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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:59 Mi 13.08.2008 | | Autor: | mueller |
| Aufgabe | Sei [mm] V=\IR^{3} [/mm] mit kanonischer Basis [mm] \varepsilon [/mm] und [mm] $F:V\mapsto [/mm] V $ die Spiegelung an der durch die Vektoren [mm] b_{1}=\vektor{1 \\ 1 \\1} [/mm] und [mm] b_{2}=\vektor{1 \\ 1 \\1} [/mm] aufgespannten Ebene.
i) Sei [mm] \mathcal{B}=\left\{\vektor{1 \\ 1 \\1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ -1 \\ 0}\right\} [/mm] . Zeigen SIe dass [mm] \mathcal{B} [/mm] eine Basis von V ist.
ii) Bestimmen sie [mm] M_{f}^{\mathcal{B}, \mathcal{B}}. [/mm] |
Hallo, kann mir jemand einen Tipp geben wie ich hier an die Aufgabe ran soll? Ich hatte schon im Skript nachgeschaut, mir ist es aber immer noch nicht so ganz klar was ich hier machen soll.
Danke und Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:24 Mi 13.08.2008 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Sei [mm]V=\IR^{3}[/mm] mit kanonischer Basis [mm]\varepsilon[/mm] und F: V
> -->V die Spiegelung an der durch die Vektoren
> [mm]b_{1}=\vektor{1 \\ 1 \\1}[/mm] und [mm]b_{2}\vektor{1 \\ 1 \\1}[/mm]
> aufgespannten Ebene.
Soll das vielleicht [mm] b_{2} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] heißen?
> i) Sei [mm]\mathcal{B}=\{\vektor{1 \\ 1 \\1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ -1 \\ 0}\}.[/mm]
> Zeigen SIe dass [mm]\mathcal{B}[/mm] eine Basis von V ist.
> ii) Bestimmen sie [mm]M_{F}^{\mathcal{B}, \mathcal{B}}.[/mm]
Zu i):
Du könntest nachrechnen, daß die 3 Vektoren lin. unabhängig sind. Oder du argumentierst mit deiner räumlichen Vorstellungskraft. Die ersten beiden Vektoren sind offenbar lin. unabhängig wg. der 0 im 2. Vektor, sonst würden sie auch keine Ebene aufspannen. Der 3. Vektor steht auf den beiden anderen senkrecht, da das Skalarprodukt = 0 ist, damit zeigt er aus der Ebene heraus und die 3 spannen den Raum auf, bilden also eine Basis.
Zu ii):
Die Spalten der Matrix sind die Bilder der Basisvektoren. Nun liegen die beiden ersten Vektoren in der Spiegelungsebene, werden also auf sich abgebildet, und der 3. ist senkrecht dazu, wird also auf sein Negatives abgebildet. Damit ist
[mm] M_{F}^{\mathcal{B}, \mathcal{B}} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 }
[/mm]
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Mi 13.08.2008 | | Autor: | mueller |
Hi, danke für die schnelle Antwort. Mir ist aber ii) noch nicht ganz kalr, aber erstmal zu i)
[mm] b_{1}*b_{2}=1*1+1*1+1*0=2 [/mm] aber weil: Wenn in einer Reihe von Vektoren keiner der Vektoren skalares Vielfaches des anderen ist, sind die Vektoren linear unabhängig. Und ich kann die 1 nur mit 0 multiplizieren, dann ist aber der gesamte Vektor 0
[mm] b_{1}*b_{3}=1*1+1*(-1)+1*0=0
[/mm]
Aber wie kommst Du auf die Matrix in ii) mir würde schon ein Tipp langen damit ich es selbst rausfinde, möchte ja noch etwas lernen.
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 Mi 13.08.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Aber wie kommst Du auf die Matrix in ii) mir würde schon
> ein Tipp langen damit ich es selbst rausfinde, möchte ja
> noch etwas lernen.
Für die Bestimmung dieser Matrix M ist die konkrete Form der Basisvektoren völlig egal.
Wir wissen, daß [mm] F(b_1) [/mm] = [mm] b_1, F(b_2) [/mm] = [mm] b_2 [/mm] und [mm] F(b_3) [/mm] = [mm] -b_3 [/mm] ist.
Außerdem ist [mm] b_1 [/mm] = [mm] 1*b_1 [/mm] + [mm] 0*b_2 [/mm] + [mm] 0*b_3 [/mm] usw.
