Basis & komplement. Unterraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Do 10.02.2011 | | Autor: | Halvalon |
| Aufgabe | a) Bestimmen sie eine Basis von
U= (x [mm] \in R^{4} [/mm] / [mm] \pmat{ 2 & 1 & 2 & 4 \\ 1 & 4 & 8 & 9 \\ 1 & -3 & 6 & -5} [/mm] x=0 )
b) Bestimmen Sie einen komplementären Unterraum U` von U |
a) Ich habe ZSF angewandt und komme auf:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0}
[/mm]
Ist das jetzt schon meine gesuchte Basis?
Oder muss ich noch x,y,z,u bestimmen?
In der Aufgabenstellung steht x=0 was muss ich da beachten?
b) Wie errechnet sich der Unterraum U'?
Sicherlich muss ich etwas mit der Basis anstellen aber ich habe keinen weiteren Ansatz.
Vielen Dank für jeden Tip.
Grüße
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> a) Bestimmen sie eine Basis von
> U= (x [mm]\in R^{4}[/mm] / [mm]\pmat{ 2 & 1 & 2 & 4 \\
1 & 4 & 8 & 9 \\
1 & -3 & 6 & -5}[/mm]
> x=0 )
Mit anderen Worten: Bestimme eine Basis vom Kern von [mm] $\pmat{ 2 & 1 & 2 & 4 \\ 1 & 4 & 8 & 9 \\ 1 & -3 & 6 & -5}$ [/mm] . Oder noch einmal anders gesagt:
Bestimme die basis von der Lösung des homogenen Gleichungssystem:
[mm]\pmat{ 2 & 1 & 2 & 4 \\
1 & 4 & 8 & 9 \\
1 & -3 & 6 & -5} \vektor{x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4}=\vektor{0 \\
0\\
0}[/mm]
>
> b) Bestimmen Sie einen komplementären Unterraum U' von U
> a) Ich habe ZSF angewandt und komme auf:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 0}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ist das jetzt schon meine gesuchte Basis?
Die Basis besteht in diesem Fall aus Vektoren! Wie gesagt es reicht eine Basis von der Lösung des oben genannten Gleichungssystem anzugeben.
> Oder muss ich noch x,y,z,u bestimmen?
Das ist ja nicht eindeutig. Es gibt mehrere x,y,z,u oder in anderer Schreibweise [mm] $x_1,x_2,x_3,x_4$.
[/mm]
> In der Aufgabenstellung steht x=0 was muss ich da
> beachten?
Das x ist ein Vektor, der im Kern von der Matrix [mm] $\pmat{ 2 & 1 & 2 & 4 \\ 1 & 4 & 8 & 9 \\ 1 & -3 & 6 & -5}$ [/mm] liegt
>
> b) Wie errechnet sich der Unterraum U'?
> Sicherlich muss ich etwas mit der Basis anstellen aber ich
> habe keinen weiteren Ansatz.
Mit dem Wort "Kern" und komplementärer Untervektorraum kannst du bestimmt etwas anfangen. Außerdem: Sei U wie oben ein Untervektorraum von [mm] $\IR^4$, [/mm] dann ist [mm] $\IR^4=U\oplus [/mm] U'$
>
> Vielen Dank für jeden Tip.
> Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Fr 11.02.2011 | | Autor: | Halvalon |
Ich habe jetzt den Kern bestimmt mit
Ker f ( [mm] t\*\vektor{-1 \\ -2 \\ 0 \\ 1} [/mm] )
habe gehofft diesen mit der Ausgangsmatrix zu multiplizieren
kam natürlich [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 } [/mm]
was mir zeigt das der Kern stimmt weil ein Einheitsvektor herauskommt.
Demzufolge falscher Ansatz zur Berechnung zum Unterraum!
Definition zum komplementären Unterraum:
Ein Unterraum W [mm] \subset [/mm] V heißt komplementär zu einem Unterraum U, falls V direkte Summe von U und W ist.
Ich habe keine Ahnung was mir das sagt, noch wie ich es rechnen muss.
Bitte helft mir...
