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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:50 Fr 18.11.2005 | | Autor: | frau-u |
Hi,
Ich hänge wieder an einer Aufgabe:
Es gilt: [mm] K:=\IR, V:=\IR [/mm] und
U:= [mm] {x=(x_1, x_2, x_3)\in V : -2x_1 + 5x_2 - 7x_3 =0}
[/mm]
Ich soll nun eine Basis [mm] B_0 [/mm] für U finden und sie dann zu einer Basis von V ergänzen.
Für [mm] B_0 [/mm] habe ich dann:
[mm] -2c_1 [/mm] + [mm] 5c_2 [/mm] - [mm] 7c_3 [/mm] = 0
[mm] c_1 [/mm] + [mm] (\bruch{-5}{2})c_2 [/mm] + [mm] \bruch{7}{2}c_3 [/mm] = 0
T= -2
Soweit so gut.
Wie gehe ich nun weiter vor?
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> Ich hänge wieder an einer Aufgabe:
> Es gilt: [mm]K:=\IR, V:=\IR^3[/mm] und
> U:= [mm]{ x=(x_1, x_2, x_3)\in V : -2x_1 + 5x_2 - 7x_3 =0 }[/mm]
Hallo,
ich glaube, hier lauft irgendetwas ziemlich schief...
Schau Dir mal Deine Menge U an. Die besteht aus 3-Tupeln. Von daher kann sie keinesfalls Teilmenge von V= [mm] \IR [/mm] sein, wie Du in Deiner Aufgabe schreibst. Wenn man etwas Sinnvolles tun will, muß es [mm] \IR^3 [/mm] heißen, ich hab's oben verbessert.
Ich ahne aber schon, was zu der Verwirrung geführt hat. Die Bedingung [mm] -2x_1 [/mm] + [mm] 5x_2 [/mm] - [mm] 7x_3 [/mm] =0. In der Tat ist [mm] -2x_1 [/mm] + [mm] 5x_2 [/mm] - [mm] 7x_3 \in \IR, [/mm] aber das ist nicht das Element von U, sondern das Merkmal der Vektoren [mm] \vektor{ x_1 \\ x_2 \\ x_3 }, [/mm] welche in U sein dürfen.
> Ich soll nun eine Basis [mm]B_0[/mm] für U finden und sie dann zu
> einer Basis von V ergänzen.
>
> Für [mm]B_0[/mm] habe ich dann:
> [mm]-2c_1[/mm] + [mm]5c_2[/mm] - [mm]7c_3[/mm] = 0
> [mm]c_1[/mm] + [mm](\bruch{-5}{2})c_2[/mm] + [mm]\bruch{7}{2}c_3[/mm] = 0
> T= -2
Diese Rechnung da oben ist in Zeile 1und 2 nicht direkt falsch, wenn auch wenig erhellend, das plötzliche Auftauchen von T ist mir so schleierhaft, daß ich Dir gar nicht erklären kann, warum es falsch ist.
Bevor Du eine Basis von U bestimmst, solltest Du ersteinmal überlegen, welches Gebilde sich hinter U verbirgt. [mm] -2x_1 [/mm] + [mm] 5x_2 [/mm] - [mm] 7x_3 [/mm] =0 ist eine Ebenengleichung, also liegen die Lösungsvektoren alle in einer Ebene. Du brauchst nun zwei Vektoren, welche die Ebene aufspannen. Die könntest Du mithilfe des Normalenvektors finden, aber ich zeige Dir, wie man von der Gleichung zur Parameterdarstellung kommt, da kannst du deine Vektoren gleich ablesen.
Damit ich Dir den Spaß nicht verderbe, mache ich es Dir an einer anderen Ebenengleichung vor:
[mm] 4x_1+5x_2+6x_3=0
[/mm]
Du siehst doch, daß man zwei Variable frei wählen kann, und daß erst durch diese dann die 3. Variable festgelegt wird : z.B. [mm] x_1=1 [/mm] und [mm] x_2=0 [/mm] ==> [mm] x_3= [/mm] - [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
oder [mm] x_3=3 [/mm] und [mm] x_2=-2 [/mm] ==> [mm] x_1= [/mm] -2
Ich setze nun [mm] x_2= \lambda, x_3 [/mm] = [mm] \nu [/mm] , [mm] \lambda, \nu \in \IR,
[/mm]
Und erhalte [mm] x_1= -\bruch{5}{4}\lambda -\bruch{3}{2}\nu
[/mm]
[mm] x_2= 1\lambda [/mm] + [mm] 0\nu
[/mm]
[mm] x_3= 0\lambda [/mm] + [mm] 1\nu,
[/mm]
Also ist mein U'= { [mm] \vektor{ x_1 \\ x_2 \\ x_3 } \in \IR [/mm] : [mm] \vektor{ x_1 \\ x_2 \\ x_3 }=\lambda\vektor{ -\bruch{5}{4} \\ 1 \\ 0}+ \nu \vektor{ - \bruch{3}{2} \\ 0 \\ 1 }},
[/mm]
und hier eine Basis zu bestimmen, fällt nicht schwer, es ist [mm] (\vektor{ -\bruch{5}{4} \\ 1 \\ 0}, \vektor{ - \bruch{3}{2} \\ 0 \\ 1 }), [/mm] denn die beiden spannen ja die Ebene auf.
Auf diese Art kommst Du zu einer Basis Deines Unterraumes U, und die dann zu einer Basis des [mm] \IR^3 [/mm] zu ergänzen, ist nicht schwer: Du mußt einen Vektor finden, welcher von den beiden bereits vorhandenen linear unabhängig ist. Vielleicht einen, der senkrecht zu den beiden ist? Das muß aber nicht sein, jeder andere ist ebenso gut, wenn er nur unabhängig ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:44 Sa 19.11.2005 | | Autor: | frau-u |
Hi,
Die Aufgabe lautet genau so, wie ich sie hier gestellt habe:
[mm] K:=\IR, V:=\IR [/mm] und [mm] U:={x=(x_1, x_2, x_3)\in V : -2x_1 + 5x_2 - 7x_3 =0}
[/mm]
Ich habe gestern schon stundenlang gerätselt, wie das funktionieren soll... daher habe ich dann auch hier gepostet, weil ich unsicher war.
Ich denke ich werde das jetzt einfach mal als Tippfehler ansehen und es (wie du) in [mm] \IR^3 [/mm] ändern.
Jedenfalls Danke für deine ausführliche Erklärung, so wird es eine Leichtigkeit.
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