Basisbestimmung < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 Mo 27.04.2009 | | Autor: | SEBBI001 |
| Aufgabe | | Ergänzen Sie die Vektoren [mm] b_{1} [/mm] = (1, 0, 1) und [mm] b_{2} [/mm] = (1, -1, 0) zu einer Basis des [mm] \IC [/mm] -Vektorraums [mm] \IC^{3} [/mm] und zu einer Basis des [mm] \IR- [/mm] Vektorraums [mm] \IC^{3} [/mm] |
Was ist da überhaupt der Unterschied (zwischen C und R Vektorräumen)
und wie kann ich da die Basen bestimmen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 Mo 27.04.2009 | | Autor: | fred97 |
[mm] \IC^3 [/mm] hat als [mm] \IC-Vektorraum [/mm] die Dimension 3 und [mm] \IC^3 [/mm] hat als [mm] \IR-Vektorraum [/mm] die Dimension 6
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Mo 27.04.2009 | | Autor: | SEBBI001 |
Danke und wie kann man da jetzt die Basis bestimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Mo 27.04.2009 | | Autor: | Zeylana |
Hallo!
Ich muss die Aufgabe auch bearbeiten (sind wohl im gleichen Studiengang ;) )...
Also um [mm] b_{1} [/mm] und [mm] b_{2} [/mm] zu ergänzen hab ich die in eine Matrix geschriebn und die durch verschiedene Umformungen auf Zeilenstufenform gebracht...dann mit [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] erweitern und die vorherigen Umformungen rückwärts anwenden...
Ich bekomm dann für [mm] b_{3}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] und das ist dann die Basis des [mm] \IC-Vektorraums \IC^{3}.
[/mm]
Für die Basis des [mm] \IR-Vektorraums [/mm] hab ich keine richtige Idee außer das gleiche Spielchen mit [mm] \vektor{i \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ i \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ i} [/mm] machen...das würde dann [mm] \vektor{i \\ 0 \\ i}, \vektor{i \\ -i \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ i} [/mm] ergeben.
Weiß aber nicht ob das alles stimmt, wäre sehr dankbar für Korrektur/Anregungen etc....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Mo 27.04.2009 | | Autor: | SEBBI001 |
Meinst du mit erweitern der Matrix das man einfach (0, 0, 1) an die Matrix dranhängt? Als Zeile unten oder als Spalte hinten
Was ich irgendwie nicht verstehe ist, dass der R-Vektorraum [mm] C^{3} [/mm] ja die Dimension 6 hat, also die Vektoren ja 6 Einträge haben müssten, oder?
PS: Erlangen??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Mo 27.04.2009 | | Autor: | Zeylana |
Hi!
Ja auch Erlangen ;)...Ich mein mit Erweitern als Spalte hintendranhängen..Also das jetzt nur mal für den C-Vektorraum.
Für den R-Vektorraum versteh ichs auch nicht wirklich...aber ich denke Dimension 6 bedeutet doch, dass es 6 Basisvektoren gibt nicht 6 Einträge oder?
Deswegen meine Idee mit den Basisvektoren mit i's weil man ja jede komplexe Zahl als z=x+iy schreiben will.Wenn man also nicht vom komplexen C-vektorraum ausgeht braucht man neue,zusätzliche Basisvektoren, die erlauben auch aus R komplexe Zahlen zu bilden...
Aber wie gesagt ich weiß auch nicht ob das stimmt oder ob totalen unsinn rede ;)
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> Für den R-Vektorraum versteh ichs auch nicht
> wirklich...aber ich denke Dimension 6 bedeutet doch, dass
> es 6 Basisvektoren gibt nicht 6 Einträge oder?
Hallo,
ja, genau. Lies auch meine Antwort an den Kommilitonen.
> Deswegen meine Idee mit den Basisvektoren mit i's weil man
> ja jede komplexe Zahl als z=x+iy schreiben will.Wenn man
> also nicht vom komplexen C-vektorraum ausgeht braucht man
> neue,zusätzliche Basisvektoren, die erlauben auch aus R
> komplexe Zahlen zu bilden...
Ja, so ist es.
Gruß v. Angela
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> Was ich irgendwie nicht verstehe ist, dass der
> R-Vektorraum [mm]C^{3}[/mm] ja die Dimension 6 hat, also die
> Vektoren ja 6 Einträge haben müssten, oder?
