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Hallo,
Ich komm grad bei der Aufgabe hier nicht weiter,
Leider hab ich noch nie mit Polynomen gerechnet.
Kann man dimensionale Räume mit Polynomen genauso ausdrücken wie mit Vektoren?
Naja, hier ist erstmal die Aufgabe:
welche der folgenden Vektorsysteme bilden eine Basis der Vektorraums Pn, der reelen Polynome von Grad [mm] \len.
[/mm]
Beachte Sie, dass [mm] \left\{ 1,x,x^2........x^n \right\} [/mm] eine Basis von Pn ist.
eines der Vektorsysteme ist z.B
[mm] \left\{ 1,1+x,1+x+x^2,......,1+x....x^n \right\} [/mm]
Der Vekorraum Pn ist doch nicht anderes als [mm] \IR^n.
[/mm]
Meine Idee,
wenn [mm] \left\{ 1,x,x^2........x^n \right\} [/mm] eine Basis von Pn ist und
[mm] \left\{ 1,1+x,1+x+x^2,......,1+x....x^n \right\} [/mm] auch eine basis ist, dann könnte ich doch bei subtrahieren und es müsste 0 ergeben?
Kann man das machen?
Viele Grüße
Philipp
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> Leider hab ich noch nie mit Polynomen gerechnet.
> Kann man dimensionale Räume mit Polynomen genauso
> ausdrücken wie mit Vektoren?
Hallo,
da Du im Hochschulforum postest, nehem ich an, daß Du an der Hochschule lineare Algebra betreibst.
Du mußt Dich von der Vorstellung verabschieden, daß Vektoren die "Pfeile" sind, die Du aus der Schule kennst.
Vektoren sind die Elemente von Vektorräumen, nicht mehr und nicht weniger.
In der Vorlesung habt Ihr gezeigt, daß die Menge der reellen Polynome vom Höchstgrad n zusammen mit den passenden Verknüpfungen einen Vektorraum über [mm] \IR [/mm] bildet.
Die Elemente dieses VRs, also die Vektoren, sind Polynome.
Weiter habt Ihr gezeigt, daß $ [mm] \left\{ 1,x,x^2........x^n \right\} [/mm] $ eine Basis dieses Raumes ist, daß man also jedes der reeleln Polynome vom Höchstgrad n als Linearkombination dieser Basisvektoren darstellen kann, und daß [mm] \left\{ 1,x,x^2........x^n \right\} [/mm] linear unabhängig ist, sich also nur trivial zum Nullpolynom linearkombinieren läßt.
Du sollst nun zeigen, daß auch $ [mm] \left\{ 1,1+x,1+x+x^2,......,1+x....x^n \right\} [/mm] $ eine Basis des besagten Raumes ist. Offensichtlich enthalt diese Menge genausoviele Vektoren wie die Menge [mm] \left\{ 1,x,x^2........x^n \right\}.
[/mm]
Gelingt es Dir also, zu zeigen, daß die Menge linear unabhängig ist,so hast Du gezeigt, daß es sich um eine Basis handelt.
Seien [mm] a_0,...,a_n \in \IR [/mm] mit
[mm] a_0*1 [/mm] + [mm] a_1(1+x) [/mm] + [mm] a_2(1+x+x^2) [/mm] +... [mm] +a_n(1+x....x^n) [/mm] = 0
<==> [mm] (...)*1+(...)x+(...)x^2+...+(...)x^n=0.
[/mm]
Wenn Du soweit bist, bedenke, daß [mm] (1,x,x^2,...,x^n) [/mm] eine Basis ist.
Dies liefert Dir Informationen über die Koeffizienten, also also ein zu lösendes LGS.
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Ich rate Dir, den obigen Lösungsweg gut anzuschauen, weil man das oft gebrauchen kann.
Du hast hier aber noch eine andere Möglichkeit, welche Du vielleicht mit diesem (Unverständlichen) meinst:
> Meine Idee,
> wenn [mm]\left\{ 1,x,x^2........x^n \right\}[/mm] eine Basis von Pn
> ist und
> [mm]\left\{ 1,1+x,1+x+x^2,......,1+x....x^n \right\}[/mm] auch
> eine basis ist, dann könnte ich doch bei subtrahieren
Du kannst zeigen, daß man jedes Basiselement von [mm] \{1,x,x^2,...x^n\} [/mm] als Linearkombination von Elementen aus [mm] \left\{ 1,1+x,1+x+x^2,......,1+x....x^n \right\} [/mm] schreiben kann.
Damit weiß man, daß [mm] \left\{ 1,1+x,1+x+x^2,......,1+x....x^n \right\} [/mm] ein Erzeugendensystem ist.
Die Gleichmächtigkeit ergibt dann, daß man eine Basis hat.
> Der Vekorraum Pn ist doch nicht anderes als [mm]\IR^n.[/mm]
Doch. Im [mm] \IR^n [/mm] sind n-Tupel von reellen Zahlen, im [mm] P_n [/mm] Polynome vom Höchstgrad n.
Die beiden Räume unterscheiden sich sehr - allerdings sind sie isomorph.
Gruß v. Angela
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erstmal danke für deine Antwort,
Das ich zeigen muss, dass das Polynom unabhängig ist habe ich verstanden.
Dazu setzt du ja $ [mm] a_0,...,a_n \in \IR [/mm] $ vor die einzelnen Ausdrücke.
Danach verstehe ich die Umformung, die nach deinem Äquvivalenzpfeil kommt aber nicht.
Kannst du mir da vielleicht noch einen Tip geben wie du daran kommst?
Danke
Philipp
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Hallo Philipp,
na, du musst dich ja an irgendetwas Bekanntem orientieren.
Du weißt, dass [mm] $\{1,x,x^2,....,x^n\}$ [/mm] eine Basis ist, dass also gilt:
[mm] $\lambda_0\cdot{}1+\lambda_1\cdot{}x+\lambda_2\cdot{}x^2+....+\lambda_n\cdot{}x^n=0\Rightarrow \lambda_0=\lambda_1=....=\lambda_n=0$
[/mm]
Nun hat Angela die übliche LK mit der vermeintlich neuen Basis angesetzt:
[mm] $a_0\cdot{}1+a_1\cdot{}(1+x)+a_2\cdot{}(1+x+x^2)+....+a_n\cdot{}(1+x+x^2+...+x^n)$
[/mm]
Das hat sie nun einfach sortiert nach den Potenzen von x
(Du kannst ja, wenn du's auf einen Blick nicht siehst, mal teilweise ausmultiplizieren...)
[mm] $\gdw (a_0+a_1+...+a_n)\cdot{}1+(....)\cdot{}x+(....)\cdot{}x^2+....+(....)\cdot{}x^n$
[/mm]
Um dann auszunutzen, dass [mm] $\{1,x,x^2,....,x^n\}$ [/mm] eine Basis ist...
Fülle nun die fehlenden $(....)$ und ziehe deine Schlüsse..
LG
schachuzipus
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