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Forum "Vektoren" - Basisebene in Normalvektorform
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Basisebene in Normalvektorform: Definition richtig?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:30 Mi 12.10.2011
Autor: drahmas

Aufgabe
Die Punkte A(3/-2/0), B(4/6/3) und C(6/2/-1) sind die Basispunkte einer dreiseitigen Pyramide ABCD mit der Spitze D(5/1/13).

Bestimmen Sie die Gleichung der Basisebene in Normalvektorform.

Hallo,

wenn ich die Ebene in Normalvektorform bestimmen soll, gilt ja:

[mm] \epsilon: \overrightarrow{n}*(\overrightarrow{X}-\overrightarrow{A})=0 [/mm]

Da X = beliebiger Punkt auf der Ebene, A= fester Punkt auf der Ebene und [mm] \overrightarrow{n} [/mm] = Normalvektor, ist es dann demnach richtig, den Normalvektor aus zwei der Basispunkte der Pyramide zu errechnen, z.B.  [mm] \overrightarrow{ab}\times\overrightarrow{bc} [/mm] als festen Punkt z.B. "B" nimmt und als beliebigen Punkt z.B. "C" und dass dann in die Formel [mm] \epsilon: \overrightarrow{n}*(\overrightarrow{X}-\overrightarrow{A})=0 [/mm] einsetzt? Oder liege ich da komplett falsch?

Besten Dank

        
Bezug
Basisebene in Normalvektorform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:40 Mi 12.10.2011
Autor: Diophant

Hallo,

ein wenig Kuddelmuddel hast du in deinen Überlegungen noch drin:

- für den Normalenvektor benötigst du drei Punkte oder zwei Kantenvektoren (das meinst du wohl aber so)
- für den festen Punkt kannst du B nehmen, ja. Aber der freie Punkt ist und bleibt [mm] \overrightarrow{X} [/mm]

Gruß, Diophant

Bezug
                
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Basisebene in Normalvektorform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:14 Mi 12.10.2011
Autor: drahmas

Danke,

wäre demzufolge

[mm] \overrightarrow{AB}=\vektor{4 \\ 6 \\ 3}-\vektor{3 \\ -2 \\ 0}=\vektor{1 \\ 8 \\ 3} [/mm]

[mm] \overrightarrow{AC}=\vektor{6 \\ 2 \\ -1}-\vektor{3 \\ -2 \\ 0}=\vektor{3 \\ 4 \\ -1} [/mm]

[mm] \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\vektor{-10 \\ 1 \\ -10} [/mm]

[mm] \epsilon:\vektor{-10 \\ 1 \\ -10}*\begin{pmatrix}\overrightarrow{X}-\vektor{6 \\ 2 \\ -1}\end{pmatrix}=0 [/mm]

richtig?

Beste Dank…

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Basisebene in Normalvektorform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:22 Mi 12.10.2011
Autor: fred97


> Danke,
>  
> wäre demzufolge
>  
> [mm]\overrightarrow{AB}=\vektor{4 \\ 6 \\ 3}-\vektor{3 \\ -2 \\ 0}=\vektor{1 \\ 8 \\ 3}[/mm]
>  
> [mm]\overrightarrow{AC}=\vektor{6 \\ 2 \\ -1}-\vektor{3 \\ -2 \\ 0}=\vektor{3 \\ 4 \\ -1}[/mm]
>  
> [mm]\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\vektor{-10 \\ 1 \\ -10}[/mm]
>  
> [mm]\epsilon:\vektor{-10 \\ 1 \\ -10}*\begin{pmatrix}\overrightarrow{X}-\vektor{6 \\ 2 \\ -1}\end{pmatrix}=0[/mm]
>  
> richtig?

Sieht gut aus

FRED

>  
> Beste Dank…


Bezug
                                
Bezug
Basisebene in Normalvektorform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:30 Mi 12.10.2011
Autor: drahmas

Danke,

wenn ich die höhe der Pyramide bestimmen soll, kann ich ja der Einfachheit halber, die Höhe zw. Ebene [mm] \epsilon [/mm] und Punkt D bestimmen, oder?

[mm] h=\begin{vmatrix} \bruch{\begin{pmatrix} -10 \\ 1 \\ -10 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 13 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\end{pmatrix}}{\begin{vmatrix} \begin{pmatrix} -10 \\ 1 \\ -10 \end{pmatrix} \end{vmatrix}} \end{vmatrix}=10,37 [/mm]

Passt das auch so?

Beste Grüße

Bezug
                                        
Bezug
Basisebene in Normalvektorform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:24 Mi 12.10.2011
Autor: angela.h.b.


> Danke,
>  
> wenn ich die höhe der Pyramide bestimmen soll, kann ich ja
> der Einfachheit halber, die Höhe zw. Ebene [mm]\epsilon[/mm] und
> Punkt D bestimmen, oder?

Hallo,

ja, die Höhe ist der Abstand der Spitze zur Grundfläche der Pyramide.

>  
> [mm]h=\begin{vmatrix} \bruch{\begin{pmatrix} -10 \\ 1 \\ -10 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 13 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\end{pmatrix}}{\begin{vmatrix} \begin{pmatrix} -10 \\ 1 \\ -10 \end{pmatrix} \end{vmatrix}} \end{vmatrix}=10,37[/mm]
>  
> Passt das auch so?

Die Zahlen mag ich nicht nachrechnen.
Aber Du hast die falsche Ebenengleichung genommen, nicht wahr?

Gruß v. Angela

>  
> Beste Grüße


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Basisebene in Normalvektorform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:32 Mi 12.10.2011
Autor: drahmas

Hallo,

danke für die Antwort.

Die falsche Ebenengleichung? Mir sind auf Anhieb nur zwei  Normalvektorformen bekannt. Entweder die oben verwendete oder [mm] \overrightarrow{n}*\overrightarrow{x}=\overrightarrow{n}*\overrightarrow{P}, [/mm] aber das hat damit doch nichts zu tun, oder? Hab das seltsamerweise so in meinem Skript stehen, unter "Normalvektorform einer Ebene"  [keineahnung].

Wie kann man das noch machen?

Beste Grüße

Bezug
                                                        
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Basisebene in Normalvektorform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:46 Mi 12.10.2011
Autor: angela.h.b.

Hallo,

es geht mir nicht um die Form Deiner Ebenengleichung, sondern um die vorkommenden Zahlen.

Gruß v. Angela


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