Also muß [mm] M*\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] sein, wobei links die Matrizenmultiplikation gemeint ist. Aber [mm] M*\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] gibt mir als Ergebnis gerade die 1. Spalte der Matrix M. Entsprechend für den 2. Basisvektor. Und beim 3. soll das Ergebnis das Negative sein. Damit kann ich die zu F gehörige Matrix für diese Basis hinschreiben.
Bei einer anderen Basis und derselben Abb. F sieht sie anders aus.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:12 Do 14.08.2008 | | Autor: | mueller |
Hallo.
woher wissen wir denn, dass [mm] b_{1}= 1*b_{1}+0*b_{2}*0*b_{3}, [/mm] dann bräuchten wir doch einen Vektor mit: a= [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] bzw.: dass [mm] F(b_{3})=-b_{3}?
[/mm]
Danke im Voraus
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> woher wissen wir denn, dass [mm]b_{1}= 1*b_{1}+0*b_{2}*0*b_{3},[/mm]
Hallo,
na, daß 5=1*5 + 0*4711 + 0* 0815 ist, weißt Du doch auch!
> dann bräuchten wir doch einen Vektor mit: a= [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> bzw.: dass [mm]F(b_{3})=-b_{3}?[/mm]
Nocheinmal die Bestandteile der Aufgabe:
Wir haben die Basis $ [mm] \mathcal{B}=\left\{b_1:=\vektor{1 \\ 1 \\1}, b_2:=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, b_3:=\vektor{1 \\ -1 \\ 0}\right\} [/mm] $ des [mm] \IR³,
[/mm]
und wir betrachten die Spiegelung f an der durch [mm] b_{1}=\vektor{1 \\ 1 \\1} [/mm] $ und $ [mm] b_{2}=\vektor{1 \\ 1 \\0} [/mm] aufgespannten Ebene.
Ziel der Bemühungen ist es, die darstellende Matrix von f bzgl der Basis B zu finden.
Ich habe nun den ganz entsetzlichen Verdacht, daß Du Dir überhaupt nicht klargemacht hast, was diese Spiegelung tut.
Was tut sie? Sie bildet Vektoren, die in dieser Ebene liegen, auf sich selbst ab, solche, die senkrecht zur Ebene sind "klappt sie um". (Was die Spiegelung mit anderen Vektoren tut, bekommt man heraus, wenn man si in einen Anteil parallel zur Ebene und einen dazu senkrechten zerlegt.)
Diesen Sachverhalt solltest Du Dir erstmal auf einem Blatt Papier anhand einer Geradenspiegelung klarmachen.
So, weiter geht's.
Ich hoffe stark, daß Du weißt, daß lineare Abbildungen durch die Angabe ihrer Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt ist. Kennen wir also die Bilder der [mm] b_i, [/mm] so wissen wir alles.
Mit einem kurzen Blick erkennt man, daß [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] in der Ebene liegen.
Was ist also [mm] f(b_1) [/mm] und [mm] f(b_2) [/mm] ?
Mit einem etwas genaueren Blick erkennst Du, daß [mm] b_3 [/mm] senkrecht zu dieser Ebene ist. Was ist also [mm] f(b_3)?
[/mm]
Du sollst ja nun die Matrix der Abbildung f bzgl. der Basis B aufstellen.
Wie geht das? In den Spalten der Matrix stehen die Bilder das Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl. B.
Was sind Koordinaten bzgl. B? Wenn Du z.B. einen Vektor [mm] v=1*b_1+2*b_2+3*b_3 [/mm] hast, dann ist sein Koordinatenvektor bzgl. B der Vektor [mm] \vektor{1\\2\\3}. [/mm] Zur Vermeidung unnötiger Verwirrung schreibe ich gerne [mm] \vektor{1\\2\\3}_{(B)}, [/mm] und ich kann dies allerwärmstens empfehlen.
Ich hoffe sehr, daß Du die Bilder der Basisvektoren inzwischen auf Deinem Zettel stehen hast, und Du solltest nun auch in der Lage sein, sie als Koordinatenvektoren bzgl. B aufzuschreiben.
Nun bleibt nur noch eines zu tun: stell sie nebeneinander in eine Matrix.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Do 14.08.2008 | | Autor: | mueller |
Hallo,
ich stelle mir unter der Spiegelung vor, dass ich eine Gerade im I Quadranten habe und wenn ich sie an der y Achse spiegele ist meine Gerade im II Quadranten.
