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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 So 16.01.2011 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Sei W ein UVR des endlichdimensional Vektorraum V. Angenommen, dass [mm] B=(w_1,......,w_m) [/mm] eine Basis für W ist und [mm] (v_1+W,......,v_k+W) [/mm] eine Basis des Quotientenraum V/W bildet. Zeigen Sie, dass [mm] C=(w_1,.......,w_m,v_1,......vk) [/mm] eine Basis für V ist, ohne die Formel für
dim(V)=dim(W)+dim(V/W) anzuwenden. |
Hallo,
wir hatten letztens eine Aufgabe wovon ich denke, dass sie die Lösung dieser Aufgabe ist.
Diese lautete: Es sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und U [mm] \subseteq [/mm] V ein Untervektorraum. Weiterhin sei [mm] u_1, [/mm] . . . , [mm] u_m [/mm] eine Basis
von U.
Dann gibt es nach dem Basisergänzungssatz ein n [mm] \in N_0 [/mm] und Vektoren [mm] v_1, [/mm] . . . , [mm] v_n \in [/mm] V, so dass [mm] u_1, [/mm] . . . , [mm] u_m, v_1, [/mm] . . . , [mm] v_n [/mm] eine
Basis von V ist.
Zeigen Sie, dass in dieser Situation die Elemente [mm] v_1 [/mm] + U, . . . , [mm] v_n [/mm] + U eine Basis von V=U bilden.
Da wir das schon gezeigt haben, ist das doch schon die Antwort oder irre ich mich :-S???
Lg Melisa
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Hallo Melisa!
> Sei W ein UVR des endlichdimensional Vektorraum V.
> Angenommen, dass [mm]B=(w_1,......,w_m)[/mm] eine Basis für W ist
> und [mm](v_1+W,......,v_k+W)[/mm] eine Basis des Quotientenraum V/W
> bildet. Zeigen Sie, dass [mm]C=(w_1,.......,w_m,v_1,......vk)[/mm]
> eine Basis für V ist, ohne die Formel für
>
> dim(V)=dim(W)+dim(V/W) anzuwenden.
Hier sind Basen von $V/W$ und $W$ gegeben, aus denen eine Basis $C$ von $V$ konstruiert wird.
> Hallo,
>
>
> wir hatten letztens eine Aufgabe wovon ich denke, dass sie
> die Lösung dieser Aufgabe ist.
>
> Diese lautete: Es sei V ein endlichdimensionaler
> K-Vektorraum und U [mm]\subseteq[/mm] V ein Untervektorraum.
> Weiterhin sei [mm]u_1,[/mm] . . . , [mm]u_m[/mm] eine Basis
> von U.
> Dann gibt es nach dem Basisergänzungssatz ein n [mm]\in N_0[/mm]
> und Vektoren [mm]v_1,[/mm] . . . , [mm]v_n \in[/mm] V, so dass [mm]u_1,[/mm] . . . ,
> [mm]u_m, v_1,[/mm] . . . , [mm]v_n[/mm] eine
> Basis von V ist.
> Zeigen Sie, dass in dieser Situation die Elemente [mm]v_1[/mm] + U,
> . . . , [mm]v_n[/mm] + U eine Basis von V=U bilden.
Hier sind Basen von $V$ und $U$ gegeben, aus denen eine Basis von $V/U$ konstruiert wird.
>
>
> Da wir das schon gezeigt haben, ist das doch schon die
> Antwort oder irre ich mich :-S???
Nein oder ja 
Du musst zeigen, dass $C$ linear unabhängig und ein Erzeugendensystem ist.
Betrachte Folgendes:
[mm] $v-\sum\limits_{i=1}^k a_i v_i\in [/mm] W$, für [mm] $v\in [/mm] V$ und geeignete [mm] $a_i$
[/mm]
und
[mm] $\sum\limits_{i=1}^m b_i w_i [/mm] + [mm] \sum\limits_{i=1}^k a_i v_i [/mm] = 0$
>
>
> Lg Melisa
>
>
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 So 16.01.2011 | | Autor: | melisa1 |
Hallo mathfunnel,
danke erstmal für die schnelle Antwort. Ich versteh jedoch nicht, wie du auf:
>
> Betrachte Folgendes:
>
> [mm]v-\sum\limits_{i=1}^k a_i v_i\in W[/mm], für [mm]v\in V[/mm] und
> geeignete [mm]a_i[/mm]
>
> und
>
> [mm]\sum\limits_{i=1}^m b_i w_i + \sum\limits_{i=1}^k a_i v_i = 0[/mm]
>
> >
kommst oder was das bedeutet und auch nicht, wie ich damit zeigen soll, dass C linear unabhängig ist????
