Basis vom Schnitt U und W < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien die folgenden Unterräume des [mm] \IR^3 [/mm] geg.:
U = [mm] <\vektor{1 \\ 0 \\ -2} [/mm] , [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ -6} [/mm] , [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -4} [/mm] >
V = [mm] <\vektor{0 \\ 1 \\ 2} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 1} [/mm] >
Bestimmen sie eine Basis von U [mm] \cap [/mm] V . |
Hallo zusammen,
kann mir jemand sagen wir ich da vorzugehen habe.
Scheint mir irgendwie trivial zu sein, aber so ganz bekomme ich das nicht hin.
habe schon rausgefunden die vektoren in U sind l.a. und die Vektoren in V sind l.u.
Hoffe jemand kann mir schnell helfen!!!
Viele Grüße, der mathedepp_No.1
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Hallo??
Kann mir niemand helfen???
Hoffe jemand findet sich....
Viele Liebe Grüße, der mathedepp_No.1
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Hallo mathedepp_No.1,
> Seien die folgenden Unterräume des [mm]\IR^3[/mm] geg.:
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> U = [mm]<\vektor{1 \\ 0 \\ -2}[/mm] , [mm]\vektor{3 \\ 1 \\ -6}[/mm] ,
> [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ -4}[/mm] >
> V = [mm]<\vektor{0 \\ 1 \\ 2}[/mm] , [mm]\vektor{0 \\ 2 \\ 1}[/mm] >
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> Bestimmen sie eine Basis von U [mm]\cap[/mm] V .
> Hallo zusammen,
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> kann mir jemand sagen wir ich da vorzugehen habe.
> Scheint mir irgendwie trivial zu sein, aber so ganz
> bekomme ich das nicht hin.
> habe schon rausgefunden die vektoren in U sind l.a. und
> die Vektoren in V sind l.u.
Es ist ja [mm] $\vector{3 \\ 1 \\ -6}=\vector{1\\0\\-2}+\vector{2\\1\\-4}$; [/mm] Du kannst also diesen Vektor rausnehmen, ohne daß sich am Erzeugnis was ändert.
Als nächstest muß man schauen, ob evtl. einer der "Erzeugenden-Vektoren" von V nicht in U liegt, also nicht als Linearkombination der Basis von U (die Du eben bestimmt hast  ) dargestellt werden kann; falls ja, kommt er natürlich auch nicht in die Basis von [mm] $U\cup [/mm] V$. Dasselbe mit U.
Mfg
zahlenspieler
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Hallo,
> Es ist ja [mm]\vector{3 \\ 1 \\ -6}=\vector{1\\0\\-2}+\vector{2\\1\\-4}[/mm];
kann hiermit noch irgendwie nix anfangen....:-(
Viele Grüße, mathedepp_No.1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:52 Fr 05.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
fahre doch mal mit de rMaus drüber, dann siehst du, was gemeint war:
[mm]\vektor{3 \\ 1 \\ -6}=\vektor{1\\0\\-2}+\vektor{2\\1\\-4}[/mm]
viele Grüße
DaMenge
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:04 Sa 06.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nimm als Basis von U 2 lin unabhängige von deinen 3. etwa den ersten und dritten.
von V hast du ja schon 2 lin unabh. die in der yzEbene liegen, also diese "aufspannen" die Basisvektoren von U spannen auch ne Ebene auf.
1. ist es dieselbe? dann ist jedes der 2 Basisvektoren von U oder V ne Basis des Schnitts.
Ist es nicht dieselbe, dann gibts Als Schnittmenge nur ne 1d. menge.
Die musst du finden, also die 2 von U so kombinieren, dass das Ergebnis in V liegt oder umgekehrt.
Gruss leduart.
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hallo,
hab das leider noch nicht so ganz verstanden...:-(
Habe jetzt folgende Basen gewält:
U:{(1, 0, [mm] -2)^t [/mm] , (2, 1, [mm] -4)^t}
[/mm]
V: {(0, 1, [mm] 2)^t [/mm] , (0, 2, [mm] 1)^t}
[/mm]
So wie Muss ich jetzt vorgehen um eine Basis von U [mm] \cap [/mm] V zu bestimmen?
kann mir das noch nicht so ganz vorstellen wie ich das anstellen soll.?
