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Liebe User,
dieses Thema wurde mir einwenig schlecht erklärt, weswegen ich ein wenig aufklärung bräuchte :
Es geht garnicht primär um die obige aufgabe, sondern eher viel mehr um ein allgemeines Problem :
Wozu ein Basenwechsel ?
Eine Basis ist doch nichts als ein linear unabh. Erzeugendensystem. Man kann mit einer Basis ein "Koordinatensystem" definieren und in dem Raum jeden Punkt erreichen.
Im Buch steht, dass ich dann im Endeffekt einen Koordinatenvektor erhalten müsse, und dieser sich von Basis zu Basis unterscheidet.
Und ab da hab ich abgeschaltet. Ich dachte, in [mm] R^3 [/mm] wäre es doch egal, ob man eine Standartbasis oder eine andere Basis hätte. Und was überhaupt soll ein Koordinatenvektor sein ?
Der ist doch nur ein einziger Vektor wozu also ?
Kann mir dass bitte jemand sagen ? Aber nicht die Lösung der obigen Aufgabe - die will ich selber machen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:03 Fr 05.12.2008 | | Autor: | KGB-Spion |
Kann es vielleicht sein, dass man meint, man hätte einen 3 dimensionalen Raum und wolle die Vektoren an einen 2 Dimensionalen Raum abbilden ?
Dass würde dann vielleicht einen Sinn ergeben - umgekehrt jedoch wieder nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:52 Fr 05.12.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Denis,
von einem Koordinatenvektor spricht man normalerweise in einem K-Vektorräumen V als Darstellung der Vektoren u durch die Linaerfaktoren der Basisdarstellung, also sei { [mm] v_{1}, v_{2}, [/mm] ..., [mm] v_{n} [/mm] } Basis von V. Dann läßt sich u eindeutig als u = [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_{i} v_{i} [/mm] schreiben. Der zu u gehörige Koordinatenvektor ist dann
[mm] u_{v} [/mm] = [mm] \vektor{\lambda_{1},\\ \lambda_{2},\\ ... \\ \lambda_{n}}
[/mm]
Der Index v bei [mm] u_{v} [/mm] soll andeuten, dass diese Darstellung von der gewählten Basis v von V abhängt.
Beispiel:
Sei [mm] \IC [/mm] der [mm] \IR [/mm] - Vektorraum der komplexen Zahlen. Eine typische Basis davon ist {1, i}. Die komplexe Zahl 3 + 4i hat dann den Koordinatenvektor
[mm] \vektor{3 \\ 4}.
[/mm]
Nimmt man als Basis in [mm] \IC [/mm] hingegen beispielsweise {-1, 2i}, so ist der Koordinatenvektor von 3 + 4i ein anderer, nämlich [mm] \vektor{-3 \\ 2}, [/mm] denn
3 + 4i = (-3) [mm] \cdot [/mm] (-1) + 2 [mm] \cdot [/mm] (2i).
Die Basisvektoren {1 , i} haben natürlich auch eine Koordinatendarstellung bzgl. der durch sie gebildeten Basis, nämlich
1 = [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und i = [mm] \vektor{0 \\ 1}.
[/mm]
Ich habe mit Absicht ein Beispiel gewählt, wo die Vektoren des Vektorraumes normalerweise eine Darstellung nicht in der (Koordinaten-)Vektorschreibweise [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] haben um klar zu machen, dass es auch noch etwas anderes gibt.
Gruß
Uli
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Also DANKE erstmal für Deine schnelle Antwort.
Also diese Gleichung mit der Summe erklärt ja lediglich, dass man jeden Vektor im Raum als eine Linearkombination der Basis darstellen kann.
Nun ist es ja so, dass die Lambdas ja nur die "vorfaktoren" zu den dazugehörigen Vektoren sind.
Warum erstellt man also nun einen Vektor, der (ähnlich wie beim Kern) aus diesen Lambdas besteht ?
Wozu das ganze ?
Ach, ich komm bei der Aufgabe ehrlich nicht weiter. Kann mir jemand Tipps geben ?
Beste Grüße,
Denis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:41 Sa 06.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wozu? Nichts anderes als ne abgkürzte Schreibweise für das ausführliche:
[mm] vec{v}=\summe_{i=1}^{n}\lambda_i*vec{e_i}
[/mm]
und mehr ist es auch nicht. auch das Zeichen [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] ist ja ne abkürzung. wenn man sie verstanden hat kann man damit umgehen.
Mehr ist das nicht. Vereinbarungen über Schreibweisen gibts doch in der mathematik ne Menge. Es bleibt dir überlassen immer die Summenschreibweise zu verwenden, allerdings musst du die "Koordinatenvektoren", die andere schreiben verstehen.
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:04 Sa 06.12.2008 | | Autor: | KGB-Spion |
Okay - ich gebe auf.
Wenn mir jemand vielleicht eine "idiotensichere" Anleitung posten könte oder so . . . gerade dieses Thema ist sowas von schlecht erklärt ts ts ts...
