Basis von UVR bestimmen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:35 Mo 12.05.2014 | | Autor: | Avinu |
| Aufgabe | | Es seien ein Körper K und eine Menge I gegeben. Wir setzen [mm] K^{(I)} [/mm] := { x [mm] \in K^I [/mm] | {i [mm] \in [/mm] I | [mm] x_i \not= [/mm] 0} ist endlich}. Zeigen Sie, dass [mm] K^{(I)} [/mm] ein K-Untervektorraum von [mm] K^{I} [/mm] ist und bestimmen Sie eine Basis von [mm] K^{(I)}. [/mm] |
Hallo zusammen,
den Beweis, dass es sich um einen UVR handelt habe ich denke ich hin bekommen, das schien mir nicht so kompliziert. Allerdings weiß ich nicht so recht, wie ich vorgehen soll, um eine Basis zu bestimmen.
Ich weiß, dass eine Familie s in V dann eine Basis ist, wenn die Abbildung [mm] f_s [/mm] : [mm] K^{(I)} \to [/mm] V, a [mm] \mapsto \summe_{i \in I} a_i s_i [/mm] bijektiv ist. Allerdings weiß ich nicht, wie ich das anwenden sollte.
Kann mir jemand von euch einen Tipp für einen Ansatz geben?
Vielen Dank und schöne Grüße,
Avinu
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Hallo,
Tipp: Eine Basis ist unendlich-dimensional und recht einfach hinzuschreiben.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:25 Mi 14.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Es seien ein Körper K und eine Menge I gegeben. Wir setzen
> [mm]K^{(I)}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= { x [mm]\in K^I[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| {i [mm]\in[/mm] I | [mm]x_i \not=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0} ist
> endlich}. Zeigen Sie, dass [mm]K^{(I)}[/mm] ein K-Untervektorraum
> von [mm]K^{I}[/mm] ist und bestimmen Sie eine Basis von [mm]K^{(I)}.[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> den Beweis, dass es sich um einen UVR handelt habe ich
> denke ich hin bekommen, das schien mir nicht so
> kompliziert. Allerdings weiß ich nicht so recht, wie ich
> vorgehen soll, um eine Basis zu bestimmen.
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> Ich weiß, dass eine Familie s in V dann eine Basis ist,
> wenn die Abbildung [mm]f_s[/mm] : [mm]K^{(I)} \to[/mm] V, a [mm]\mapsto \summe_{i \in I} a_i s_i[/mm]
> bijektiv ist. Allerdings weiß ich nicht, wie ich das
> anwenden sollte.
Damit würde ich das nicht machen !
[mm] K^I [/mm] ist doch die Menge aller Abbildungen x:I [mm] \to [/mm] K mit der Eigenschaft
[mm] x(i)=x_i \ne [/mm] 0 für höchstens endlich viele i [mm] \in [/mm] I.
Sei i [mm] \in [/mm] I und [mm] x^{(i)} \in K^I [/mm] definiert durch
[mm] x^{(i)}(i)=1 [/mm] und [mm] x^{(i)}(j)=0 [/mm] für j [mm] \in [/mm] I mit i [mm] \ne [/mm] j.
Zeige:
1. die Menge $B:= [mm] \{x^{(i)}: i \in I\}$ [/mm] ist linear unabhängig in [mm] K^I
[/mm]
und
2. jedes x [mm] \in K^I [/mm] lässt sich als Linearkombination aus Elementen von $B$ darstellen.
Wenn Du das hast, so kannst Du sicher sein, dass $B$ eine Basis von [mm] K^I [/mm] ist.
FRED
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> Kann mir jemand von euch einen Tipp für einen Ansatz
> geben?
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> Vielen Dank und schöne Grüße,
> Avinu
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