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Hi, ich habe so meine Probleme mit dem Basiswechsel.
Kann ein Basiswechsel eigentlich automatisch "passieren"?
Also angenommen ich habe einen Endomorphismus: f:V->V
Kann der so geartet sein, dass mein Zielraum am Ende eine andere Basis hat?
Ich verstehe das bisher so, dass ich die Basen stillschweigend wähle, während ich eine Abbildung definiere. Sprich, wenn ich nichts sage, gilt in Definitions- und Zielraum jeweils die Standardbasis. Wenn ich aber bei der Def. der Abb. sage, der Zielraum V soll die Basis B haben, die von der kanonischen verschieden ist, dass bedingt das den Basiswechsel.
Wie ist es.
Danke im Voraus... M
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moin tk,
eine Abbildung (und dazu gehören auch die Endomorphismen) ordnet jedem Element aus dem Definitionsbereich genau ein Element aus dem Zielbereich zu, also ist $f: V [mm] \to [/mm] V$ so haben wir für alle $x [mm] \in [/mm] V$ genau ein $f(x) [mm] \in [/mm] V$.
Dies hat zuerst mal überhaupt nichts mit irgendwelchen Basen zu tun.
Nun haben lineare Abbildung die Besonderheit, dass eine lineare Abbildung $f$ wie oben bereits eindeutig durch die Bilder einer Basis von $V$ bestimmt ist.
Ist also $B = [mm] (b_1,b_2,\ldots)$ [/mm] eine Basis von $V$, so müssen wir nur [mm] $f(b_1),f(b_2),\ldots$ [/mm] angeben und aus der Linearität können wir daraus bereits $f(x)$ für alle $x [mm] \in [/mm] V$ folgern.
Ist nun $V$ endlichdimensional, so kann man noch einen Schritt weiter gehen und die für $f$ relevanten Informationen in eine Matrix schreiben.
(Manchmal wird das auch ohne Matrizen gemacht, da es mit Abbildungsmatrizen allerdings häufiger vorkommt erzähle ich es dir für diese. Sollten dir Abbildungsmatrizen nichts sagen dann sag nochmal Bescheid und erzähle auf jeden Fall auch, was genau ihr als Basiswechsel definiert habt.)
Erst an dieser Stelle kommen wirklich Basen ins Spiel, denn hier verwendet man Koordinatendarstellungen.
An einem kleinen Beispiel:
Nehmen wir $V = [mm] \IR^2$ [/mm] und $f: V [mm] \to [/mm] V, (x,y) [mm] \mapsto [/mm] (x+y,x-y)$.
Dies ist ein Endomorphismus und wie du siehst habe ich hier nirgends irgendwelche Basen verwendet, ich habe wirklich für alle Vektoren $(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] genau gesagt, wohin sie abgebildet werden.
Nun können wir uns aber mal ein paar Basen nehmen, nämlich zum Beispiel $S = ( (0,1),(1,1))$ und $T = ( (2,0),(1,-1))$.
Wollen wir nun die Abbildungsmatrix bezüglich dieser Basis aufstellen, so müssen wir als erstes $f( (0,1)) = (1,-1)$ und $f( (1,1) ) = (2,0)$ ausrechnen. Diese müssen jetzt als Koordinatenvektoren in der Basis $T$ geschrieben werden, also wir brauchen die Vorfaktoren der folgenden Gleichungen:
$(1,-1) = 0*(2,0) + 1*(1,-1)$
$(2,0) = 1*(2,0) + 0*(1,-1)$
Die sind hier recht einfach abzulesen, im Allgemeinen muss man ein Gleichungssystem aufstellen um sie zu berechnen.
Nun können wir aber die Abbildungsmatrix aufstellen:
$A = [mm] \pmat{0 & 1 \\ 1 & 0}$
[/mm]
Dies ist jetzt die Abbildungsmatrix von $f$, wobei im Definitionsbereich die Basis $S$ und im Zielbereich die Basis $T$ betrachtet wurde.
