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| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR^{3} [/mm] -> [mm] \IR^{3} [/mm] eine lineare Abbildung, deren Matrix A bezüglich der Standardbasis die folgende Form hat:
A = [mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 }
[/mm]
Wie sieht die Matrix aus, wenn man stattdessen die Basis bestend aus den Vektoren { [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] } verwendet? |
Hallo,
ich habe zuerst versucht, eine lineare Abbildung mithilfe der gegebenen Matrix A zu bestimmen:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 } [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{x-y \\ 2y+z \\ 3x+y+2z}
[/mm]
Also hat f: [mm] \IR^{3} [/mm] -> [mm] \IR^{3} [/mm] folgende Form:
f(x,y,z) = (x-y , 2y+z, 3x+y+2z)
Jetzt die 3 gegebenen Basisvektoren einsetzen:
f(1,0,0) = (1,0,3)
f(1,1,0) = (0,2,4)
f(1,1,1) = (0,3,6)
Also sieht die gesuchte Matrix folgendermaßen aus:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 6}
[/mm]
Ist das so korrekt?
Vielen Dank im Voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 Mi 01.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: [mm]\IR^{3}[/mm] -> [mm]\IR^{3}[/mm] eine lineare Abbildung, deren
> Matrix A bezüglich der Standardbasis die folgende Form
> hat:
>
> A = [mm]\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Wie sieht die Matrix aus, wenn man stattdessen die Basis
> bestend aus den Vektoren { [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } verwendet?
>
>
> Hallo,
>
> ich habe zuerst versucht, eine lineare Abbildung mithilfe
> der gegebenen Matrix A zu bestimmen:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 }[/mm] * [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
> = [mm]\vektor{x-y \\ 2y+z \\ 3x+y+2z}[/mm]
>
> Also hat f: [mm]\IR^{3}[/mm] -> [mm]\IR^{3}[/mm] folgende Form:
> f(x,y,z) = (x-y , 2y+z, 3x+y+2z)
>
> Jetzt die 3 gegebenen Basisvektoren einsetzen:
>
> f(1,0,0) = (1,0,3)
>
> f(1,1,0) = (0,2,4)
>
> f(1,1,1) = (0,3,6)
>
> Also sieht die gesuchte Matrix folgendermaßen aus:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 6}[/mm]
>
> Ist das so korrekt?
Nein. Ich bin erstaunt, denn wie man eine AbbildungsMatrix zu gegebenen Basen bastelt habe ich Dir vor 21 Tagen hier in diesem Forum ausführlichst erklärt.
fred
>
> Vielen Dank im Voraus.
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Hallo nochmal,
ja, ich habe gerade geguckt.
Allerdings bringen mich verschiedene Definitionen durcheinander.
Hier mal eine andere Definition:
Ist eine m x n Matrix A gegeben und sind [mm] v_1, [/mm] ... [mm] v_n \in \IR^{m} [/mm] ihre Spalten, so ist die zugehörige lineare Abbildung durch die Vorschrift
f [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} x_i [/mm] * [mm] v_i [/mm] gegeben
Wir haben die Matrix A gegeben
A = [mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 } [/mm]
Die Spalten sind [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 3} [/mm] und [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
3 Spalten, also n = 3
für die erste Spalte ist dann:
dann ist f [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{3} x_i [/mm] * [mm] v_i
[/mm]
Also [mm] x_1*1 [/mm] + [mm] x_2*0 [/mm] + [mm] x_3*3 [/mm] usw
So richtig verstehen tu ich das aber nicht..
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> Hallo nochmal,
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> ja, ich habe gerade geguckt.
> Allerdings bringen mich verschiedene Definitionen
> durcheinander.
