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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Di 13.12.2011 | | Autor: | Domme |
| Aufgabe | (i) Zeigen Sie, dass die Vektoren
[mm] \alpha_{1} [/mm] := [mm] \vektor{1 \\ 4 \\ 3},
[/mm]
[mm] \alpha_{2} [/mm] := [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 1},
[/mm]
[mm] \alpha_{3} [/mm] := [mm] \vektor{3 \\ 3 \\ 1}
[/mm]
eine Basis des [mm] \IZ^{3}_{5} [/mm] bilden.
(ii) Stellen Sie die folgenden Vektoren aus [mm] \IZ^{3}_{5} [/mm] als Linearkombinationen aus [mm] \alpha_{1}, \alpha_{2} [/mm] und [mm] \alpha_{3} [/mm] dar:
[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2}, \vektor{4 \\ 2 \\ 1}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}, \vektor{3 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 4}. [/mm] |
Zu (i)Wie kann ich das zeigen? Habe mir schon vieles durchgelesen, aber leider ist mir das alles zu abstrakt. Könnte man mir jemand das bitte erklären, vielleicht anhand der Aufgabe oder an einen anderem Beispiel?
Zu (ii) Also der Körper umfasst ja {0,1,2,3,4}. Und ich muss doch für den ersten vektor einfach etwas finden, wie
[mm] \alpha_{1} [/mm] * x1 + [mm] \alpha_{2} [/mm] *x2 + [mm] \alpha_{3} [/mm] *x3 = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2}, [/mm] wobei x1,x2,x3 in {0,1,2,3,4} liegen muss, oder?
Kann man den auch alle dieser Vektoren als Linearkombination darstellen?
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Hallo Domme,
> (i) Zeigen Sie, dass die Vektoren
> [mm]\alpha_{1}[/mm] := [mm]\vektor{1 \\ 4 \\ 3},[/mm]
> [mm]\alpha_{2}[/mm] :=
> [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 1},[/mm]
> [mm]\alpha_{3}[/mm] := [mm]\vektor{3 \\ 3 \\ 1}[/mm]
>
> eine Basis des [mm]\IZ^{3}_{5}[/mm] bilden.
>
> (ii) Stellen Sie die folgenden Vektoren aus [mm]\IZ^{3}_{5}[/mm] als
> Linearkombinationen aus [mm]\alpha_{1}, \alpha_{2}[/mm] und
> [mm]\alpha_{3}[/mm] dar:
> [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 2}, \vektor{4 \\ 2 \\ 1}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}, \vektor{3 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 4}.[/mm]
>
> Zu (i)Wie kann ich das zeigen? Habe mir schon vieles
> durchgelesen, aber leider ist mir das alles zu abstrakt.
> Könnte man mir jemand das bitte erklären, vielleicht
> anhand der Aufgabe oder an einen anderem Beispiel?
>
Hier musst Du die Bedingung der linearen Unabhängigkeit in [mm]\IZ_{5}[/mm] lösen:
[mm]u*\vektor{1 \\ 4 \\ 3}+v*\vektor{2 \\ 1 \\ 1}+w*\vektor{3 \\ 3 \\ 1}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> Zu (ii) Also der Körper umfasst ja {0,1,2,3,4}. Und ich
> muss doch für den ersten vektor einfach etwas finden, wie
> [mm]\alpha_{1}[/mm] * x1 + [mm]\alpha_{2}[/mm] *x2 + [mm]\alpha_{3}[/mm] *x3 =
> [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 2},[/mm] wobei x1,x2,x3 in {0,1,2,3,4} liegen
> muss, oder?
> Kann man den auch alle dieser Vektoren als
> Linearkombination darstellen?
Falls Du i) nachgewiesen hast, ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Di 13.12.2011 | | Autor: | Domme |
Also stimmt der Lösungsweg für (ii)?
Und als Lösungen für x1, x2, x3 müssen doch die zahlen 0,1,2,3,4 rauskommen oder?
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Hallo Domme,
> Also stimmt der Lösungsweg für (ii)?
> Und als Lösungen für x1, x2, x3 müssen doch die zahlen
> 0,1,2,3,4 rauskommen oder?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Di 13.12.2011 | | Autor: | Domme |
Habe jetzt alle einmal durchgerechnet.
Bekomme aber bei keinem der Vektoren für x1,x2 oder x3 Lösungen heraus die ihn {0,1,2,3,4} liegen.