An dieser Stelle kannst du jetzt mit einem Basiswechsel anfangen.
Dieser ändert aber überhaupt nichts an der Abbildung, die Abbildungsvorschrift wird immer $f( (x,y) ) = (x+y,x-y)$ bleiben.
Einzig die Abbildungsmatrix ändert sich, wenn du sie bezüglich anderer Basen betrachtest.
Von daher kann ein Basiswechsel bei einer Abbildung also auch nicht "aus Versehen" passieren.
Was du meinst sind wahrscheinlich Abbildungen, die in folgender Form definiert sind:
$f : [mm] \IR^n \to \IR^m, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] Ax$, wobei $A [mm] \in \IR^{n \times m}$ [/mm] eine Matrix ist.
Hier ist das $A$ (zuerst mal) keine Abbildungsmatrix von $f$ wie wir sie oben aufgestellt haben! Das $A$ ist erstmal einfach nur eine Hilfe bei der Definition von $f$, auch hier haben wir noch keine Basis betrachtet.
Allerdings hast du Recht: Nimmt man sich sowohl im Definitions- als auch im Zielbereich die Standardbasis, so kann man zeigen (und ja, das müsste eigentlich irgendwann bewiesen werden, das kann man nicht sofort annehmen!), dass die Abbildungsmatrix bezüglich dieser beiden Basen genau das $A$ aus der Definition ergibt.
Du musst hier aufpassen, dass du nicht eine Matrix, die beim Definieren der Abbildung verwendet wurde, mit einer Abbildungsmatrix bezüglich gewisser Basen durcheinander bringst.
Wie gesagt stimmen sie in manchen Fällen überein - aber das solltest du eher als glücklichen Zufall sehen und dich nicht dadurch verwirren lassen.
Also um das nochmal festzuhalten: Ein Basiswechsel passiert nie ganz aus Versehen oder von alleine. Möchtest du eine Abbildungsmatrix bezüglich geeigneter Basen (so wie oben $S$ und $T$), so ist der Basiswechsel eine Möglichkeit sie zu berechnen. Du musst ihn aber immer aktiv durchführen, von alleine passiert er nicht.
Und nochmal: Unterscheide ganz klar zwischen einer Abbildungsmatrix bezüglich gewisser Basen und einer Matrix, die eine Abbildung definiert - das ist zuerst einmal nicht das gleiche!
lg
Schadow
PS: Da - wie wir oben gesehen haben - jede lineare Abbildung durch eine Abbildungsmatrix eindeutig bestimmt ist, sagt man auch manchmal "sei $f$ die lineare Abbildung mit dieser Abbildungmatrix bezüglich diesen Basen:".
Aber in so einem Fall wird ganz deutlich dabei stehen, dass es sich um eine Abbildungsmatrix handelt - schon allein daran erkennbar, dass zwei Basen angegeben sein müssen.
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Vielen Dank für diese tolle Antwort.
Noch ein paar Nachfragen hab ich:
1. Wenn ich deine Abbildung nehme, dann sind die Bilder der Basisvektoren ja (1,1) und (1,-1) wenn ich von der Standardbasis im Definitionsbereich und Zielbereich ausgehe.
D.h. die Abbildungsmatrix ist M = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 } [/mm] und diese Spaltenvektoren spannen ja auch das gesamte Bild auf. Sind Basis des Bildes und = dem gesamten Zielraum.
Laut Thm. der Vorlesung ist eine Matrix (nxn) genau dann die Matrix eines Basiswechsels in einem n-dimensionalen K-VR, wenn die Matrix regulär ist.
M ist quadratisch und regulär, also die Matrix eines Basiswechsels.
Was heißt das? Die Basis wird hier ja nicht gewechselt. Der Vektor (2,2), der bzgl. der hier betrachteten Standardbasis natürlich die Koordinaten (2,2) hat wird auf (4,0) abgebildet, was wiederum die Koordinaten des Vektors (4,0) sind (wieder wegen der Standardbasis).
