basis ist, muss aber doch auch erfüllt sein, dass der span(w1, ..., wn) = V ist. (Wie macht man sowas?) Oder reicht es aus zu zeigen, dass {w1, ..., wn} linear unabhängig ist?
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> Um zu zeigen, dass {w1, ..., wn} eine Basis ist, muss aber
> doch auch erfüllt sein, dass der span(w1, ..., wn) = V ist.
Hallo,
V ist n.V. n-dimensional, also bilden n linear unabhängige Vektoren von V "automatisch" eine Basis.
Gruß v. Angela
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