Ich habe überall geforscht aber es ist sooo schlimm. . . ich werde überflutet von Definitionen und Indexen . . .
Das könnte man doch soo einfach machen. Kann mir jemand das erklären ?
MFG,
Denis
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> Wenn mir jemand vielleicht eine "idiotensichere" Anleitung
> posten könte oder so . . .
Hallo,
vielleicht postest Du mal Deine Aufgabe so, daß man sie sieht und am besten auch mit der copy-Taste kreativ verarbeiten kann.
Wenn ich auf Deinen Link klicke, sehe ich die Aufgabe nicht, und dazu, mir irgendwas auf meinen Rechner zu holen, habe ich keine Lust.
Prinzipiell wäre ich also schon bereit, Dir die Sache zu erklären - aber dann anhand Deiner konkreten Aufgabenstellung. (Sonstige Beispiele zu Basiswechsel solltest Du im Forum in größerer Menge finden, wenn Du ein wenig suchst.)
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | Es sei [mm] v_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] , [mm] v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] ,
[mm] v_{3} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1} [/mm] , [mm] v_{4} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass B = [mm] {v_{1} , v_{2} , v _{3} , v_{4}} [/mm] eine Basis ist ==> EASY
b) Bestimmen Sie [mm] (M_{E})^B [/mm] (Id) , die Basiswechselmatrix von B nach E, wobei E die Standartbasis ist.
c) Bestimmen Sie [mm] (M_{B})^E(Id) [/mm] |
Oh - Okay - sorry.
Also hier ist noch mal die Frage.
Ich habe in unserem Vorhilfe Forum was gefunden aber es ist so schwer verständlich, dass ich echt am Verzweifeln bin.
Bitte noch einmal um Hilfe 
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> Es sei [mm]v_{1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm] , [mm]v_{2}[/mm] =
> [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 }[/mm] ,
> [mm]v_{3}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1}[/mm] , [mm]v_{4}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass B = [mm]{v_{1} , v_{2} , v _{3} , v_{4}}[/mm]
> eine Basis ist ==> EASY
>
> b) Bestimmen Sie [mm](M_{E})^B[/mm] (Id) , die Basiswechselmatrix
> von B nach E, wobei E die Standartbasis ist.
>
> c) Bestimmen Sie [mm](M_{B})^E(Id)[/mm]
Hallo,
aha, jetzt sieht man, worum es geht.
Gegeben ist hier eine Basis [mm] B=(v_1, [/mm] ..., [mm] v_4).
[/mm]
Schauen wir uns mal einen Vektor v an, dessen Koordinatenvektor bzgl. der Basis B [mm] \vektor{1\\2\\3\\4}_{(B) } [/mm] ist:
[mm] \vektor{1\\2\\3\\4}_{(B)}=1*v_1+2*v_2+3*v_3+4*v_4=1*\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}_{(E)}+2*\vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 }_{(E)}+3*\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1}_{(E)}+4*\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}_{(E)}=\vektor{6 \\ 1 \\ 5 \\ 7}_{(E)}.
[/mm]
Der Koordinatenvektor von v bzgl. der Standardbasis E ist also [mm] \vektor{6 \\ 1 \\ 5 \\ 7}_{(E)}.
[/mm]
In Aufgabe b) wird nun die Matrix gesucht, die die Umrechnung von Koordinaten bzgl B in solche bzgl E vollbringt.
Man steckt einen Vektor in Koordinaten bzgl B hinein und raus kommt derselbe Vektor (deshalb das (Id) bei der Matrix) in Koordinanten bzgl. E.
Da Du Dich auf eine Klausur vorbereitest, wirst Du an einem Kochrezept interessiert sein:
Du erhältst die Matrix [mm] (M_{E})^B(Id), [/mm] indem Du einfach die Vektoren [mm] v_1, ...,v_4 [/mm] in Koordinaten bzgl. E (also so, wie sie angegeben sind), in eine Matrix stellst.
Wenn du alles richtig machst, sollte dann [mm] (M_{E})^B(Id)*\vektor{1\\2\\3\\4} [/mm] das Ergebnis [mm] \vektor{6 \\ 1 \\ 5 \\ 7} [/mm] liefern,
und natürlich [mm] (M_{E})^B(Id)*\vektor{1\\0\\0\\0} [/mm] den ersten basisvektor [mm] v_1 [/mm] in Koordinaten bzgl E, also [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}.
[/mm]
In Aufgabe c) wird dann die Matrix gesucht, welche genau das Umgekehrte macht: man fürttert sie mit Vektoren in Koordinaten bzgl E, und sie liefert dieselben Vektoren, jedoch in Koordinaten bzgl B.
Diese Matrix bekommst Du, wenn Du die Matrix, die Du zuvor gefunden hast, invertierst.
