Basis von Untervektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:38 Do 01.02.2007 | | Autor: | gore |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Basen der Untervektorräume [mm] U=[\vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ -1}, \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4}] [/mm] und W= [mm] [\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4}, \vektor{3 \\ 4 \\ 5 \\6}, \vektor{5 \\ 6 \\ 7 \\ 8}] [/mm] des [mm] \IR-Vektorraum [/mm] V [mm] (V:=\IR^4). [/mm] |
Hi,
also ich habe die obige Aufgabe gelöst, bin mir mit der Lösung aber etwas unsicher.
Bei dem Untervektorraum U sind doch die Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ -1} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4} [/mm] bereits die Basis, oder? Sind ja linear unabhängig.
Bei W sind alle 3 Vektoren zusammen linear abhängig, jedoch sind jeweils zwei von diesen zueinander nicht proportional, also kann man sich zwei dieser drei Vektoren aussuchen, dann hat man eine Basis.
Ist das richtig?
Jetzt noch eine allgemeine Frage: Gibt es eine Regel wie viele Basisvektoren eine Basis haben muss bei einem Untervektorraum. Also U wird ja aus zwei Vektoren gebildet und W aus drei, aber dennoch haben beide eine Basis mit zwei Vektoren?!
Vielen Dank schon mal für eure Mühe.
Gruß, Andreas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Bestimmen Sie die Basen der Untervektorräume [mm]U=[\vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ -1}, \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4}][/mm]
> und W= [mm][\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4}, \vektor{3 \\ 4 \\ 5 \\6}, \vektor{5 \\ 6 \\ 7 \\ 8}][/mm]
> des [mm]\IR-Vektorraum[/mm] V [mm](V:=\IR^4).[/mm]
>
> Bei dem Untervektorraum U sind doch die Vektoren [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ -1}[/mm]
> und [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4}[/mm] bereits die Basis, oder?
> Sind ja linear unabhängig.
Hallo,
ganz genau richtig. Die beiden erzeugen U und sind linear unabhängig, also Basis.
>
> Bei W sind alle 3 Vektoren zusammen linear abhängig, jedoch
> sind jeweils zwei von diesen zueinander nicht proportional,
> also kann man sich zwei dieser drei Vektoren aussuchen,
> dann hat man eine Basis.
> Ist das richtig?
Ja.
> Jetzt noch eine allgemeine Frage: Gibt es eine Regel wie
> viele Basisvektoren eine Basis haben muss bei einem
> Untervektorraum.
Natürlich kann ein Untervektorraum eines Vektorraumes V nicht eine größere Dimension haben als V selbst. (Dieselbe Dimension geht: dann ist's der Raum V selber.)
Die andere Regel: sobald in einem Untervektorraum ein vom Nullvektor verschiedener Vektor liegt, ist die Dimension mindestens 1.
Wenn nur der Nullvektor drin ist: Dimension =0.
Dazwischen ist alles möglich.
> Also U wird ja aus zwei Vektoren gebildet
> und W aus drei, aber dennoch haben beide eine Basis mit
> zwei Vektoren?!
Ja, aber wegen der linearen Abhängigkeit kann man beim Erzeugen von W auf einen der drei Vektoren verzichten. Zwei tun's bereits. Basis ist ein minimales Erzeugendensystem. Erzeugendensysteme, die nicht minimal sein sollen, kann man nach Herzenslust aufblähen - man wird es meist nicht tun, weil es sinnlos und unpraktisch ist...
Ich hoffe, daß Dir klar ist, daß zwei Unterräume, die dieselbe Dimension haben, nicht gleich sein müssen.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