Für den ersten Vektor habe ich zb.
x1= 0,27
x2 = 1,82
x3 = -0,64
Da kann doch i.was nicht stimmen?
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Hallo Domme,
> Habe jetzt alle einmal durchgerechnet.
> Bekomme aber bei keinem der Vektoren für x1,x2 oder x3
> Lösungen heraus die ihn {0,1,2,3,4} liegen.
> Für den ersten Vektor habe ich zb.
> x1= 0,27
> x2 = 1,82
> x3 = -0,64
> Da kann doch i.was nicht stimmen?
Poste dazu Deine bisherigen Rechenschritte.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Di 13.12.2011 | | Autor: | Domme |
Habe den ersten Vektor genommen und damit das LGS gebildet:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 1 } [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
Nach Umformungen kam bei mir raus...
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & -7 & -9 \\ 0 & 0 & 11 } [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -7 \\ -7}
[/mm]
und die Lösung kann man ablesen als:
x1= 0,27
x2 = 1,82
x3 = -0,64
Aber da kann ja was nicht stimmen.
Einen Rechenfehler habe ich glaube ich nicht gemacht, aber vielleicht ist die Ausgangslage auch falsch?
Oder gibt mir bitte anhand des Vektors den Rechenweg, damit ich das auf die anderen vier übertragen kann?
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> Habe den ersten Vektor genommen und damit das LGS
> gebildet:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\
4 & 1 & 3 \\
3 & 1 & 1 }[/mm] = [mm]\vektor{2 \\
1 \\
2}[/mm]
>
> Nach Umformungen kam bei mir raus...
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\
0 & -7 & -9 \\
0 & 0 & 11 }[/mm] = [mm]\vektor{2 \\
-7 \\
-7}[/mm]
>
>
> und die Lösung kann man ablesen als:
> x1= 0,27
> x2 = 1,82
> x3 = -0,64
Hallo,
nein, die Lösungen wären [mm] x_3=-\bruch{7}{11} [/mm] usw.
> Aber da kann ja was nicht stimmen.
Du hast vergessen, daß Du gerade in [mm] \IZ_5 [/mm] rechnest.
Es ist z.B. -7=3 (mod 5).
In Deiner Matrix sollten nur 0,1,2,3,4 vorkommen.
Wie sieht sie aus, wenn Du alles mod 5 hinschreibst?
Das nächste: in [mm] \IZ_5 [/mm] haben wir keine Bruchrechnung wie gewohnt.
Statt eine Zeile durch 2 zu dividieren, wie wir es in den rationalen Zahlen tun, mußt Du sie hier mit dem Inversen von 2 multiplizieren.
Mach mal!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Di 13.12.2011 | | Autor: | Domme |
Habe bei (i) jetzt das LGS aufgestellt und in der letzten Zeile herausbekommen dass (bei meinem jetzt) -11 = 0, also sieht man ja das nur 0 die Lösung seien kann und wenn ich das in die anderen einsetze kam auch jeweils 0 raus. Also sind die Lösungen für u,v,w = 0, also sind sie linear unabhängig und bilden die Basis.
Habe ich das richtig gemacht und verstanden?
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Hallo Domme,
> Habe bei (i) jetzt das LGS aufgestellt und in der letzten
> Zeile herausbekommen dass (bei meinem jetzt) -11 = 0, also
> sieht man ja das nur 0 die Lösung seien kann und wenn ich
> das in die anderen einsetze kam auch jeweils 0 raus. Also
> sind die Lösungen für u,v,w = 0, also sind sie linear
> unabhängig und bilden die Basis.
> Habe ich das richtig gemacht und verstanden?
Das hast Du richtig verstanden.
Wahrscheinlich ist Dir dabei ein Fehler unterlaufen.
Poste dazu Deine bisherigen Rechenschritte.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Di 13.12.2011 | | Autor: | Domme |
Habe die Lineare Unabhängigkeit noch einmal mit der Determinante nachgewiesen.
D = 11, also linear unabhängig, weil die Determinante ungleich 0 ist.
Also bilden Sie die Basis.
Reicht das, dies zu zeigen?
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Hallo Domme,
> Habe die Lineare Unabhängigkeit noch einmal mit der
> Determinante nachgewiesen.
> D = 11, also linear unabhängig, weil die Determinante
> ungleich 0 ist.
> Also bilden Sie die Basis.
> Reicht das, dies zu zeigen?
Ja, das reicht auch.
Gruss
MathePower
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