Hallo,
wie Dein Kollege schon sagt: Dimension 6 bedeutet, daß die Basis aus 6 Vektoren besteht. Die Basis muß ja aus den gleichen Objekten bestehen wie die Menge. dies ist unbedingt merkenswert. Und da die Menge [mm] \IC^3 [/mm] aus Spalten mit 3 Einträgen besteht, kann doch die Basis nicht anders aussehen.
Vielleicht weißt Du auch schon, daß die Polynome vom Höchstgrad 2 einen Vektorraum der Dimension 3 bilden.
Also besteht die Basis dieses Raumes aus drei Polynomen vom Höchstgrad 2. Man kann z.B. die drei Polynome 1, x und [mm] x^2 [/mm] als Basis verwenden.
Hier gibt's weit und breit keine Spalten...
Aber bei Deinen "6 Einträgen" ist es so wie bei vielen Gerüchten - es gibt einen währen Kern:
wenn Du erstmal eine Basis B aus 6 Vektoren (mit drei Einträgen) gefunden hast, und die Vektoren aus [mm] \IC^3 [/mm] als Koordinatenvektoren bzgl. dieser Basis B darstellst, dann haben diese Koordinatenvektoren in der Tat 6 Einträge.
Stellen wir die Polynome von oben als Koordinatenvektoren bzgl [mm] (1,x,x^2) [/mm] dar, so haben wir auch Spalten mit 3 Einträgen. Wir identifizieren dann jedes Polynom mit einem Spaltenvektor.
Gruß v. Angela
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Kann ich denn folgende Basis für den [mm] \IR [/mm] - Vektorraum [mm] \IC^3 [/mm] nehmen?
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}, \vektor{i \\ 0 \\ 0}, \vektor{0\\ i \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ i}
[/mm]
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> Kann ich denn folgende Basis für den [mm]\IR[/mm] - Vektorraum [mm]\IC^3[/mm]
> nehmen?
>
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}, \vektor{i \\ 0 \\ 0}, \vektor{0\\ i \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ i}[/mm]
Hallo,
ja, denn sie sind linear unabhängig, und Du kannst leicht feststellen, daß Du damit jedes Element des [mm] \IC^3 [/mm] erzeugen kannst.
Gruß v. Angela
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Schaut dann der Vektor [mm] \vektor{5+2i \\ 1 \\ i } [/mm] bzgl. der Basis in Koordinatenschreibweise folgendermaßen aus?
[mm] \vektor{5 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\1}
[/mm]
Soll ich dann diese Schreibweise für die b) und c) bevorzugen oder die mit 3 Einträgen?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo.
Ich verstehe deine Frage nicht. Der Vektor $ [mm] \vektor{5 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\1} [/mm] $
ist doch der Koordinatenvektor bzgl. der obigen Basis.
Wie willst du das in 3 Einträgen schreiben?
Grüße Elvis
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Bei der b) geht es dann ja um eine Abbildung. Soll die Abbildungsmatrix dann 3 oder 6 Spalten haben, genauer gesagt n oder 2n?
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> Bei der b) geht es dann ja um eine Abbildung. Soll die
> Abbildungsmatrix dann 3 oder 6 Spalten haben, genauer
> gesagt n oder 2n?
Hallo,
da der [mm] \IC^n [/mm] als [mm] \IR-VR [/mm] die Dimension 2n hat, also jede Basis aus 2n Vektoren besteht, hat die Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung vom [mm] \IC^n [/mm] in den [mm] \IC^m [/mm] 2n Spalten.
Ich denke aber nicht, daß Du für b) unbedingt mit der Abbildungsmatrix arbeiten mußt.
Du mußt die Linearität für f vorrechnen.
Dabei darfst Du die [mm] \IR-Linearität [/mm] von h voraussetzen.
Gruß v. Angela
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Hm, ich weiß halt überhaupt nicht, wie ich das ansetzen soll. Wenn f [mm] \IC-linear [/mm] ist, dann ist f(x) = 2h(x)
Aber hilft mir das weiter?
Ich weiß nicht, was mir die [mm] \IR-Linearität [/mm] bringen soll.
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> Hm, ich weiß halt überhaupt nicht, wie ich das ansetzen
> soll. Wenn f [mm]\IC-linear[/mm] ist, dann ist f(x) = 2h(x)
> Aber hilft mir das weiter?
> Ich weiß nicht, was mir die [mm]\IR-Linearität[/mm] bringen soll.