Erst wenn ich eine andere Basis z.B. im Zielbereich betrachte, dann müsste ich den Koordinatenvektor (4,0) nochmal in Koordinaten bzgl. der neuen Basis transformieren.
2. "Drückt" man also nie den wirklichen Vektor durch die Darstellungsmatrix, sondern immer nur den Koordinatenvektor des Vektors selbst?
Danke nochmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:04 Di 21.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur mal ganz grob:
Erstmal ist eine Matrix eigentlich nur ein "Zahlenschema". Wenn Du [mm] $K\,$- [/mm] Vektorräume
[mm] $V,W\,$ [/mm] hast, und da keine Basen fixiert hast (eventuell noch nicht mal welche
kennst), macht es keinen Sinn, irgendwie Matrizen mit linearen Abbildungen
zu identifizieren.
Sind nun etwa [mm] $V,W\,$ [/mm] endlichdimensional, [mm] $\dim(V)=n\,$ [/mm] und [mm] $\dim(W)=m\,,$ [/mm] so kannst Du,
NACHDEM Du eine Basis in [mm] $V\,$ [/mm] fixiert hast und auch eine in [mm] $W\,$ [/mm] fixiert hast,
einen Vektor $v [mm] \in [/mm] V$ in eineindeutiger Weise mit einem Koordinatenvektor des [mm] $K^n$
[/mm]
und einen Vektor $w [mm] \in [/mm] W$ in eineindeutiger Weise mit einem Vektor des [mm] $K^m$
[/mm]
identifizieren - zudem ist [mm] $V\,$ [/mm] isomorph [mm] $K^n$ [/mm] und [mm] $W\,$ [/mm] isomorph [mm] $K^m\,.$
[/mm]
Dann beschreibst Du eine lineare Abbildung $f [mm] \colon [/mm] V [mm] \to [/mm] W$ mit einer
passenden Matrix [mm] $M=M_{B_V,B_W} \in K^{m \times n}\,.$ [/mm]
Wie die Matrix [mm] $M\,$ [/mm] aussieht, hängt natürlich davon ab, wie die Basis [mm] $B_V$ [/mm] von [mm] $V\,$ [/mm]
und wie die Basis [mm] $B_W$ [/mm] von [mm] $W\,$ [/mm] gewählt wurden: Kein Wunder, schließlich haben wir
ja andere Koordinatenvektoren für das selbe Element, wenn wir eine
Basis ändern!
> Laut Thm. der Vorlesung ist eine Matrix (nxn) genau dann
> die Matrix eines Basiswechsels in einem n-dimensionalen
> K-VR, wenn die Matrix regulär ist.
>
> M ist quadratisch und regulär, also die Matrix eines
> Basiswechsels.
Na, betrachte mal die Identität [mm] $\text{id}_V \colon \red{\;V\;} \to \blue{\;V\;}$ [/mm] mit [mm] $\text{id}_V(v)=v$ [/mm] für alle $v [mm] \in V\,,$
[/mm]
wobei die Basis des roten [mm] $V\,$ [/mm] eine andere sei wie die des blauen [mm] $V\,.$
[/mm]
Haben sie die gleiche Basis, so ist die zugehörige Matrix aus [mm] $K^{n \times n}$ [/mm] einfach
die Einheitsmatrix - und zwar unabhängig davon, welche Basis für [mm] $V\,$ [/mm] gewählt
wurde. Sind die Basen verschieden, so hast Du da halt eine Matrix stehen,
die quadratisch und regulär ist.
Ansonsten ist es mir gerade zu spät, um mich da vertieft einzudenken. Als
Literaturhinweis würde ich Dir empfehlen, mal in "Bosch, Lineare Algebra"
entsprechende Kapitel durchzugehen, der macht das ziemlich ausführlich.
Vielleicht hilft Dir aber auch
https://matheraum.de/read?i=966774
oder
![[]](/images/popup.gif) dieser Artikel
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Do 23.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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