Basis von Kern und Bild < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Maurizz |
| Aufgabe | Berechnen Sie eine Basis von Kern und Bild der linearen Abbildung f: [mm] \IR^4 \to \IR^4, [/mm] die durch
[mm] f(e_1)=\vektor{-2 \\ 1 \\ 0 \\ 1}, f(e_2)=\vektor{1 \\ -2 \\ 1 \\ 0}, f(e_3)=\vektor{0 \\ 1 \\ -2 \\ 1}, f(e_4)=\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ -2}
[/mm]
gegeben ist.
Geben Sie die Umkehrabbildung von f an oder begründen Sie, warum f keine Umkehrabbildung besitzt. |
Wenn ich es richtig verstanden habe, ist der Kern durch all die Vektoren dargestellt die auf 0 abbilden.
Ich hab erstmal das gemacht: Ax = 0;
[mm] \pmat{ -2 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & -2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \pmat{1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] * [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Wenn mich nicht alles täuscht ist jetzt Matrixmultiplikation gefragt:
[mm] \Rightarrow \vektor{x_1 - x_4 \\ x_2 - x_4 \\ x_3 - x_4 \\ \lambda} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Ich kann nicht wirklich sagen ob das bis hierhin richtig ist aber ich mach mal einfach weiter.
Als Basis verstehe ich den n-dimensionalen Vektor aus dem sich alles im jeweiligen n-Raum aufspannen lässt.
Da der Kern auf 0 abbildet muss doch die Basis der Nullvektor sein?
Hier werde ich im moment nicht schlauer.
Jetzt erstmal was ich zum Bild bisher gemacht habe: Ax = x;
[mm] \Rightarrow \pmat{1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] * [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} [/mm] = [mm] \vektor{x_1' \\ x_2' \\ x_3' \\ x_4'}
[/mm]
Auch hier rieche ich Matrixmultiplikation.
Jetzt kommt hier wieder das selbe wie oben raus nur dass auf der rechten Seite des '=' nicht der Nullvektor steht.
Und jetzt wieder das Schlamassel mit einer Basis finden.
Hat vielleicht jemand die richtigen Schrauben dabei umd mein Verständnis aufzubauen?^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Sa 05.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. 0 wird immer auf 0 abgebildet. aber du hast doch raus, dass der Vektor [mm] \lambda*(1,1,1,1)^T [/mm] auf 0 abgebildet wird, deshalb ist das mit z.B [mm] \lambda=1 [/mm] eine Basis des Kerns.
zum Bild: du musst die urspruengliche Basis nehmen und die rechte Seit mit umformen,wenn du die Bilder finden willst.
da du aber die Bilder der Einheitsvektoren schon kennst, reicht es die davon zu nehmen,die lin.unabhaengig sind,denn aus den Bildern der Basisvektoren kann man ja alle Bilder erzeugen, und da der Kern 1 d ist muss das Bild 3d sein dim(Kern)+dim(Bild)=dim(V)=4
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Maurizz |
gut ich hab alles soweit verstanden. Stand bloß etwas aufn Schlauch weil ich in letzter Zeit selten dazu kommen mich mit Mathe zu beschäftigen wegen Algorithmen und Datenstrukturen:( .
Eine Frage zur Umkehrabbildung.
Wenn ich mit den Vektoren die mir gegeben sind eine Matrix aufstelle und anschließend das Inverse der Matrix berechne und die Vektoren wieder heraus schreibe... hab ich dann nicht die Umgekehrten Vektoren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Sa 05.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie bildest du denn die inverse matrix?
2.kann man eine Abbildung von R^5nach [mm] R^3 [/mm] umkehren? wie macht man aus 3 d vektoren 5d Vektoren?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Maurizz |
Um die Inverse Matrix zu kriegen suche ich eine Matrix B die multipliziert mit meiner Matrix A gleich 1 ergibt.
Gute Frage.
Ich könnte mein dim 3 Raum vergößern zu dim 5.
Wenn ich [mm] \IR^5 [/mm] habe ist [mm] \IR^{5-n} [/mm] mit n = {1,2,3,4} ein Unterraum. Da ein Unterraum in sich geschlossen ist müsste ich zwar von "außen" nach "innen" zugreifen können aber nicht andersherum. Also würde eine Umkehrung nicht die höheren Dimensionen erreichen. Ich muss da entweder dimensionen hinzufügen oder entfernen.
Wieso eigentlich die Frage?
Mir fällt gerade auf dass meine zeilenvektoren linear abhängig sind und ichd eshalb garnicht invertieren kann. Deshalb gibt es hier keine Umkehrabbildung. Oder verschmische ich gerade 2 völlig verschiedene Themen?
ACHSO!
problem hat sich erledigt;)
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