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 Fr 11.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Kern stimmt zwar, aber deine begründung ist falsch. es darf nicht
$ [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] $ rauskommen! kern heisst doch es wird auf 0 abg. d.h. es muss $ [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] $ rauskommen
du hast jetzt einen Vektor im [mm] R^4, [/mm] due suchst beliebige 3 andere, so dass alle 4 dann lin unabh. sind. meist ist es leichter zu raten als zu rechnen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 So 13.02.2011 | | Autor: | Halvalon |
Zu der Basis schreibe ich dann das Ergebnis also so;
[mm] <\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 2 \\ 0}>
[/mm]
Mit der Probe zum Kern hatte ich mich verrechnet da kam [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] raus wie oben schon festgestellt.
dadurch das ich im [mm] \IR^{4} [/mm] bin, kann ich den komplementären Unterraum also so schreiben?
[mm] \pmat{ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Gruß
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Hallo Halvalon,
> Zu der Basis schreibe ich dann das Ergebnis also so;
> [mm]<\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 2 \\ 0}>[/mm]
Das ist keine Basis, da 4 Vektoren des
[mm]\IR^{3}[/mm] linear abhängig sind.
>
> Mit der Probe zum Kern hatte ich mich verrechnet da kam
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] raus wie oben schon festgestellt.
>
> dadurch das ich im [mm]\IR^{4}[/mm] bin, kann ich den
> komplementären Unterraum also so schreiben?
>
> [mm]\pmat{ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
Den komplentären Unterraum kannst Du so nicht schreiben.
>
> Gruß
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 So 13.02.2011 | | Autor: | Halvalon |
ich verzweifel langsam.
wie mache ich es dann richtig?
gebe ich dann die parameterdarstellung an?
oder nehme ich vektoren die ein vielfaches vom kern sind?
ich verstehe glaube die zusammenhänge dahinter falsch.
mit rauchendem kopf und freundlichen grüßen
Basis wäre [mm] v=\vektor{-1 \\ -2 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
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Hallo Halvalon,
> ich verzweifel langsam.
> wie mache ich es dann richtig?
>
> gebe ich dann die parameterdarstellung an?
> oder nehme ich vektoren die ein vielfaches vom kern sind?
>
> ich verstehe glaube die zusammenhänge dahinter falsch.
Du mußt die Lösungsmenge von
[mm]-x_{1}-2*x_{2}+0*x_{3}+1*x_{4}=0[/mm]
bestimmen.
>
> mit rauchendem kopf und freundlichen grüßen
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 So 13.02.2011 | | Autor: | Halvalon |
bitte kontrollieren
Lösungsmenge von:
[mm] -x_{1}-2x_{2}+0x_{3}+1x_{4}
[/mm]
ist:
L= ( [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}+s\vektor{-2 \\ 1 \\ 0 \\ 0}+t\vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] )
das ist jetzt das Ergebnis für den Unterraum?
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Hallo Halvalon.
> bitte kontrollieren
>
> Lösungsmenge von:
> [mm]-x_{1}-2x_{2}+0x_{3}+1x_{4}[/mm]
> ist:
>
> L= ( [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}+s\vektor{-2 \\ 1 \\ 0 \\ 0}+t\vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> )
>
> das ist jetzt das Ergebnis für den Unterraum?
>
Das musst Du nochmal nachrechnen.
Im übrigen gibt es nur parameterabhängige Löaungen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 So 13.02.2011 | | Autor: | Halvalon |
L= ( [mm] r\vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}+s\vektor{0 \\ -2 \\ 0 \\ 0}+t\vektor{ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] / r,s,t [mm] \in [/mm] R)
bitte kontrollieren
x3 ist eigentlich Nullvektor, kommt der dennoch mit hin?
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Hallo Halvalon,
> L= ( [mm]r\vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}+s\vektor{0 \\ -2 \\ 0 \\ 0}+t\vektor{ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> / r,s,t [mm]\in[/mm] R)
>
> bitte kontrollieren
>
> x3 ist eigentlich Nullvektor, kommt der dennoch mit hin?
Bestimme doch einfach die Lösungsmenge von
[mm]-x_{1}-2*x_{2}+0*x_{3}+1*x_{4}=0[/mm]
Aufgelöst nach [mm]x_{1}[/mm] ergibt sich:
[mm]x_{1}= \alpha*x_{2}+\beta*x_{3}+\gamma*x_{4}[/mm]
[mm]x_{2}=s[/mm]
[mm]x_{3}=t[/mm]
[mm]x_{4}=u[/mm]
Dann ist
[mm]x_{1}= \alpha*s+\beta*t+\gamma*u[/mm]
Gruss
MathePower
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