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| Aufgabe | Seien a = [mm] \vmat{ 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 }, [/mm] b= [mm] \vmat{ 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 }, [/mm] c= [mm] \vmat{ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 1 }, [/mm] d = [mm] \vmat{ 2 \\ 0 \\ -1 \\ -1 }, [/mm] e = [mm] \vmat{ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 }
[/mm]
Ergänze Sie die Vektoren g = a+b, h= c+d zu einer Basis von <a,b,c,d> |
Wie ist da die Vorgehensweise grundsätzlich? Das habe ich noch nicht so recht verstanden? Was heißt denn zu einer Basis ergänzen?
Vielen Dank schon mal für Eure schnelle Hilfe im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:31 So 15.01.2006 | | Autor: | Lavanya |
Hi..
erstmal kann ich dir diesen Satz sagen :
Basisergänzugssatz:
Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum, dann lässt sich jede Menge linear unabhängiger Vektoren zu einer Basis von V ergänzen.....
das heißt ....
Wenn du schon ein Basis hast.....die wirkich auch ein linearunabhängiges Erzeugendensystem ist.... dann kannst du z.B 2 andere Vektoren aus V nehmen und mit Vektoren aus der Basis ( müssen nicht alle Vektoren sein) zusammen tun.... und die dann auf linearunabhängigkeit und Erzeugendensystem prüfen..... denn diese Vektoren sollen ja wieder eine Basis bilden !
Ich hoffe ich konnte dir etwas weiter helfen....
MFG
Lavanya
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 So 15.01.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
Kann es sein dass du dich verschrieben hast?
Die Vektoren g und h sind offensichtlich linear abhängig und können deshalb nicht zu einer Basis ergänzt werden...
(ich gehe mal von zwei anderen Vektoren aus...)
also erstmal ein wenig Theorie:
deine vier Vektoren spannen ja einen Unterraum des [mm] $\IR^4$ [/mm] auf - sie müssen erstmal keine Basis sein (jedenfalls steht dies nirgends)
Dieser Unterraum hat immer ein feste Anzahl von Basisvektoren, aber die welche es nun genau sind ist nicht eindeutig.
(sagen wir die Dimension sei n )
Deine Aufgabe ist es die beiden gegebenen Vektoren g und h mit (n-2) weiteren Vektoren zu einer Basis dieses Unterraums zu machen - d.h. du musst noch (n-2) weitere Vektoren aus dem Erzeugnis finden, die alle zusammen linear unabhängig sind.
Nun zum praktischen Teil : Wie macht man das?
Der Witz ist : du musst nicht erst n rausfinden und dann wild rumprobieren, es geht alles in einem :
Schreibe die Vektoren g und h untereinander als ZEILEN auf.
Diese beiden Zeilen darfst du im Folgenden nicht mehr verändern !
nun schreibst du darunter noch die Vektoren, die dein Erzeugnis gebildet haben (hast du da vielleicht auch einen vergessen in der Aufgabe?)
auch alle als ZEILEN
dannach machst du den Gauß-algo für diese Matrix bis du alles (bis auf die beiden ersten Zeilen, die du nicht veränderst) auf Zeilenstufenform hast.
(nur ZEILEN-operationen !!)
Alle Zeilen, die nicht Nullzeilen sind, sind dann linear unabhängige Vektoren mit selben Rang wie vorher, also eine Basis
(hier wird vorrausgesetzt, dass g und h unabhängig sind)
hoffe das hilft dir..
DaMenge
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oK; habe in der Aufgabenstellung einen Fehler gefunden, h ist nicht c+d sondern b+c und somit sind g und h linear unabhängig!
Habe das mal durchgerechnet.
also so aufschreiben:?
[mm] \vmat{ 2 & 0 & 2 & 0 \\ 2 &1&4&1 \\ 0&-1&1&0\\2&1&1&0\\0&0&3&1\\2&0&-1&-1 }
[/mm]
dann umformen ohne die ersten beiden Spalten zu verändern! Bekomme dann:
[mm] \vmat{ 2 & 0 &2 & 0 \\ 2&1&4&1 \\ 0&1&-1&0\\0&0&-3&1\\0&0&0&0\\ 0&0&0&0}
[/mm]
also sind die ersten 4 zeilen dann wieder in spaltenform aufgeschrieben meine Basis: < v1,v2,v3,v4> ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:27 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo Wolverine!
Wo kommt denn da plätzlich die $-3$ her? Es muss $+3$ heißen. Du wirst dann sehen, dass die vier verbleibenden Vektoren linear abhängig sind.
Schmeiß als einen weiteren Vektor aus; die Dimension des Unterraums ist $3$.
Du musst wirklich die Matrix komplett auf Zeilenstufenform bringen und dabei auch die zweite Zeile miteinbeziehen!
Liebe Grüße
Julius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Mo 16.01.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo zusammen,
ich gebe ja zu : es ist ein bischen schlecht ausgedrückt, was ich meinte.
Also Julius meinte ja schon - eine richtige Zeilenstufenform ist erwünscht.
Ich meinte auch eine Zeilenstufenform bis auf die ersten zwei Zeilen, dass dann die dritte Zeile nur noch höchstens 2 elemente haben darf (die nicht 0 sind)
Wenn man allerdings gleich die zweite Zeile in Zeilenstufen form bringt, also den Vektor [mm] $\vektor{0\\1\\2\\1}$ [/mm] dann da stehen hat als Zeile, dann sollte man bedenken, dass :
[mm] $\left < \vektor{2\\0\\2\\0} , \vektor{2\\1\\4\\1} \right [/mm] > [mm] =\left < \vektor{2\\0\\2\\0} , \vektor{0\\1\\2\\1} \right [/mm] > $
(sieht man, oder?)
deshalb darf man dann die zweite Zeile der Zeilenstufenform wieder in zweiten Vektor (, den man behalten soll,) ändern.
danach sollte alles stimmen bis auf evtl Rechenfehler^^
viele grüße
DaMenge
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