Bitte um Hilfe, viele Grüße, der mathedepp_No.1
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 Sa 06.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
> Habe jetzt folgende Basen gewält:
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> U:(1, 0, [mm]-2)^t[/mm] , (2, 1, [mm]-4)^t[/mm]
> V: (0, 1, [mm]2)^t[/mm] , (0, 2, [mm]1)^t[/mm]
>
> So wie Muss ich jetzt vorgehen um eine Basis von U [mm]\cap[/mm] V
> zu bestimmen?
ich hab das jetzt nicht überprüft, aber das ist doch nichts anderes als die Schnittmenge der beiden Ebenen (die beide durch den Nullpunkt gehen) zu bestimmen - das sollte man schonmal in der Oberstufe gemacht haben...
also einfach :
[mm] $s*\vektor{1\\ 0\\-2}+t*\vektor{2\\ 1\\ -4}=v*\vektor{0\\ 1\\2}+w*\vektor{0\\ 2\\ 1}$
[/mm]
lösen - das sind drei Gleichungen und vier Variablen...
die Lösungsmenge dann in einer der beiden Seiten eingesetzt ist deine Schnittmenge...
(du könntest dies auch noch in Matrixschreibweise überführen um mal einen systematischen Ansatz zu finden...)
(also du weißt ja schon, dass sie sich schneiden, also kannst du mindestens eine Variable beliebig wählen (aber vielleicht auch zwei..))
viele Grüße
DaMenge
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hallo DaMenge!
Vielen dank.
Habe jetzt folgendes gemacht:
[mm] s\cdot{}\vektor{1\\ 0\\-2}+t\cdot{}\vektor{2\\ 1\\ -4}-v\cdot{}\vektor{0\\ 1\\2}-w\cdot{}\vektor{0\\ 2\\ 1}= [/mm] 0
dann Matrix, und dann komme ich auf:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & 0 | 0 \\ 0 & 1 & -1 & -2 | 0 \\ 0 & 0 & -2 & -1 | 0}
[/mm]
weiß ja dann: v = -1/2w
das setze ich dann bei deiner Form auf der rechten seite ein und erhalte:
w [mm] \vektor{0 \\ 1,5 \\0}
[/mm]
und damit ist dann dieser vektor [mm] \vektor{0 \\ 1,5 \\0} [/mm] eine Basis meines Schnitts, oder zb. für w = 2/3 dieser Vektor [mm] \vektor{0 \\ 1 \\0}
[/mm]
Stimmt das jetzt so???
Viele liebe Grüße, mathedepp_No.1
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:49 Sa 06.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
*grins*
wollte gerade ne fehler-mitteilung schreiben, aber hast es ja schon selbst erkannt, dass die -3 in der ersten Komponente niemals im schnitt liegen kann..
jedenfalls sieht das Ergebnis oben richtig aus : der schnitt wird durch den Vektor (0,1,0) erzeugt...
Man hätte das Vorgehen auch gleich am Anfang ansetzen können:
[mm] $s*\vektor{1 \\ 0 \\ -2} [/mm] +t* [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ -6} [/mm] +u* [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -4} [/mm] = [mm] v*\vektor{0 \\ 1 \\ 2} [/mm] +w* [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 1} [/mm] $
der Lösungsvektor wäre hier 5-dimensional, aber davon muss man entweder die ersten drei dann in der linken Seite oder die letzten beiden komponenten in der rechten Seite einsetzen um wirklich den schnitt zu bekommen...
(die lösung stellt ja nur die koeffizienten der linearkombination der Schnittvektoren dar)
würde man wohl genauso schnell zum ergebnis kommen
(die überführung in Matrix schreibweise stellt ein allgemeines Vorgehen dar)
viele Grüße
DaMenge
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Hallo DaMenge,
> mit v=-w/2 bin ich einverstanden Aber das ist noch nicht alles. Wenn Du das weiter einsetz kommst Du auf s = -3w, t = 3/2w.
ja ich weiß, aber um die basis meines schnitts zu errechnen kann ich mir doch aussuchen welchen wert ich nehme, oder???
aber meine errechnete basis [mm] \vektor{0 \\ 1,5 \\ 0} [/mm] ist doch eine basis genauso wie [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] hängt ja davon ab welches vielfache ich nehme...??
Viele Grüße, mathedepp
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Sa 06.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
> Hallo DaMenge,
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> > mit v=-w/2 bin ich einverstanden Aber das ist noch nicht
> alles. Wenn Du das weiter einsetz kommst Du auf s = -3w, t
> = 3/2w.
>
> ja ich weiß, aber um die basis meines schnitts zu errechnen
> kann ich mir doch aussuchen welchen wert ich nehme,
> oder???
Was du da zitierst stammt aber nicht von mir.
Nansen hatte die Antwort gegeben und wollte eigentlich noch auf etwas anderes hinaus (was aber falsch war und er auch schnell genug verworfen hatte.)
Also : deine komplette Argumentation war richtig und dein ergebnis stimmt.
(die erzeugnisse von (0,1,0) und (0,1.5,0) sind ja gleich, also ist es egal, welche Basis du wählst)
Hoffe, du hast auch noch meine Mitteilung gelesen gehabt, wie du direkt am Anfang das Gleichungssystem hättest aufstellen können um zur lösung zu kommen (ohne den Umweg über die Basen der UVR)
viele Grüße
DaMenge
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