Lg Melisa
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Hallo Melisa,
>
>
> Hallo mathfunnel,
>
>
> danke erstmal für die schnelle Antwort. Ich versteh jedoch
> nicht, wie du auf:
>
> >
> > Betrachte Folgendes:
> >
> > [mm]v-\sum\limits_{i=1}^k a_i v_i\in W[/mm], für [mm]v\in V[/mm] und
> > geeignete [mm]a_i[/mm]
Um zu zeigen, dass $C$ ein Erzeugendensystem ist, benutzt man, dass [mm] $(v_1+W,......,v_k+W)$ [/mm] und $B$ Erzeugendensysteme sind. Es folgt für [mm] $v\in [/mm] V$: $v +W = [mm] \sum\limits_{i=1}^k a_i v_i [/mm] +W$ für geeignete [mm] $a_i$. [/mm]
> >
> > und
> >
> > [mm]\sum\limits_{i=1}^m b_i w_i + \sum\limits_{i=1}^k a_i v_i = 0[/mm]
>
> >
Man zeigt für die Unabhängigkeit, dass die Koeffizienten $0$ sind und benutzt dazu die lineare Unabhängigkeit der gegebenen Basen.
> > >
>
>
> kommst oder was das bedeutet und auch nicht, wie ich damit
> zeigen soll, dass C linear unabhängig ist????
>
>
>
> Lg Melisa
>
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 So 16.01.2011 | | Autor: | melisa1 |
Hallo nochmal,
tut mir leid, ich weiß ich stelle mich gerade blöd an, aber es macht irgendwie noch nicht richtig klick bei mir.
Erst mal eine formale Frage: muss das nicht = heißen statt -?
> > > Betrachte Folgendes:
> > >
> > > [mm]v-\sum\limits_{i=1}^k a_i v_i\in W[/mm], für [mm]v\in V[/mm] und
> > > geeignete [mm]a_i[/mm]
>
> Um zu zeigen, dass [mm]C[/mm] ein Erzeugendensystem ist, benutzt
> man, dass [mm](v_1+W,......,v_k+W)[/mm] und [mm]B[/mm] Erzeugendensysteme
> sind. Es folgt für [mm]v\in V[/mm]: [mm]v +W = \sum\limits_{i=1}^k a_i v_i +W[/mm]
> für geeignete [mm]a_i[/mm].
>
Ist es somit schon gezeigt, dass es ein erzeugendensystem ist oder was muss ich da noch machen? :-S
Das sind auch meine letzten Fragen für heute, ich glaube ich brauche mal eine Pause.
Lg Melisa
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Hallo Melisa!
> Hallo nochmal,
>
>
> tut mir leid, ich weiß ich stelle mich gerade blöd an,
> aber es macht irgendwie noch nicht richtig klick bei mir.
>
> Erst mal eine formale Frage: muss das nicht = heißen statt
> -?
Nein, aus $ v +W = [mm] \sum\limits_{i=1}^k a_i v_i [/mm] +W $ folgt $ [mm] v-\sum\limits_{i=1}^k a_i v_i\in [/mm] W $.
Das '-' ist also richtig. Es folgt weiter, dass [mm] $v-\sum\limits_{i=1}^k a_i v_i [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^k b_i w_i$ [/mm] mit geeigneten [mm] $b_i$. [/mm] Also, da $v = [mm] \sum\limits_{i=1}^k a_i v_i [/mm] + [mm] \sum\limits_{i=1}^m b_i w_i$ [/mm] beliebig war, ist $C$ ein Erzeugendensystem.
> > > > Betrachte Folgendes:
> > > >
> > > > [mm]v-\sum\limits_{i=1}^k a_i v_i\in W[/mm], für [mm]v\in V[/mm] und
> > > > geeignete [mm]a_i[/mm]
> >
> > Um zu zeigen, dass [mm]C[/mm] ein Erzeugendensystem ist, benutzt
> > man, dass [mm](v_1+W,......,v_k+W)[/mm] und [mm]B[/mm] Erzeugendensysteme
> > sind. Es folgt für [mm]v\in V[/mm]: [mm]v +W = \sum\limits_{i=1}^k a_i v_i +W[/mm]
> > für geeignete [mm]a_i[/mm].
> >
>
>
> Ist es somit schon gezeigt, dass es ein erzeugendensystem
> ist oder was muss ich da noch machen? :-S
>
>
> Das sind auch meine letzten Fragen für heute, ich glaube
> ich brauche mal eine Pause.
>
>
> Lg Melisa
Die lineare Unabhängigkeit schaffst du jetzt bestimmt!
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:03 Mo 17.01.2011 | | Autor: | melisa1 |
Guten morgen 
>>Man zeigt für die Unabhängigkeit, dass die Koeffizienten 0 sind und benutzt dazu die lineare Unabhängigkeit der gegebenen Basen. <<
Kann ich also sagen: dadurch, dass wir gegebene Basen haben und die Koeffizienten davon Null sein müssen (da sie ansonsten nicht linear Unabhängig wären und somit auch keine Basen), d.h. die Koeffizienten von [mm] (v_1+W,....., v_k+W) [/mm] sind Null, also müssen auch die Koeffizienten von C Null sein und somit ist es linear unabhängig und bildet eine Basis von V.
