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| Aufgabe | Seien [mm] B_3 [/mm] = [mm] {(1,1,0)^T,(0,1,1)^T,(1,0,1)^T} [/mm] und [mm] B_2 [/mm] = [mm] {(1,1)^T,(2,1)^T}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass [mm] B_2 [/mm] eine Basis des [mm] R^2 [/mm] ist.
b) Bestimmen Sie [mm] M(f)^B^_3 _B_2 (B_2 [/mm] muss nach unten) ^^ und M(g^(-1)) von [mm] B_2 [/mm] nach [mm] B_2
[/mm]
[mm] f:\quad \IR^3 \to \IR^2 \quad (x,y,z)^T \to [/mm] (x+2y+z, [mm] -x+2z)^T
[/mm]
[mm] g:\quad \IR^2 \to \IR^2 \quad (x,y)^T \to [/mm] (2x-y, [mm] x)^T [/mm] |
Hallo, ich hoffe man erkennt alles.
zu a)
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
1 & 1
\end{pmatrix} \to [/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
[/mm]
daraus folgt, dass [mm] B_2 [/mm] eine Basis von [mm] \IR^2 [/mm] ist, da die Vektoren linear unabhängig sind.
bei b hab ich Probleme ich weiß dass ich Linearkombinationen bilden muss für die Darstellungsmatrix aber welche muss ich denn darstellen? :S und g^(-1) ist die Inverse. Von welcher Matrix muss ich denn die Inverse berechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:51 Fr 15.03.2013 | | Autor: | hippias |
Du kannst die gesuchten Matrizen ermitteln indem Du die Bilder $f(1,1,0)$, $f(0,1,1)$ etc. in der Basis [mm] $B_{2}$ [/mm] darstellst. Z.B. ist $f(1,1,0)= (3,-1)= -5(1,1)+ 4(2,1)$, sodass die erste Zeile, bzw. Spalte je nach Konvention, $(5-, 4)$ lautet.
Analog fuer [mm] $g^{-1}$.
[/mm]
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danke, aber geht es vllt ein tick ausführlicher.
Bsp bei [mm] (0,1,1)^T [/mm] = _________ = x(1,1)+y(2,1)
wie kam bei dir die -5 und 4 zustande hast du es ausprobiert? oder sieht man es irgendwie?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 Fr 15.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> danke, aber geht es vllt ein tick ausführlicher.
> Bsp bei [mm](0,1,1)^T[/mm] = _________ = x(1,1)+y(2,1)
>
> wie kam bei dir die -5 und 4 zustande hast du es
> ausprobiert? oder sieht man es irgendwie?
Mit (3,-1)=x(1,1)+y(2,1) hast Du folgendes LGS:
x+2y=3
x+y=-1
Ich hoffe , Du bist in der Lage, dieses LGS in 1 Minute zu lösen
FRED
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ok, das habe ich verstanden und konnte es auch lösen und von wo kriegt man die (3,-1) ? ich glaub dann sind alle offenen Fragen erledigt zur Zeit, und nachmittags stell ich die ergebnisse online und hoffe dass die richtig sind.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:16 Fr 15.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> ok, das habe ich verstanden und konnte es auch lösen und
> von wo kriegt man die (3,-1) ?
f(1,1,0)= (3,-1)
FRED
> ich glaub dann sind alle
> offenen Fragen erledigt zur Zeit, und nachmittags stell ich
> die ergebnisse online und hoffe dass die richtig sind.
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Okay, der hat es in die Abbildungsvorschrift eingesetzt. Naja dann bis Später.
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Hallo,
für f(1,1,0) = (3,-1) = -5(1,1)+4(2,1)
für f(0,1,1) = (3,2) = 1(1,1)+1(2,1)
für f(1,0,1) = (2,1) = 0(1,1)+1(2,1)
nun lautet die Darstellungsmatrix von M(f)
[mm] \begin{pmatrix}
-5 & 4 \\
1 & 1 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
stimmt das?
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Hallo ellegance,
> Hallo,
>
> für f(1,1,0) = (3,-1) = -5(1,1)+4(2,1)
>
> für f(0,1,1) = (3,2) = 1(1,1)+1(2,1)
>
> für f(1,0,1) = (2,1) = 0(1,1)+1(2,1)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> nun lautet die Darstellungsmatrix von M(f)
>
> [mm]\begin{pmatrix} -5 & 4 \\
1 & 1 \\
0 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> stimmt das?
Nein, die Darstellungsmatrix muss doch vom Format [mm]2\times 3[/mm] sein, f bildet doch von [mm]\IR^3\to\IR^2[/mm] ab ...
Wie stellt man aus den Koordinaten der LK's die Matrix auf?
Gruß
schachuzipus
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oops sry, dann müsste es
[mm] \begin{pmatrix}
-5 & 1 & 0 \\
4 & 1 & 1
\end{pmatrix} [/mm] sein oder?
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Hallo nochmal,
> oops sry, dann müsste es
>
> [mm]\begin{pmatrix} -5 & 1 & 0 \\
4 & 1 & 1 \end{pmatrix}[/mm] sein oder?
