Basis und Dimension < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:37 So 18.05.2008 | | Autor: | farhad |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Bestimimmen Sie die Dimension des Teilraums des R hoch 3,welcher von den Vektoren:vektor v eins=(2,4,8,-4,-7),Vektor v zwei=(4,-2,-1,3,1),Vektor v drei=(3,5,2,-2,4),Vektor v vier=(-5,1,7,-6,2) erzeugt wird |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf andere n Internetseiten gestellt.
Ermitteln eine Basis und die Dimension der folgende Teilräume:
a)w=(x,y,z element R hoch 3 und x+y+z=0
b)w=(x,y,z element r hoch 3 und x=y=z=0
c)w=(x,y,z element R hoch 3 und z=3x
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 So 18.05.2008 | | Autor: | farhad |
| Aufgabe | Hallo,
bei diese Frage muss Ich Linearunabhängigkeit beweisen .aber kann jemand mir sagen,wie ich das macchen kann |
Hallo,
bei diese Frage muss Ich Linearunabhängigkeit beweisen .aber kann jemand mir sagen,wie ich das macchen kann
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 So 18.05.2008 | | Autor: | farhad |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in kein anderen Internetseiten gestellt.
Ermitteln sie eine basis und die Dimension der Folgende Teilräume:
a)w=(x,y,z element R hoch 3 und x+y+z=0
b)w=(x,y,z element R hoch 3 und x=y=z=0
c)w=(x,y,z element R hoch 3 und z=3x |
Hallo,
Ich weiss ,dass ich mit der Dimension Formel arbeiten muss .aber ich weisses nicht wie.
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Hallo Farhad,
du brauchst die Dimensionsformel hier nicht.
Überlege dir, wie ein allg. Vektor aus den jeweiligen Mengen aussieht.
Nehmen wir zB die Menge in (a)
[mm] $M=\left\{\vektor{x\\y\\z}\in\IR^3\mid x+y+z=0\right\}$
[/mm]
Die Bedingung an die Vektoren aus M ist also, dass die Summe der Komponenten 0 ergibt
Schauen wir uns also die Gleichung $x+y+z=0$ näher an.
Welche allg. Lösung hat sie?
Du hast 1 Gleichung in 3 Unbekannten, also 2 freie Variablen, sagen wir $z=t, y=s$ mit [mm] $s,t\in\IR$
[/mm]
Dann ist [mm] $x+y+z=0\gdw x+s+t=0\gdw [/mm] x=-s-t$
Ein allg. Vektor aus M sieht also so aus: [mm] $\vektor{x\\y\\z}=\vektor{-s-t\\s\\t}$ [/mm] mit [mm] $s,t\in\IR$
[/mm]
Das kann man auseinander ziehen:
[mm] $\vektor{-s-t\\s\\t}=\vektor{-s\\s\\0}+\vektor{-t\\0\\t}=s\cdot{}\vektor{-1\\1\\0}+t\cdot{}\vektor{-1\\0\\1}$
[/mm]
Also ist eine Basis.... und damit die Dimension...
Bei den anderen Mengen ist's wesentlich einfacher...
Überlege dir auch dort, wie du einen Vektor aus den Mengen allg. darstellen kannst...
Ein Hinweis noch zur allerersten Aufgabe in deinem obersten post.
Da hattest du dich wohl irgendwie verschrieben, die Vektoren [mm] $v_1,...,v_4$ [/mm] haben doch allesamt 5 Komponenten, sie spannen also einen Unterraum des [mm] $\IR^{\red{5}}$ [/mm] auf und nicht des [mm] $\IR^3$ [/mm] wie du geschrieben hast
Wie du auf Lineare Unabh. prüfen musst, schlage bitte in der Vorlesung nach, das habt ihr mit 1000%er Sicherheit mehrfach durchgekaut 
LG
schachuzipus
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Hi,
geht es noch um die selben Vektoren? Ich denke ja
Nun erst einmal wieder die Definition anschauen:
Die Vektoren [mm] \vec{a_{1}},\vec{a_{2}},...,\vec{a_{n}} [/mm] heissen voneinander linear abhängig, wenn mindestens einer dieser Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren darstellbar ist. Andernfalls heissen die Vektoren linear unabhängig.
Ich gebe dir auch mal ein Beispiel:
Gegeben seinen zwei Vektoren:
[mm] \vec{v_{1}}=\vektor{2 \\ 1} [/mm] und [mm] \vec{v_{2}}=\vektor{1 \\ 3}
[/mm]
Wir schreiben nun die Vektoren in eine LGS um:
[mm] \\2r+ \\s=0
[/mm]
[mm] \underline{r+3s=0}
[/mm]
[mm] \\2r+ \\s=0
[/mm]
[mm] \undeline{5s=0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \\s=0 \Rightarrow \\r=0
[/mm]
Das bedeutet, dass nur die triviale Lösung existiert und die Vektoren sind somit linear unabhängig.
Versuch es mal mit deinen Vektoren oder mit denen zur Übung:
[mm] \vec{v_{1}}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] , [mm] \vec{v_{2}}=\vektor{4 \\ 0 \\ 1} [/mm] , [mm] \vec{v_{3}}=\vektor{2 \\ -4 \\ 7}. [/mm] Du wirst festellen dass diese Vektoren linear abhängig sind.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:45 So 18.05.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Beim dritten Vektor habe ich [mm] \vektor{2 \\ -4\\ -5} [/mm] raus für lineare Abhängigkeit, an Stelle von [mm] \vektor{2 \\ -4\\ 7}
[/mm]
Weil: [mm] (-2)*\vektor{1 \\ 2\\ 3}+ \vektor{4 \\ 0\\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -4\\ -5}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 So 18.05.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
Hi,
Ich verstehe nicht ganz was du mir damit sagen willst? Warum soll dort [mm] \vektor{2 \\ -4 \\ -5} [/mm] herauskommen?
Die Vektoren [mm] \vec{v_{1}},\vec{v_{2}} [/mm] und [mm] \vec{v_{3}} [/mm] sollen auf Linear Unabhängigkeit geprüft werden.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:10 So 18.05.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> Die Vektoren [mm]\vec{v_{1}},\vec{v_{2}}[/mm] und [mm]\vec{v_{3}}[/mm] sollen
> auf Linear Unabhängigkeit geprüft werden.
Ja, genau. Aber dann hast du geschrieben: "Du wirst festellen dass diese Vektoren linear abhängig sind."
Die von dir genannten 3 Vektoren sind aber linear unabhängig
> Warum soll dort [mm]\vektor{2 \\ -4 \\ -5}[/mm] herauskommen?
Weil sie dann linear abhängig wären.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:21 So 18.05.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> ich habe mich bei [mm]\vec{v_{1}}[/mm] etwas verschrieben
Naja, eigentlich ist es ja auch völlig egal, bei welchem Vektor man welche Komponente ändert.
Ich hatte rein willkürlich bei [mm]\vec{v_{3}}[/mm] die unterste Komponente so angepasst, dass Lineare Abhängigkeit entstand.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:34 So 18.05.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> Das ist klar nur war ich verwundert was du mir damit
> sagen wolltest.
Dir wollte ich damit eigentlich gar nichts sagen, da ich annehme, dass du dich mit der Materie auskennst (bzw. hier nur ein Minuszeichen vergessen hast)
Aber wer sich nicht so gut auskennt, der würde ja sonst nicht verstehen, wie du da auf Lineare Abhängigkeit gekommen bist, wenn er dein Beispiel durchrechnet. Deshalb hatte ich geschrieben, dass da an einer bestimmten Stelle eine andere Zahl stehen müsste.
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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