Hallo,
"bringen" tut sie nichts, sie ist halt eine Deiner Voraussetzungen - am ehesten "bringt" sie Probleme...
De Abbildung h spielt sich also zwischen einem 2n-dimensionalen und einem m-dimensionalen VR ab,
und man weiß, daß [mm] h(x)\in \IR^m [/mm] für alle x.
Hieraus ist ja schonmal klar, daß f in den [mm] \IC^m [/mm] abbildet.
Ich hab' mir auch noch nicht in allen Einzelheiten überlegt, wie der Rest geht.
Ich würde aber mal so anfangen, daß ich als Basis von [mm] \IC^n [/mm] (über [mm] \IR) [/mm] die Basis [mm] B_n:=(e_1,...,e_n,e_{n+1}:=ie_1, [/mm] ..., [mm] e_{2n}:=ie_n) [/mm] verwende, die [mm] e_i [/mm] sind die Standardvektoren des [mm] \IR^n.
[/mm]
Es hat dann [mm] x\in \IC^n [/mm] eine eindeutige Darstellung [mm] x=\summe_{k=1}^{2n}a_ie_i.
[/mm]
Vielleicht kannst Du hieraus schon was schönes basteln.
Das Problem dürfte ja an der Stelle h(ix) auftauchen.
Du kannst ja erstmal ix aufschreiben als Linearkombination der Elemente von [mm] B_n [/mm] und dann weitersehen.
Gruß v. Angela
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[mm] x=\summe_{k=1}^{2n}a_ke_k=\summe_{k=1}^{n}(a_ke_k+a_{n+k}e_{n+k})
[/mm]
[mm] ix=\summe_{k=1}^{n}(-a_ke_k+a_{n+k}e_{n+k})
[/mm]
h(x) könnte ich dann folgendermaßen darstellen:
[mm] h(x)=\summe_{k=1}^{m}b_ke_k
[/mm]
Aber wie ich dann h(ix) daraus machen soll, fällt mir nicht ein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Di 28.04.2009 | | Autor: | Zeylana |
Hi!
Also ich hab da ganz anders angesetzt bei der b):
[mm] h(cx_1 [/mm] + [mm] tx_2) [/mm] = [mm] ch(x_1) [/mm] + [mm] th(x_2) [/mm] gilt weil h linear ist.
Dann einfach fröhlich drauflos rechnen:
[mm] f(cx_1 [/mm] + [mm] tx_2) [/mm] = [mm] h(cx_1 [/mm] + [mm] tx_2) [/mm] - [mm] ih(icx_1 [/mm] + [mm] itx_2) [/mm] =
[mm] ch(x_1) [/mm] + [mm] th(x_2) [/mm] - [mm] ich(ix_1) [/mm] - [mm] ith(ix_2) [/mm] =
[mm] cf(x_1) [/mm] + [mm] icf(ix_1) [/mm] + [mm] tf(x_2) [/mm] + [mm] itf(ix_2) [/mm] - [mm] ich(ix_1) [/mm] - [mm] ith(ix_2) [/mm] =
[mm] cf(x_1) [/mm] + [mm] tf(x_2)
[/mm]
Also ist f auch linear...Weiß nicht ob das stimmt oder ob ichs mir zu einfach gemacht hab ;)
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Hier könnte man doch ausklammern:
[mm] ch(x_1) [/mm] + [mm] th(x_2) [/mm] - [mm] ich(ix_1) [/mm] - [mm] ith(ix_2)=c(h(x_1)-ih(ix_1))+t(h(x_2)-ih(ix_2))=cf(x_1)+tf(x_2)
[/mm]
Frage an die Experten: Genügt der Rechenweg von Zeylana oder muss man es ausführlicher machen?
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Hallo
Das hängt von euren Tutoren ab.
Aber ich bin dr Ansicht dass das ausreichend ist.
Grüße Elvis
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Und die Aufgabe c) dann einfach rückwärts zur b)?
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Hallo
Ich weiß nicht was du mit rückwärts meinst. Aber b) hilft. Ja.
Grüße Elvis.
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Man setzt die Funktion h an, verwendet die Gleichung und ersetzt es somit durch f. Dann wendet man die Linearität von f an, ersetzt f wieder durch h, multipliziert aus und fertig oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 Di 28.04.2009 | | Autor: | Zeylana |
Naja nicht ganz analog weil ich versteh die Aufgabenstellung bei der c) so, dass man nicht die Linearität sondern f(x) = h(x) - ih(ix) zeigen soll...
