Basistransformationsmatrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:06 Di 18.05.2010 | | Autor: | bAbUm |
Guten Tag.
Ich habe eine Aufgabe gegeben, weiß aber nicht wie ich vorgehen soll. Mein Script hilft mir leider auch nicht weiter.
Die lineare Abbildung [mm] \gamma [/mm] ist bzg. der Standardbasis durch die Abbildungsmatrix
A= 1/2 [mm] \pmat{ 7 & 10 \\ -5 & -7 } [/mm] gegeben.
Außerdem ist mit [mm] b^1=(-1,1)^T [/mm] und [mm] b^2=(-3,2)^T [/mm] eine Basis B= { [mm] b^1, b^2 [/mm] } des [mm] R^2 [/mm] gegeben.
a) Geben sie die Basistransformationsmatrix an, die Vektoren
[mm] x=a_1b^1 [/mm] + [mm] a_2b^2 [/mm] = [mm] (a_1, a_2)^T_B [/mm] dargestellt bzg. der Basis B in die entsprechende Darstellung [mm] x=\beta_1e^1 [/mm] + [mm] \beta_2e^2 =(\beta_1, \beta_2)^T [/mm] transformiert.
Was ist hier zu tun?
Vielen Dank schon einmal von mir!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Di 18.05.2010 | | Autor: | nooschi |
> Guten Tag.
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> Ich habe eine Aufgabe gegeben, weiß aber nicht wie ich
> vorgehen soll. Mein Script hilft mir leider auch nicht
> weiter.
>
> Die lineare Abbildung [mm]\gamma[/mm] ist bzg. der Standardbasis
> durch die Abbildungsmatrix
> A= 1/2 [mm]\pmat{ 7 & 10 \\ -5 & -7 }[/mm] gegeben.
> Außerdem ist mit [mm]b^1=(-1,1)^T[/mm] und [mm]b^2=(-3,2)^T[/mm] eine Basis
> B= [mm]{ b^1, b^2 }[/mm] des [mm]R^2[/mm] gegeben.
>
> a) Geben sie die Basistransformationsmatrix an, die
> Vektoren
> [mm]x=a_1b^1[/mm] + [mm]a_2b^2[/mm] = [mm](a_1, a_2)^T_B[/mm] dargestellt bzg. der
> Basis B in die entsprechende Darstellung [mm]x=\beta_1e^1[/mm] +
> [mm]\beta_2e^2 =(\beta_1, \beta_2)^T[/mm] transformiert.
>
> Was ist hier zu tun?
erstmal die Aufgabe genau lesen und herausfiltern was die Aufgabe ist: Wir suchen ein Matrix [mm] (m_{i,j})_{1\leq i,j \leq 2} [/mm] sodass folgende Gleichung erfüllt ist:
[mm] \pmat{ m_{1,1} & m_{1,2} \\ m_{2,1} & m_{2,2} }\cdot \vektor{a_1 \\ a_2}=\vektor{\beta_1 \\ \beta_2}
[/mm]
und jetzt halt bisschen rumrechnen:
[mm] \beta_1\vektor{1 \\ 0}+\beta_2\vektor{0 \\ 1}=\vektor{\beta_1 \\ \beta_2}=\pmat{ m_{1,1} & m_{1,2} \\ m_{2,1} & m_{2,2} }\cdot \vektor{a_1 \\ a_2}=\pmat{ m_{1,1} & m_{1,2} \\ m_{2,1} & m_{2,2} }\cdot a_1 \vektor{1 \\ 0}+\pmat{ m_{1,1} & m_{1,2} \\ m_{2,1} & m_{2,2} }\cdot a_2 \vektor{0 \\ 1}=a_1\vektor{ m_{1,1} \\ m_{2,1} }+a_2\pmat{ m_{1,2} \\ m_{2,2} }
[/mm]
also:
[mm] \beta_1\vektor{1 \\ 0}+\beta_2\vektor{0 \\ 1}=a_1\vektor{ m_{1,1} \\ m_{2,1} }+a_2\pmat{ m_{1,2} \\ m_{2,2} }
[/mm]
um jetzt die [mm] m_{ij} [/mm] zu berechnen, ist es am sinnvollsten für x die Vektoren [mm] \vektor{-1 \\ 1}, \vektor{-3 \\ 2} [/mm] einzusetzen (die Rechnung wird dann sehr einfach). Dann berechnest du zuerst die dazugehörigen [mm] $\beta$'s [/mm] und $a$'s, setzt die in die Gleichung ein und schon bekommst du die [mm] m_{ij}.
[/mm]
Ich habe das jetzt extra so aufgeschrieben, wie du vielleicht selber hättest draufkommen sollen. Allgemein berechnet man einen Basiswechsel so, dass man die alte Basis bzgl. der neuen aufschreibt (also [mm] \vektor{-1\\1}=\lambda_1\vektor{1\\0}+\lambda_2\vektor{0\\1} [/mm] ...) und die [mm] \lambda [/mm] dann in die Spalten der Basiswechselmatrix aufschreibt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Di 18.05.2010 | | Autor: | bAbUm |
> also:
> [mm]\beta_1\vektor{1 \\ 0}+\beta_2\vektor{0 \\ 1}=a_1\vektor{ m_{1,1} \\ m_{2,1} }+a_2\pmat{ m_{1,2} \\ m_{2,2} }[/mm]
>
> um jetzt die [mm]m_{ij}[/mm] zu berechnen, ist es am sinnvollsten
> für x die Vektoren [mm]\vektor{-1 \\ 1}, \vektor{-3 \\ 2}[/mm]
> einzusetzen (die Rechnung wird dann sehr einfach). Dann
> berechnest du zuerst die dazugehörigen [mm]\beta[/mm]'s und [mm]a[/mm]'s,
> setzt die in die Gleichung ein und schon bekommst du die
> [mm]m_{ij}.[/mm]
mal sehen ob ich das verstanden habe:
so zb? :
für [mm] \beta_1=-3 [/mm] und [mm] \beta_2=2 [/mm]
[mm] -3\pmat{ 1 \\ 0 } [/mm] + [mm] 2\pmat{ 0 \\ 1 } [/mm] = [mm] a_1 \pmat{ 3,5 \\ -2,5 } [/mm] + [mm] a_2\pmat{ 5 \\ 3,5 }
[/mm]
[mm] \pmat{ -3 \\ 2 } [/mm] = [mm] a_1 \pmat{ 3,5 \\ -2,5 } [/mm] + [mm] a_2\pmat{ 5 \\ 3,5 }
[/mm]
folgt:
[mm] a_1=2 [/mm] und [mm] a_2=-2
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 Di 18.05.2010 | | Autor: | nooschi |
ähm nein, das hast du nicht richtig verstanden. Ich habe geschrieben, dass du für x die Punkte [mm] \vektor{-1\\1}, \vektor{-3\\2} [/mm] einsetzen sollst, wobei wir x so gesetzt haben (siehe deine Aufgabe!):
[mm] x=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2
[/mm]
[mm] x=\beta_1\cdot e_1+\beta_2\cdot e_2
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] \vektor{-1\\1}=a_1\cdot \vektor{-1\\1}+a_2\cdot \vektor{-3\\2}
[/mm]
[mm] \vektor{-1\\1}=\beta_1\cdot \vektor{1\\0}+\beta_2\cdot \vektor{0\\1} [/mm]
und dann noch für [mm] \vektor{-3\\2}...
[/mm]
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