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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:27 Di 07.08.2007 | | Autor: | tynia |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo erstmal  Ich bräuchte mal eure Hilfe.
Ich habe zwei Basen gegeben:
A= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} [/mm] und
B= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2 \\ 7 \\ 6 \end{pmatrix}
[/mm]
Jetzt ist in der Aufgabe nach der Transformationsmatrix bezüglich des Basiswechsels von A nach B gefragt.
Hier im Forum habe ich gelesen, dass man nun aus Basis A ein Gleichungssystem macht und es erstmal gleich dem ersten Vektor aus B setzt. Womit man dann die erste Spalte der Transformationsmatrix erhält
Also für die erste Spalte wäre es:
1x + 2y + 2z = 1
-1x + 3y + 3z = 1
2x + 7y + 6z = 2
Wenn man dies auflöst, bekommt man die erste Spalte : [mm] \begin{pmatrix} \bruch{-1}{5} \\ \bruch{-6}{5} \\ \bruch{7}{5} \end{pmatrix}
[/mm]
Ist das so richtig? Weil ich mir nämlich meine Unterlagen zur Vorlesung angeguckt habe, und da wurde mit der Basis B ein Gleichunssystem gebildet, also genau andersrum.
Jetzt bin ich mir total unsicher. Ich hoffe mir kann jemand helfen.
Vielen Dank im Voraus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:47 Di 07.08.2007 | | Autor: | tynia |
Noch eine Frage zu der obigen Frage.
Ich soll nun weiter die Koordinaten des Vektors v= [mm] 2*\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] 9*\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] 8*\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} [/mm] bezüglich der Basis B bestimmen.
Ich habe jetzt v ausgerechnet und komme auf den Vektor [mm] \begin{pmatrix} 36 \\49 \\ 115 \end{pmatrix}.
[/mm]
Nun habe ich aus B ein Gleichungssystem gemacht und es diesem Vektor gleichgesetzt, also:
1x - 1y - 2z = 36
2x + 3y + 7z = 49
2x + 3y +6z = 115
und komme dann letztendlich auf den Vektor [mm] \begin{pmatrix} \bruch{223}{5} \\ \bruch{703}{5} \\ \bruch{-330}{5} \end{pmatrix}.
[/mm]
Ist das richtig so? Oder kann man es noch anders machen? Weil man sieht ja, dass die Vektoren von v, die in Klammern stehen, gleich der Basis A sind.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Vielen Dank schonmal.
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> Noch eine Frage zu der obigen Frage.
>
> Ich soll nun weiter die Koordinaten des Vektors v=
> [mm]2*\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] +
> [mm]9*\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix}[/mm] +
> [mm]8*\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}[/mm] bezüglich der
> Basis B bestimmen.
>
> Ich habe jetzt v ausgerechnet und komme auf den Vektor
> [mm]\begin{pmatrix} 36 \\49 \\ 115 \end{pmatrix}.[/mm]
Hallo,
[mm] \begin{pmatrix} 36 \\49 \\ 115 \end{pmatrix} [/mm] ist der Vektor v, dargestellt bzgl. der Standardbasis.
Bzgl. der Basis A hat er die Koordinaten [mm] \vektor{2 \\ 9\\8}_A, [/mm] und die Koordinaten bzgl B sollen errechnet werden.
> Nun habe ich
> aus B ein Gleichungssystem gemacht und es diesem Vektor
> gleichgesetzt, also:
>
> 1x - 1y - 2z = 36
> 2x + 3y + 7z = 49
> 2x + 3y +6z = 115
>
> und komme dann letztendlich auf den Vektor [mm]\begin{pmatrix} \bruch{223}{5} \\ \bruch{703}{5} \\ \bruch{-330}{5} \end{pmatrix}.[/mm]
>
> Ist das richtig so?
Ich habe die Lösung Deines GS nicht nachgerechnet.
Das Verfahren ist auf jeden Fall völlig richtig.
> Oder kann man es noch anders machen?
Falls Du bereits irgendwo die Transformationsmatrix [mm] T_A_B [/mm] hast, welche Dir Koordinaten bzgl A in solche bzgl. B umwandelt, brauchst Du nur diese Matrix mit v (dargestellt bzgl. A) zu multiplizieren und erhältst die Darstellung bzgl. B.
[mm] T_A_B*\vektor{2 \\ 9\\8}_A=\vektor{... \\ ...\\...}_B.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:06 Mi 08.08.2007 | | Autor: | Mumrel |
Holla Tina,
Lineare Algebra ist schon ein Semester her, aber ich will dir auch noch meine Gedanken dazu schrieben.
