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| Aufgabe | Betrachtet den Hilbertraum [mm] H=L^{2}([0,1]) [/mm] mit dem inneren produkt
[mm] (f,g)=\int_0^1 f(t)\overline{g(t)}dt
[/mm]
Sei [mm] f_1, f_2, g\in [/mm] H Funktionen definiert (fast überall) bei [mm] f_1(t)=t,f_2(t)=t^2 [/mm] und g(t)=1. Findet eine orthonormale Basis für den Unterraum [mm] span\{f_1,f_2\} [/mm] und bestimmt die Projektion von g auf diesen Unterraum. |
Hallo Alle, kann mir jemand bitte weiterhelfen?
Also erst einmal weiss ich nicht was der Unterraum [mm] span\{f_1,f_2\} [/mm] eigentlich ausmacht, weiss das jemand?
Das mit orthonormaler Basis: Ich weiss, dass so eine ein Orthonormalsatz für H ist auf der Form [mm] (e_i)_{i\inI}, [/mm] so dass [mm] \overline{span\{e_i | i\in I\}}=H. [/mm] Aber gilt das auch hier, wenn man nicht H hat sondern [mm] span\{f_1,f_2\}?
[/mm]
Aber ich habe versucht mit dem Satz [mm] e_n(\theta)=e^{in\pi(\theta+1)}
[/mm]
Das macht dann
[mm] \int_0^1 e_n(\theta)\overline{e_m(\theta)}d\theta=\int_0^1 e^{i\pi(n-m)(\theta+1)}d\theta=\begin{cases} e^{i\pi(n-m)}[\bruch{1}{i\pi(n-m)}e^{i\pi(n-m)\theta}]_0^1, & \mbox{für } n\neq m \mbox{ } \\ [\theta]_0^1, & \mbox{für } n=m \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Und das oberste ergibt 0 wie gewünscht, weil [mm] e_n(\theta) [/mm] periodisch ist, so dass [mm] e^{2\pi n}=e^{\pi n}, [/mm] richtig?
Und das unterste [mm] [\theta]_0^1 [/mm] ergibt 1 wie gewünscht. Dann ist es eine orthonormalbasis?
Mfg
Vogel
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> Betrachtet den Hilbertraum [mm]H=L^{2}([0,1])[/mm] mit dem inneren
> produkt
> [mm](f,g)=\int_0^1 f(t)\overline{g(t)}dt[/mm]
> Sei [mm]f_1, f_2, g\in[/mm] H
> Funktionen definiert (fast überall) bei [mm]f_1(t)=t,f_2(t)=t^2[/mm]
> und g(t)=1. Findet eine orthonormale Basis für den
> Unterraum [mm]span\{f_1,f_2\}[/mm] und bestimmt die Projektion von g
> auf diesen Unterraum.
> Hallo Alle, kann mir jemand bitte weiterhelfen?
>
Hallo,
ich bin mir nicht ganz sicher, ob Dir oder mir Kenntnisse fehlen...
Wenn ich das, was Du weiter unten schreibst und den Eintrag "Hauptstudium" im Profil nicht gesehen hätte, wäre ich mir sicher, daß die Antwort so lautet:
> Also erst einmal weiss ich nicht was der Unterraum
> [mm]span\{f_1,f_2\}[/mm] eigentlich ausmacht, weiss das jemand?
Der Span ist der Raum, der von [mm] f_1(t)=t [/mm] und [mm] f_2(t)=t^2 [/mm] aufgespannt wird.Er beinhaltet also al die Funktionen, die als linearkombination von [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] entstehen.
[mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] sind linear unabhängig, also eine Basis dieses Unterraumes.
Ein ONB findest Du, indem Du mit Gram-Schmidt orthonormalisierst.
Gruß v. Angela
> Das mit orthonormaler Basis: Ich weiss, dass so eine ein
> Orthonormalsatz für H ist auf der Form [mm](e_i)_{i\inI},[/mm] so
> dass [mm]\overline{span\{e_i | i\in I\}}=H.[/mm] Aber gilt das auch
> hier, wenn man nicht H hat sondern [mm]span\{f_1,f_2\}?[/mm]
>
> Aber ich habe versucht mit dem Satz
> [mm]e_n(\theta)=e^{in\pi(\theta+1)}[/mm]
> Das macht dann
> [mm]\int_0^1 e_n(\theta)\overline{e_m(\theta)}d\theta=\int_0^1 e^{i\pi(n-m)(\theta+1)}d\theta=\begin{cases} e^{i\pi(n-m)}[\bruch{1}{i\pi(n-m)}e^{i\pi(n-m)\theta}]_0^1, & \mbox{für } n\neq m \mbox{ } \\ [\theta]_0^1, & \mbox{für } n=m \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> Und das oberste ergibt 0 wie gewünscht, weil [mm]e_n(\theta)[/mm]
> periodisch ist, so dass [mm]e^{2\pi n}=e^{\pi n},[/mm] richtig?
> Und das unterste [mm][\theta]_0^1[/mm] ergibt 1 wie gewünscht. Dann
> ist es eine orthonormalbasis?
>
> Mfg
> Vogel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Do 08.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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