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> Hier mal eine andere Definition:
>
> Ist eine m x n Matrix A gegeben und sind [mm]v_1,[/mm] ... [mm]v_n \in \IR^{m}[/mm]
> ihre Spalten, so ist die zugehörige lineare Abbildung
> durch die Vorschrift
>
> f [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} x_i[/mm]
> * [mm]v_i[/mm] gegeben
>
> Wir haben die Matrix A gegeben
>
> A = [mm]\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 }[/mm]
>
> Die Spalten sind [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 3}[/mm] und [mm]\vektor{-1 \\ 2 \\ 1}[/mm]
> und [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 2}[/mm]
>
> 3 Spalten, also n = 3
Hallo,
und damit hast Du dann
f [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n} [/mm]
[mm] =x_1*\vektor{1 \\ 0 \\ 3}+x_2*\vektor{-1 \\ 2 \\ 1}+x_3\vektor{0 \\ 1 \\2} [/mm]
[mm] =\vektor{1*x_1-1*x_2+0*x_3\\0*x_1+2*x_2+1*x_3\\3x_1+1*x_2+2*x_3}.
[/mm]
>
> für die erste Spalte ist dann:
???
> dann ist f [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{3} x_i[/mm] * [mm]v_i[/mm]
>
> Also [mm]x_1*1[/mm] + [mm]x_2*0[/mm] + [mm]x_3*3[/mm]
???
> usw
???
>
> So richtig verstehen tu ich das aber nicht..
Wenn x ein Vektor bezügl. Standardbasis ist, und A die Abbildungsmatrix bzgl. der Standardbasis der linearen Abbildung [mm] f_A,
[/mm]
dann ist [mm] f_A(x)=A*x.
[/mm]
Und wenn Du eine lineare Abbildung f gegeben hast und deren Abbildungsmatrix A bzgl der Standardbasis suchst, dann rechnest Du [mm] f(e_1), f(e_2), f(e_3) [/mm] aus. Das sind dann die drei Spalten der zugehörigen Abbildungsmatrix A.
LG Angela
LG Angela
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Hallo nochmal,
ich habe mich bisschen schlau gemacht und habe nun folgendes Kochrezept gefunden bezüglich Basiswechsel in [mm] \IR^{n}
[/mm]
1. Die gegebenen Basisvektoren nebeneinander aufschreiben, sodass eine Matrix B entsteht.
2. Die Inverse der Matrix B berechnen, also [mm] B^{-1}
[/mm]
3. Um die gesuchte Matrix C zu bestimmen, rechne ich C = [mm] B^{-1} [/mm] * A * B
A= $ [mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 } [/mm] $
B = $ [mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] $
[mm] B^{-1} [/mm] Inverse = $ [mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] $
C = [mm] B^{-1} [/mm] * A * B
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm]
C= [mm] \pmat{ 1 & -2 & -3 \\ -3 & -2 & -3 \\ 3 & 4 & 6 }
[/mm]
Guter Weg oder Holzweg?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:15 Do 02.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmal,
>
> ich habe mich bisschen schlau gemacht und habe nun
> folgendes Kochrezept gefunden bezüglich Basiswechsel in
> [mm]\IR^{n}[/mm]
>
> 1. Die gegebenen Basisvektoren nebeneinander aufschreiben,
> sodass eine Matrix B entsteht.
>
> 2. Die Inverse der Matrix B berechnen, also [mm]B^{-1}[/mm]
>
> 3. Um die gesuchte Matrix C zu bestimmen, rechne ich C =
> [mm]B^{-1}[/mm] * A * B
>
> A= [mm]\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 }[/mm]
>
> B = [mm]\pmat{ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> [mm]B^{-1}[/mm] Inverse = [mm]\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> C = [mm]B^{-1}[/mm] * A * B
>
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm] * [mm]\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 }[/mm]
> * [mm]\pmat{ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> C= [mm]\pmat{ 1 & -2 & -3 \\ -3 & -2 & -3 \\ 3 & 4 & 6 }[/mm]
>
> Guter Weg oder Holzweg?
Guter Weg
FRED
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Vielen Dank für die Antwort.
Eine Frage habe ich aber noch.
Unter diesem Link (ganz nach unten scrollen) ist ein Beispiel zu finden und die haben genau das gleiche Problem behandelt.
Allerdings rechnen sie dort anders, wie ist das zu erklären? Mit meinem Weg bekomme ich andere Ergebnisse.
Hier der Link: http://statistik.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node36.html
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Sa 04.06.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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