Den Ansatz - so finde ich zumidnest - kann man sich nämlcih gut merken:
Also du hast zwei Basen A, B und einen Vektor jeweils dargestellt zu den zwei Basen (x zu A und y zu B)
Wenn man beide zur Normalbasis darstellt müssen die Darstellungen ja gleich sein.
Die Normaldarstellung (n) von x mit der Basis a erhält man in dem man den Vektor mit der Matrix (der Bases) multipliziert, also
n= A*x.
Gleiches gilt für y und B
n = B * y
(Das ist ja gerade die Definion der Basis, da der Vektor ja angibt, wie man die Basisvektoren kombinieren muss um den Vektor zu erhalten)
Insgesamt gilt also
A* x = B * y (Also zur Standardnomralbasis muss natürlich der selbe Vektor rauskommen)
Wenn du jetzt einen Vektor x zur Basis A hast und du möchtest ihn zur Basis dargestelt haben B so kannst du folgendes tun:
Löse obige Gleichug nach y auf:
(also beide Seiten mit [mm] B^{-1} [/mm] multiplizieren:
[mm] B^{-1}* [/mm] A * x = y [1]
Entsprechend wenn man y hat und die Darstellung zu A möchte:
(beide Sieten mit [mm] A^{-1} [/mm] multiplizieren:
x = [mm] A^{-1}* [/mm] B * y
Das T := [mm] B^{-1}* [/mm] A aus [1] wäre die von dir gesuchte Transformationsmatrix, die einen Vektor zu B in einen Vektor zu A transformiert.
Und [mm] T^{-1} [/mm] dann entsprechend anderstrum.
So dies nur als Alternativvorschlag.
Da das schon eine Weile her ist können sich Fehler eingeschlichen haben, aber hier gibt es ja genug wachsame Augen, die das sicher wahrnehmen würden :).
Meiner Meinugn nach ist es so wie du es machst richitg.
Du stellst das LGS auf und frägst ja wie stellt man den ersten Basisvektor aus A zu B dar (nur in der zweiten Zeile fehlt auf der rechten Seite ein Minus).
Und wenn du das gemacht hast kannst du ja auch vielfache davon darstellen, deswegen würde ich sagen das passt so!
Grüße Mumrel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:10 Mi 08.08.2007 | | Autor: | tynia |
Du hast mich jetzt total verwirrt :-(
Geht es denn nicht so, wie ich es gemacht habe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:17 Mi 08.08.2007 | | Autor: | Mumrel |
> Du hast mich jetzt total verwirrt :-(
Dann hab ich das Gegegenteil meiner eigentlichen Absicher erreicht :(
Doch, wie noch naträglich angemekrt bin ich der Meinung, dass du es richtig machst.
Es gibt hier (mind.) zwei (mir bekannte) Verfahren.
Das aus meinem Post, und das das du angewendet hast.
Das was ich vorgestellt habe, mag ich lieber, da es meines Erachtens etwas weniger Rechenaufwand ist.
Aber durchaus kann man es so machen wie du.
Also in dem Fall dann eben drei Gleichungssysteme lösen.
Jedes einzelen LGS gibts ja an wie stelle ich den i-ten Basisvektor aus A zu B dar.
Wenn man nun aber jeden einzelnen Basisvektor aus A zu B darstellen kann, dann kann man auch Vielfache davon (und das sind ja) Vektoren darstellen.
Also lass dich von mir nicht verwirren, wenn du den Weg vorzeihst einfach weitermachen ;)
Grüße Mumrel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:22 Mi 08.08.2007 | | Autor: | tynia |
Aber wenn ich jetzt den Basiswechsel von A nach B haben will, also die Transpositionsmatrix davon, forme ich dann Basis A zum LGS um, oder B ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Mi 08.08.2007 | | Autor: | Mumrel |
Hi Tina,
das geht ja schlag auf Schlag hier ;).
> Aber wenn ich jetzt den Basiswechsel von A nach B haben
> will, also die Transpositionsmatrix davon, forme ich dann
> Basis A zum LGS um, oder B ?
Beides geht wie du es ja gemacht hast in das LGS ein.
Also wenn A und B wie bei dir jeweils aus drei Vektoren bestehen, dann musst du drei LGS lösen.
Nämlich
[1]
Stelle den ersten Basisvektor aus A zu B dar, also
B [mm] *\vektor{x \\ y\\ z} [/mm] = [mm] a_1 [/mm] wobei [mm] a_1 [/mm] der erste Basisvektor aus A ist.
[2]
Stelle den zweiten Basisvektor aus A zu B dar, also
B [mm] *\vektor{x \\ y\\ z} [/mm] = [mm] a_2 [/mm] wobei [mm] a_2 [/mm] der erste Basisvektor aus A ist.
usw ist.