In dieser Aufgabe kommt das nicht vor, aber diese Transformationsmatrizen benötigst Du auch, wenn Du die darstellende Matrix lin. Abbildung bzgl. einer Basis gegeben hast, und dann die darstellende Matrix bzgl einer anderen Basis angeben sollst. Hier werden dann an die darstellende Matrix die geeigneten Transformationsmatrizen vorne und hinten heranmultipliziert.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:59 Sa 06.12.2008 | | Autor: | KGB-Spion |
DANKE DANKE DANKE DANKE ,
ich wünschte unsere Tutoren wären so wie Du. PS : Ich wette Du bist Tutor gell ?
VIELEN DANK. Überhaupt - es wäre so nett, wenn es wahr wäre.
Leute wie Du haben`s echt voll drauf - nicht nur weil sie es wissen, sondern weil sie helfen. Ich helf auch wo ich kann (gebe den erstis freiwillig "Nachhilfe in Etechnik I und II an der Uni). Aber wenn man nicht nur mathe sondern auch Informatik, Physik, BWL und das eigentliche Spezialgebiet : E-Technik alles auf einmal hat . . . naja - da kommt`s halt mal vor, dass man was nicht kann.
Deswegen - VIELEN DANK und BESTE GRÜßE,
Denis
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Oh - da habe ich noch eine kleine Frage : Warum muss ich bei c) eine inverse Matrix bilden ?
Besser gesagt - was bedeutet diese ?
Was wir voher gemacht haben : Wir haben jeden Basisvektor als eine Linearkombination der Standardbasis angegeben und in eine Matrix zusammengefasst.
Umgekehrt geht es aber nicht. Sprich : Von einer Standardbasis E in B müsste ich also eine inverse Matrix der Teilaufgabe b) bilden. Komisch - wieso denn dass ?
Andere Formulierung : Wenn ich aus ner B nach E sowas bilden kann,
wieso kann ich nicht einfach von E nach B abbilden ? Wieso kommt mathematisch das selbe raus ?
Und wenn ich z.B. 2 unterschiedliche Basen habe, (ohne Standardbasis) - müsste ich dann bei der Aufgabe c) dann die erste Basis aus Teilaufgabe a) erst invertieren und dann als Linearkombi der 2ten Matrix darstellen oder eher das gerechnete aus Teilaufgabe b) einfach invertieren ? Ist es mathematisch das selbe ?
Bitte hilf mir noch einmal
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> Oh - da habe ich noch eine kleine Frage : Warum muss ich
> bei c) eine inverse Matrix bilden ?
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> Besser gesagt - was bedeutet diese ?
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> Was wir voher gemacht haben : Wir haben jeden Basisvektor
> als eine Linearkombination der Standardbasis angegeben und
> in eine Matrix zusammengefasst.
>
> Umgekehrt geht es aber nicht. Sprich : Von einer
> Standardbasis E in B müsste ich also eine inverse Matrix
> der Teilaufgabe b) bilden. Komisch - wieso denn dass ?
Hallo,
so ganz verstehe ich Dein Problem nicht.
Wir hatten die Matrix $ [mm] (M_{E})^B(Id) [/mm] $ aufgestellt, welche für uns Koordinaten bzgl. B in solche bzgl E umwandelt.
Aus Gründen, die im Post erläutert wurden, benötigt man nun die matrix, die genau das Umgekehrte tu, nämlich Standardkoordinaten in Koordinaten bzgl B umwandeln.
Man kann diese Matrix finden, indem man sich für jeden Einheitsvektor überlegt, wie man ihn als Linearkombination der Elemente von B darstellt.
Möchte man die Sache beschleunigen, so invertiert man einfach [mm] (M_{E})^B(Id), [/mm] denn offensichtlich suchen wir doch gerade die Umkehrung der Abbildung, die durch [mm] (M_{E})^B(Id) [/mm] repräsentiert wird.
> Andere Formulierung : Wenn ich aus ner B nach E sowas
> bilden kann,
>
> wieso kann ich nicht einfach von E nach B abbilden ? Wieso
> kommt mathematisch das selbe raus ?
???
Du kannst zwischen beiden basen munter wechseln, die Transformationsmatrizen sind nicht gleich und ihr Produkt ist die Einheitsmatrix, weil: wenn ich von B nach E wechsele und zurück, dann ist das =nix passiert.
>
> Und wenn ich z.B. 2 unterschiedliche Basen habe, (ohne
> Standardbasis) - müsste ich dann bei der Aufgabe c) dann
> die erste Basis aus Teilaufgabe a) erst invertieren und
> dann als Linearkombi der 2ten Matrix darstellen oder eher
> das gerechnete aus Teilaufgabe b) einfach invertieren ? Ist Dies hier lag im Schulforum
> es mathematisch das selbe ?
Bitte hierfür ein Beipiel. Die gefahr von Mißverständnissen ist sonst zu groß.
Also: mach ein Beispiel und rechne un erkläre das so, wie Du es verstanden hast, dann kann man gucken, ob's richtig ist.
Gruß v. Angela
P.S.: achte darauf, im richtigen Forum zu posten. Dies hier lag im Schulforum bei den ladenhütern.
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