Ist es so richtig oder kann ich das alles wieder vergessen :-S
Lg Melisa
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Hallo Melisa!
> Guten morgen
>
> >>Man zeigt für die Unabhängigkeit, dass die
> Koeffizienten 0 sind und benutzt dazu die lineare
> Unabhängigkeit der gegebenen Basen. <<
>
>
> Kann ich also sagen: dadurch, dass wir gegebene Basen haben
> und die Koeffizienten davon Null sein müssen (da sie
> ansonsten nicht linear Unabhängig wären und somit auch
> keine Basen), d.h. die Koeffizienten von [mm](v_1+W,....., v_k+W)[/mm]
> sind Null, also müssen auch die Koeffizienten von C Null
> sein und somit ist es linear unabhängig und bildet eine
> Basis von V.
Basen haben keine Koeffizienten! Es geht um die Koeffizienten der Basisvektoren in Linearkombinationen.
>
>
> Ist es so richtig oder kann ich das alles wieder vergessen
> :-S
Lieber vergessen, auch falls du damit das Richtige meinen solltest.
$C$ ist linear unabhängig, weil aus
[mm] $\sum\limits_{i=1}^m b_i w_i [/mm] + [mm] \sum\limits_{i=1}^k a_i v_i [/mm] = 0 $ folgt, dass
[mm] $a_i [/mm] = [mm] b_j [/mm] = 0 $ für alle [mm] $i\in \{1,\ldots,m\}$ [/mm] und für alle [mm] $j\in \{1,\ldots,k\}$
[/mm]
Denn es gilt:
Aus [mm] $\sum\limits_{i=1}^m b_i w_i [/mm] + [mm] \sum\limits_{i=1}^k a_i v_i [/mm] = 0$ folgt, dass [mm] $\sum\limits_{i=1}^k a_i v_i\in [/mm] W$ und somit [mm] $a_i [/mm] = 0$ für alle [mm] $i\in\{1,\ldots,k\}$, [/mm] da [mm] $\sum\limits_{i=1}^k a_i (v_i [/mm] +W)= 0 [mm] \in [/mm] V/W$ und [mm] $(v_i+W)_{i=1,\ldots,k}$ [/mm] eine Basis von $V/W$ ist. Folglich ist auch [mm] $b_i [/mm] = 0$ für alle [mm] $i\in\{1,\ldots,m\}$, [/mm] da [mm] $(w_i)_{i=1,\ldots,m}$ [/mm] eine Basis von $W$ ist.
>
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>
>
> Lg Melisa
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:30 Mo 17.01.2011 | | Autor: | melisa1 |
Vielen dank für deine große Hilfe!
Ich muss das mit dem formalen schreiben nochmal üben.....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Di 18.01.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo mathfunnel,
>, da [mm]\sum\limits_{i=1}^k a_i (v_i +W)= 0 \in V/W[/mm]
mir ist nicht klar, warum das gilt.
Gruss
Igor
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Hallo Igor!
> Hallo mathfunnel,
>
> >, da [mm]\sum\limits_{i=1}^k a_i (v_i +W)= 0 \in V/W[/mm]
>
>
> mir ist nicht klar, warum das gilt.
>
>
> Gruss
> Igor
$V/W$ ist der Quotientenraum von $V$ nach $W$. Der Nullvektor [mm] $0_{V/W} \in [/mm] V/W$ ist also die Nebenklasse $0+W = W= w + [mm] W\;(\text{für beliebiges}\; w\in [/mm] W)$.
Also
[mm] $\sum\limits_{i=1}^k a_i (v_i [/mm] + W)= [mm] \sum\limits_{i=1}^k a_i v_i [/mm] + W = W= [mm] 0_{V/W}$, [/mm] da [mm] $\sum\limits_{i=1}^k a_i v_i \in [/mm] W$. Der Nullvektor [mm] $0_{V/W}\in [/mm] V/W$ wird üblicherweise einfach mit $0$ bezeichnet, wenn klar ist aus welchem Raum er ist. Deshalb habe ich $0 [mm] \in [/mm] V/W$ geschrieben.
LG mathfunnel
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:19 Di 18.01.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo mathfunnel,
> [mm]\sum\limits_{i=1}^k a_i (v_i + W)= \sum\limits_{i=1}^k a_i v_i + W = W= 0_{V/W}[/mm],
warum gilt W= 0 ?
Es gilt 0+W=W=w+W
Ich kann daraus nicht W=0 folgern.
Gruss
Igor
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:57 Di 18.01.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo mathfunnel,
ich habe es verstanden, denke ich:
für jedes x+W [mm] \in [/mm] V/W gibt es neutrales Element nämlich 0+W=W,
da x+W+0+W=x+W.
Gruss
Igor
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Do 20.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Mo 17.01.2011 | | Autor: | Igor1 |
EDIT:
Die Frage ist geklärt .
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Hallo Igor!
> EDIT:
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> Die Frage ist geklärt .
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Das freut mich.
LG mathfunnel
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