Dieter hatte es ja schon geschrieben, ich hatte es nur noch nicht so richtig verstanden. :-( Aber jetzt hoffentlich 
[mm] M_{\mathcal{B}}(f)=\pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1}
[/mm]
[mm] f(b)=M*b=\vektor{b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3}}=\pmat{ 1*b_{1} & +0 *b_{2} & +0*b_{3} \\ 0* b_{1} & +1 *b_{2} & +0*b_{3} \\ 0*b_{1} & +0 *b_{2} & -1*b_{3} }=\vektor{b_{1} \\ b_{2} \\ -b_{3}}
[/mm]
richtig?
Noch ein kleiner Nachtrag, im Skript habe ich für eine Drehung im [mm] \IR^{2} [/mm] folgende Darstellungsmatrix gefunden: [mm] M_{\mathcal{b}}=\pmat{ cos(\gamma) & sin(\gamma) \\ -sin(\gamma) & cos(\gamma) } [/mm] Wie wäre es im [mm] \IR^{3}
[/mm]
Hab's im Buch gefunden ist folgene Matrix richtig?: [mm] M_{\mathcal{b}}=\pmat{ cos(\gamma) & sin(\gamma) & o \\ -sin(\gamma) & cos(\gamma) & 0\\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Danke und Viele Grüße
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> Hallo,
> ich stelle mir unter der Spiegelung vor, dass ich eine
> Gerade im I Quadranten habe und wenn ich sie an der y Achse
> spiegele ist meine Gerade im II Quadranten.
Hallo,
das, was Du beschreibst, wäre eine Spiegelung an der y-Achse, und es ist fürs Verständnis der Aufgabe eigentlich nicht so wichtig, was mit geraden passiert, weil die Objekte, auf die die Spiegelung als Abbildung vonm [mm] \IR³ \to \IR³ [/mm] wirkt, Vektoren sind. (Diese kannst Du natürlich als ortsvektoren von Punkten darstellen.)
> noch nicht so richtig verstanden. :-( Aber jetzt
> hoffentlich
> [mm]M_{\mathcal{B}}(f)=\pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1}[/mm]
>
> [mm]f(b)=M*b=M*\vektor{b_1\b_2\b_3}=\pmat{ 1*b_{1} & +0 *b_{2} & +0*b_{3} \\ 0* b_{1} & +1 *b_{2} & +0*b_{3} \\ 0*b_{1} & +0 *b_{2} & -1*b_{3} }=\vektor{b_{1} \\ b_{2} \\ -b_{3}}[/mm]
>
> richtig?
Kommt drauf an...
Wenn Du mit b meinst [mm] b=\vektor{b_1\\b_2\\b_3}_{(B)}=b_1*\vektor{1 \\ 1 \\1}+b_2* \vektor{1 \\ 1 \\ 0}+b_3 \vektor{1 \\ -1 \\ 0}, [/mm] dann ist es richtig.
Wenn Du mit den [mm] b_i [/mm] allerdings die [mm] b_i [/mm] aus den vorhergehenden Posts meinst, ist es Unfug - aber das wollen wir ja nicht hoffen!
>
> Noch ein kleiner Nachtrag, im Skript habe ich für eine
> Drehung im [mm]\IR^{2}[/mm]
um den Koordinatenursprung
> folgende Darstellungsmatrix gefunden:
> [mm]M_{\mathcal{b}}=\pmat{ cos(\gamma) & sin(\gamma) \\ -sin(\gamma) & cos(\gamma) }[/mm]
> Wie wäre es im [mm]\IR^{3}[/mm]
Wie die Drehmatrizen für Drehungen um die Koordinatenachsen im [mm] \IR³ [/mm] aussehen, siehst Du ![[]](/images/popup.gif) hier.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:45 Mi 20.08.2008 | | Autor: | mueller |
Hallo,
ich hätte doch noch mal eine Frage, was meinst Du mit b{i 2,3}? Soll es bedeutet, dass es der Koeffizient in der 2 Zeile und der 3 Spalte ist? (Würde dann für mich leider kein Sinn manchen)
Danke und Grüße
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> Hallo,
> ich hätte doch noch mal eine Frage, was meinst Du mit b{i
> 2,3}? Soll es bedeutet, dass es der Koeffizient in der 2
> Zeile und der 3 Spalte ist? (Würde dann für mich leider
> kein Sinn manchen)
Hallo,
das war ein simpler Druckfehler, ich habe ihn soeben korrigiert.
Gruß v. Angela
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