Hab da also bissl anders argumentiert:
Aus der Linearität von $f$ folgt: [mm] $f(cx_1 [/mm] + [mm] tx_2) [/mm] = [mm] cf(x_1) [/mm] + [mm] tf(x_2)$\\
[/mm]
Es gilt außerdem, dass $f(x) [mm] \in \IC^m$ [/mm] darstellbar ist durch zwei reelle Zahlen $a,b [mm] \in \IR^m$, [/mm] sodass gilt:
[mm] $f(x_1) [/mm] = [mm] a_1 [/mm] + i [mm] b_1 \qquad f(x_2) [/mm] = [mm] a_2 [/mm] + i [mm] b_2 [/mm] $
Also:
[mm] $f(cx_1 [/mm] + [mm] tx_2) [/mm] = [mm] cf(x_1) [/mm] + [mm] tf(x_2) [/mm] = [mm] ca_1 [/mm] + [mm] cib_1 [/mm] + [mm] ta_2 [/mm] + [mm] tib_2$
[/mm]
Es sei nun $h(x) [mm] \in \IR^m$ [/mm] eine lineare Abbildung mit $h(x) := a$ und $h(ix) := -b$:
[mm] $ca_1 [/mm] + [mm] cib_1 [/mm] + [mm] ta_2 [/mm] + [mm] tib_2 [/mm] = [mm] ch(x_1) [/mm] - [mm] cih(ix_1) [/mm] + [mm] th(x_2) [/mm] - [mm] tih(ix_2) [/mm] = [mm] h(cx_1 [/mm] + [mm] tx_2) [/mm] - [mm] ih(cix_1 [/mm] + [mm] tix_2)$
[/mm]
Insgesamt folgt also:
$f(x) = h(x) - ih(ix)$
Also so hab ich die Aufgabe verstanden, keine Ahnung...
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> Naja nicht ganz analog weil ich versteh die
> Aufgabenstellung bei der c) so, dass man nicht die
> Linearität sondern f(x) = h(x) - ih(ix) zeigen soll...
Hallo,
ja, f ist vorgegeben,
und man soll zeigen, daß man eine Funktion [mm] h:\IC^n\to \IR^m [/mm] findet,
mit welcher man f so wie oben ausdrücken kann.
Du bist schon auf einem ganz guten Weg von der Idee her, denke ich, aber ---
Du definierst
> Es sei nun [mm]h(x) \in \IR^m[/mm] eine lineare Abbildung mit [mm]h(x) := a[/mm]
> und [mm]h(ix) := -b[/mm]:
mit f(x)=a+ib.
Hier bin ich etwas skeptisch:
Ist das wirklich richtig definiert? Also wohldefiniert?
Nehmen wir der Einfachheit halber mal n=2.
Die lineare Funktion f gehe vom [mm] \IC^2 [/mm] in den [mm] \IC^2,
[/mm]
sie sei auf der Basis [mm] ((\vektor{1\\i}, \vektor{i\\-1}, \vektor{1\\0},\vektor{0\\1}) [/mm] definiert durch
[mm] f(\vektor{1\\i}):=\vektor{1+i\\2}
[/mm]
[mm] f(\vektor{i\\-1}):= \vektor{5+i\\3+i}, [/mm]
[mm] f(\vektor{1\\0}):= \vektor{0\\0}, [/mm]
[mm] f(\vektor{0\\1}):= \vektor{0\\1}. [/mm]
Aus [mm] f(\vektor{1\\i}):=\vektor{1+i\\2} [/mm] erhalte ich lt. Deiner "Def." für h dies: [mm] h(\vektor{1\\i}):=\vektor{1\\2}, h(\vektor{i\\-1}):=\vektor{-1\\0}
[/mm]
Aus [mm] f(\vektor{i\\-1}):= \vektor{5+i\\3+i} [/mm] erhalte ich lt. Deiner Def. für h dies: [mm] h(\vektor{i\\-1}):=\vektor{5\\3}, h(\vektor{-1\\-i}):=\vektor{-1\\-1}.
[/mm]
Nun wird man doch etwas traurig: man hat hier [mm] \vektor{-1\\0}=h(\vektor{i\\-1})=\vektor{5\\3} [/mm] ...
Gruß v. Angela
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