www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Abbildungen" - Basis vom Vektorraum bestimmen
Basis vom Vektorraum bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Basis vom Vektorraum bestimmen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:42 Mo 17.11.2008
Autor: schnuri

Aufgabe
Geben Sie für den folgenden Vektorraum eine Basis an:
W = { f [mm] \in Abb(\IR,\IR) [/mm] | f(x) = 0 für alle bis auf endlich viele x [mm] \in \IR [/mm] }
(Ist das wirklich ein Untervektorraum von [mm] Abb(\IR,\IR)?) [/mm]

Wegen dem letzten Hinweis würde ich noch schnell prüfen, ob dies tatsächlich ein UVR ist.

1. das Nullelement ist drin laut Voraussetzung f(x) = 0
2. Abgeschlossenheit bzgl. der Addition:

Seien f,g [mm] \in [/mm] W
zu zeigen: f+g [mm] \in [/mm] W [mm] \Rightarrow [/mm] (f+g)(x) = 0 für alle bis auf endlich viele x [mm] \in \IR [/mm]

wie kann ich das für beliebige, mir unbekannte Funktionen machen?

3. Abgeschlossenheit bzgl. der skalaren Multiplikation:

Seien f [mm] \in [/mm] W und [mm] \lambda \in \IR [/mm]
zu zeigen: [mm] \lambda*f \in [/mm] W

Hier das gleiche Problem wie bei 2.


Dann bei der Bestimmung der Basis:
Es gibt zwar endlich viele x, die nicht auf die 0 abbilden, aber es kann durchaus unendlich viele Funktionen in W geben, oder? Dann wäre das eine unendliche Basis? Gibt es sowas?

Kann mir jemand einen Hinweis geben?

Danke und Gruß

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Basis vom Vektorraum bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:00 Mo 17.11.2008
Autor: fred97

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

> Geben Sie für den folgenden Vektorraum eine Basis an:
>  W = { f [mm]\in Abb(\IR,\IR)[/mm] | f(x) = 0 für alle bis auf
> endlich viele x [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

}

>  (Ist das wirklich ein Untervektorraum von [mm]Abb(\IR,\IR)?)[/mm]
>  Wegen dem letzten Hinweis würde ich noch schnell prüfen,
> ob dies tatsächlich ein UVR ist.
>  
> 1. das Nullelement ist drin laut Voraussetzung f(x) = 0
>  2. Abgeschlossenheit bzgl. der Addition:
>  
> Seien f,g [mm]\in[/mm] W
>  zu zeigen: f+g [mm]\in[/mm] W [mm]\Rightarrow[/mm] (f+g)(x) = 0 für alle bis
> auf endlich viele x [mm]\in \IR[/mm]
>  
> wie kann ich das für beliebige, mir unbekannte Funktionen
> machen?


Es ex. endliche Teilmengen [mm] M_f [/mm] und [mm] M_g [/mm] von [mm] \IR [/mm] mit

f(x) = 0 für jedes x [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] M_f [/mm]

und

g(x) = 0 für jedes x [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] M_g [/mm]


Dann ist [mm] M_f \cup M_g [/mm] endlich und (f+g)(x) = 0 für jedes x [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] (M_f \cup M_g). [/mm]


>  
> 3. Abgeschlossenheit bzgl. der skalaren Multiplikation:
>  
> Seien f [mm]\in[/mm] W und [mm]\lambda \in \IR[/mm]
>  zu zeigen: [mm]\lambda*f \in[/mm]


ähnlich wie oben


> W
>  
> Hier das gleiche Problem wie bei 2.
>  
>
> Dann bei der Bestimmung der Basis:
>  Es gibt zwar endlich viele x, die nicht auf die 0
> abbilden, aber es kann durchaus unendlich viele Funktionen
> in W geben, oder? Dann wäre das eine unendliche Basis? Gibt
> es sowas?


Jawoll. Betrachte mal für a [mm] \in \IR [/mm]

    [mm] f_a(x) [/mm] = 0 für x [mm] \not= [/mm] a und [mm] f_a(a) [/mm] = 1

Kriegst Du jetzt eine Basis zusammen ?

FRED


>  
> Kann mir jemand einen Hinweis geben?
>  
> Danke und Gruß
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  


Bezug
                
Bezug
Basis vom Vektorraum bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:18 Mi 19.11.2008
Autor: schnuri

Hi,

ich verstehe es nicht. Ich habe folgende Lösung gefunden:

Basis W = $ [mm] \{ f_r \in W : f_r(x) = \delta_{xr} \} [/mm] $, wobei [mm] \delta [/mm] das Kronecker Symbol ist:

$ [mm] \delta_{xr} [/mm] := [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{für } x = r \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm] $

Dann würden ja alle Funktionen mit der Eigenschaft (alle bis auf endlich viele bilden auf die Null ab) nur entweder auf die 1 oder auf die 0 abbilden? Warum? Die Funktionen können doch durchaus auf was anderes abbilden? Oder ist die 1 irgendwie symbolisch gemeint?