Das ist viel besser 
Richtig!
Gruß
schachuzipus
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Danke, :)
Bevor ich die Inverse berechnen kann brauche ich M(g).
Wenn ich das Analog wie oben mache kriege ich folgendes raus:
g(1,1) = (1,1) =1(1,1)+0(2,1)
g(2,1) = (3,1) = -1(1,1)+2(2,1)
also lautet M(g):
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-1 & 2
\end{pmatrix}
[/mm]
Und die Inverse würde
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\bruch{1}{2} & \bruch{1}{2}
\end{pmatrix}
[/mm]
sein oder ist die Matrix wieder verkehrt rum?
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Hallo,
> g(1,1) = (1,1) =1(1,1)+0(2,1)
> g(2,1) = (3,1) = -1(1,1)+2(2,1)
>
> also lautet M(g):
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-1 & 2
\end{pmatrix}[/mm]
>
Die Matrix müsste sein [mm]\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
0 & 2
\end{pmatrix}[/mm]
Gruß helicopter
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soo
Die Inverse lautet:
[mm] \begin{pmatrix}
1 & \bruch{1}{2} \\
0 & \bruch{1}{2}
\end{pmatrix}
[/mm]
Aufgabenteil c: Bestimmen Sie M(g [mm] \circ [/mm] f) von [mm] B_3 [/mm] nach [mm] B_2
[/mm]
wie mache ich das bei der Verknüpfung? Welche Basis muss ich als Linearkombination von welchem darstellen wenn ich beides verknüpfe? :S
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Hallo,
> Aufgabenteil c: Bestimmen Sie M(g [mm]\circ[/mm] f) von [mm]B_3[/mm] nach
> [mm]B_2[/mm]
>
> wie mache ich das bei der Verknüpfung? Welche Basis muss
> ich als Linearkombination von welchem darstellen wenn ich
> beides verknüpfe? :S
Dazu musst du die Matrizen multiplizieren, du hast ja [mm] M_{f} [/mm] von [mm] B_3 [/mm] nach [mm] B_2 [/mm] und die [mm] M_{g} [/mm] von [mm] B_2 [/mm] nach [mm] B_2.
[/mm]
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Ich habe jetzt die Matrizen multipliziert.
M ( g o f ) =
[mm] \begin{pmatrix}
-9 & 0 & -1 \\
8 & 2 & 2
\end{pmatrix}
[/mm]
und muss ich da noch irgendwas als Linearkombination darstellen oder ist dies das Ergebnis?
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Hallo,
> Ich habe jetzt die Matrizen multipliziert.
> M ( g o f ) =
>
> [mm]\begin{pmatrix}
-9 & 0 & -1 \\
8 & 2 & 2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> und muss ich da noch irgendwas als Linearkombination
> darstellen oder ist dies das Ergebnis?
Nein, damit bist du fertig.
Gruß helicopter
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danke jetzt fehlt nur noch d und e dann endlich fertig :D
aufgabenteil d) Gilt [mm] \IR^3 [/mm] = Kern ( g o f) + Bild(g o f)
dazu würd ich sagen dass es nicht gilt weil wir doch im [mm] \IR^2 [/mm] sind oder?
und e) Geben Sie Basis und Dimension von kern f und Bild f.
Dimension ist doch der Rang der Matrix oder? Wenn ja, muss ich ja nur M(f) mit dem gauß-verfahren auf die Zeilenstufenform bringen. Und die "nicht Nullzeilen" ist die Dimension? Und die Basis?
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Hallo,
> danke jetzt fehlt nur noch d und e dann endlich fertig :D
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> aufgabenteil d) Gilt [mm]\IR^3[/mm] = Kern ( g o f) + Bild(g o f)
>
> dazu würd ich sagen dass es nicht gilt weil wir doch im
> [mm]\IR^2[/mm] sind oder?
Naja, [mm] g\circ{}f [/mm] ist doch eine Abbildung von [mm] \IR^{3} [/mm] nach [mm] \IR^2.
[/mm]
Der Kern sind also [mm] x\in\IR^{3} [/mm] mit der Eigenschaft das [mm] M_{g\circ{}f}\cdot{x}=0. [/mm]
> und e) Geben Sie Basis und Dimension von kern f und Bild
> f.
>
> Dimension ist doch der Rang der Matrix oder? Wenn ja, muss
> ich ja nur M(f) mit dem gauß-verfahren auf die
> Zeilenstufenform bringen. Und die "nicht Nullzeilen" ist
> die Dimension? Und die Basis?
Die Dimension des Bildes ist der Rang der Matrix, wenn ich mich richtig erinnere. Bring die Matrix auf die Zeilenstufenform, damit hast du dann die Dimension des Bildes und kannst daran auch die Basis des Bildes ablesen.
Für den Kern musst du das Gleichungssystem [mm] M_{g\circ{}f}\cdot{x}=0 [/mm] lösen.
EDIT: Ich bin mir nicht ganz sicher, aber ich glaube mir der Dimensionsformel und dem Isomorphiesatz müsste die Aussage aus d) gelten.
Gruß helicopter
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