Die drei Lösungsvektoren der drei Gleichunssysteme bilden dann deine Transformationsmatrix.
Grüße Mumrel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:30 Mi 08.08.2007 | | Autor: | tynia |
Aha....ok. Danke. Ich glaube diesen Teil habe ich jetzt kapiert
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:17 Mi 08.08.2007 | | Autor: | tynia |
Ich habe doch nur einen Vektor v gegeben ????
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:21 Mi 08.08.2007 | | Autor: | Mumrel |
> Ich habe doch nur einen Vektor v gegeben ????
Da musst du schon etwas ausführlicher werden. Auf welchen Teil genau bezieht sich die Frage. Und v zu wlecher Basis, und was willst du dann weiter machen?
Aber ich vermute es geht um die x und y.
Richtig ist ja, dass man meist die Situation hat man A, B und x gegeben (den du glaube ich jetzt v nennst) und gesucht ist y.
Aber wir wissen ja es gibt ein y - wie auch immer das aussehen mag, und können mit dem y die Gleichung aufstellen.
Und je nachdem ob man x oder y gegeben hat, kann man dann entsprechend auflösung und erhält so die Transformationsmatix.
War das die Frage? :)
Grüße Mumrel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:37 Mi 08.08.2007 | | Autor: | tynia |
Ich hoffe, du kannst mir dann morgen nochmal weiter helfen... wenn es da noch fragen gibt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:39 Mi 08.08.2007 | | Autor: | Mumrel |
> Ich hoffe, du kannst mir dann morgen nochmal weiter
> helfen... wenn es da noch fragen gibt
Der Amerkikaner würde sagen "You're welcome!" :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:37 Mi 08.08.2007 | | Autor: | Mumrel |
> Weißt du was ??? ich glaube es ist schon zu spät um ´sich
> über solche Fragen Gedanken zu machen Ich merke, ich
> verstehe von Minute zu Minute weniger. Ich lese mir das
> nochmal morgen früh durch.
Ja das kenn ich ;), eine Nacht wirkt Wunder!
Wir können das ja ein andermal fortsetzten. Ich schreib in drei Wochen eine Prüfung darüber und muss es bis dahin sowieso können.
Und die beste Übungs ist es wohl es jemand anderem zu erklären. Und ich hoffe das gelingt mir noch überzeugend :)!
Gute Nacht
Mumrel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:39 Mi 08.08.2007 | | Autor: | tynia |
Gute Nacht dir auch 
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> Ich habe zwei Basen gegeben:
>
> A= [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}[/mm]
> und
>
> B= [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2 \\ 7 \\ 6 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Jetzt ist in der Aufgabe nach der Transformationsmatrix
> bezüglich des Basiswechsels von A nach B gefragt.
Hallo,
ich hoffe, daß ich nicht langweile und womöglich zum dritten Mal schreibe, was Du schon längst weißt - der Thread ist etwa unübersichtlich und ich habe nicht jedes Detail studiert...
Du suchst also die Matrix, welche Dir Vektoren, die in der Darstellung bzgl. A gegeben sind in Darstellung bzgl. B liefert.
Diese erhältst Du, wenn Du schaust, bzw. berechnest, wie die Basisvektoren von A in Darstellung bzgl. B aussehen. Diese Koordinaten kommen in die Spalten der Basiswechselmatrix.
Beginnen wir also.
Zunächst der erste Basisvektor von A:
[mm] \vektor{1 \\ 0\\0}_A=1*\vektor{1 \\ -1\\2}=\vektor{1 \\ -1\\2}=\vektor{a \\ b\\c}_B= a*\vektor{1 \\ 2\\2}+b*\vektor{-1 \\ 3\\3}+c*\vektor{-2 \\ 7\\6}.
[/mm]
Es ist also das GS [mm] \vektor{1 \\ -1\\2}=a*\vektor{1 \\ 2\\2}+b*\vektor{-1 \\ 3\\3}+c*\vektor{-2 \\ 7\\6} [/mm] zu lösen.
Ergebnis: a=1, b=6, c=-3
Deine Transformationsmatrix [mm] T_A_B [/mm] sieht also so aus: [mm] T_A_B=\pmat{ 1 & ...&... \\ 6 & ...&...\\-3 & ...&... }.
[/mm]
Für die anderen Basisvektoren entsprechend.
(Wenn man die Sache richtig durchschaut hat, kann man auch die drei GS natürlich simultan lösen: B|A formt man hierzu mit Gauß so um, daß am an der Stelle von B die Einheitsmatrix stehen hat. Die rechte Seite liefert die gesuchte Transformationsmatrix. Ich rate für den Anfang zu dem langatmigeren Vorgehen, weil man hier besser weiß, was man tut.)
Gruß v. Angela
Gruß v. Angela
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