Danke!

Bezug
                        
Bezug
Basis vom Vektorraum bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:12 Mi 19.11.2008
Autor: angela.h.b.


> Hi,
>  
> ich verstehe es nicht. Ich habe folgende Lösung gefunden:
>  
> Basis W = [mm]\{ f_r \in W : f_r(x) = \delta_{xr} \} [/mm], wobei
> [mm]\delta[/mm] das Kronecker Symbol ist:
>  
> [mm]\delta_{xr} := \begin{cases} 1, & \mbox{für } x = r \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>  
> Dann würden ja alle Funktionen mit der Eigenschaft (alle
> bis auf endlich viele bilden auf die Null ab) nur entweder
> auf die 1 oder auf die 0 abbilden? Warum? Die Funktionen
> können doch durchaus auf was anderes abbilden? Oder ist die
> 1 irgendwie symbolisch gemeint?

Hallo,

Du bastelst Dir Deine Funktionen ja aus Linearkombinationen der Basisvektoren zurecht.

Nehmen wir z.B. die Funktion g,

welche überall 0 ist außer an den Stellen [mm] g(\wurzel{2})=5, [/mm] g(0)=4711 und [mm] g(12)=\pi. [/mm]

Es ist [mm] g=5*f_{\wurzel{2}} [/mm] + [mm] 4711*f_{4711} [/mm] + [mm] \pi f_{12}. [/mm]

Gruß v. Angela





Bezug
                                
Bezug
Basis vom Vektorraum bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:04 Mi 19.11.2008
Autor: schnuri

Aahhhh, das ist ja ein toller Trick :))))

Nur noch zum Verständnis: Heisst das, das in die Basis alle die Funktionen reinkommen, die nicht auf Null abbilden? Deswegen auch die Unterscheidung: Wenn es nicht auf 0 abbildet, dann kommt 1*f in die Basis, ansonsten 0*f (=0, also nicht in die Basis)?

Sorry, wenn ich mich blöd anstelle, hatte so einen ähnlichen Aufgabentyp noch nicht!

Vielen Dank!!

Bezug
                                        
Bezug
Basis vom Vektorraum bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:24 Mi 19.11.2008
Autor: angela.h.b.


> Nur noch zum Verständnis: Heisst das, das in die Basis alle
> die Funktionen reinkommen, die nicht auf Null abbilden?

Hallo,

nein, da kommen alle Funktionen rein, die ganz [mm] \IR [/mm] auf die 0 abbilden - mit Ausnahme einer einzigen Stelle, die auf die 1 abgebildet wird.

Für jede reelle Zahl r gibt es eine Funktion [mm] f_r [/mm] mit  [mm] f_r(x=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\not=r \mbox{} \\ 1, & \mbox{für } x=r \mbox{} \end{cases}, [/mm]

und aus diesen Funktionen dann man dann  per linearkombination jede der betrachteten Funktionen bilden.

Gruß v. Angela



Bezug
                        
Bezug
Basis vom Vektorraum bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:50 Do 20.11.2008
Autor: fred97


> Hi,
>  
> ich verstehe es nicht. Ich habe folgende Lösung gefunden:
>  
> Basis W = [mm]\{ f_r \in W : f_r(x) = \delta_{xr} \} [/mm], wobei
> [mm]\delta[/mm] das Kronecker Symbol ist:
>  
> [mm]\delta_{xr} := \begin{cases} 1, & \mbox{für } x = r \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]

Hab ich Dir eine andere Basis genannt ?????

FRED



>  
> Dann würden ja alle Funktionen mit der Eigenschaft (alle
> bis auf endlich viele bilden auf die Null ab) nur entweder
> auf die 1 oder auf die 0 abbilden? Warum? Die Funktionen
> können doch durchaus auf was anderes abbilden? Oder ist die
> 1 irgendwie symbolisch gemeint?
>  
> Danke!


Bezug
                                
Bezug
Basis vom Vektorraum bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:39 Do 20.11.2008
Autor: schnuri

Hi Fred,

doch, du hast genau den gleichen Hinweis gegeben! Ich hatte es nur nicht verstanden! Sorry!

Mir leuchtete einfach nicht ein, wieso die Funktionen nur 1 oder 0 als Wert ausgeben sollen, es können ja auch andere Funktionswerte rauskommen!! Aber klar: es ist sowas wie die kanonische Basis, alle anderen Werte sind einfach ein Vielfaches von der 1! Und dieser Gedankengang hat mir gefehlt. Aber jetzt ist es angekommen :)

Letztendlich supersimpel...


Ich danke euch beiden!!!!

Viele Grüße,
schnuri

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de