Basiswechsel Lineare Abb. < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei V ein [mm] \IR [/mm] Vektorraum mit Basis [mm] B=(b_1,b_2,b_3).
[/mm]
Sei f eine lin. Abb f:V [mm] \to [/mm] V
mit Abbildungsmatrix
[mm] D_{BB}(f)= \pmat{ -1 & 2 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ -3 & 2 & 4 }
[/mm]
Sei [mm] C=(c_1, c_2, c_3) [/mm] eine weitere Basis von V
mit [mm] c_1 [/mm] = [mm] b_1 [/mm] + [mm] b_3
[/mm]
[mm] c_2 [/mm] = [mm] -b_2 [/mm] + [mm] b_3
[/mm]
[mm] c_3 [/mm] = [mm] b_1 [/mm] + [mm] b_2 [/mm] + [mm] b_3
[/mm]
Berechnen sie [mm] D_{CC}(f). [/mm] |
Hallo,
ich habe folgenden Ansatz:
Zuerst habe ich gezeigt, dass C tatsächlich eine Basis ist. (Ist es).
Dann habe ich geschaut, was f mit den Basisvektoren von B macht:
Sei [mm] b_i \in [/mm] B = [mm] \vektor{x \\ y \\ z}
[/mm]
[mm] f(b_1) [/mm] = -x + 2y +2z
[mm] f(b_2) [/mm] = -x + 3y + z
[mm] f(b_3) [/mm] = -3x + 2y + 4z
Dann habe ich geschaut, was f mit den Vektoren aus C macht:
[mm] f(c_1) [/mm] = [mm] f(b_1) [/mm] + [mm] f(b_3) [/mm] = -4x + 4y + 6z
[mm] f(c_2) [/mm] = [mm] f(-b_2) [/mm] + [mm] f(b_3) [/mm] = -x - y + 3z
[mm] f(c_3) [/mm] = [mm] f(b_1) +f(b_2) +f(b_3) [/mm] = -5x +7y +7z
Daraus ergibt sich eine Matrix:
[mm] \pmat{ -4 & 4 & 6 \\ -1 & -1 & 3 \\ -5 & 7 & 7}
[/mm]
Aber wenn ich richtig gedacht habe, ist das jetzt doch nicht [mm] D_{CC}(f), [/mm] sonder [mm] D_{CB}(f), [/mm] oder?
(Also f von B nach C).
Wie bekomme ich daraus [mm] D_{CC}(f)?
[/mm]
Oder wars das doch schon?
Schöne Grüße und danke!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 Di 21.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
stelle zuerst die Basiswechselmatrix S auf, die die Koordinaten [mm] x_C, y_C, z_C [/mm] eines Vektors [mm] \vec{x} [/mm] bezüglich der Basis C in die Koordinaten [mm] x_B, y_B, z_B [/mm] bzgl. der Basis B umrechnet gemäß [mm] S*\vektor{x_C \\ y_C \\ z_C} [/mm] = [mm] \vektor{x_B \\ y_B \\ z_B}. [/mm] Beispielsweise sollte [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] (das entspricht [mm] c_1) [/mm] in [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] umgerechnet werden.
Auf diese Koordinatendarstellung von [mm] \vec{x} [/mm] passt dann die gegebene Abbildungsmatrix [mm] D_{BB}(f) [/mm] gemäß [mm] D_{BB}(f)*\vec{x_B} [/mm] = [mm] \vec{y_B}.
[/mm]
Um die Koordinaten von [mm] \vec{y} [/mm] bezüglich der Basis C zu erhalten, muss mit der Matrix [mm] S^{-1} [/mm] zurücktransformiert werden : [mm] S^{-1}*\vec{y_B} [/mm] = [mm] \vec{y_C}.
[/mm]
Insgesamt also [mm] D_{CC}(f) [/mm] = [mm] S^{-1}*D_{BB}(f)*S.
[/mm]
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 Di 21.01.2014 | | Autor: | RunOrVeith |
Alles klar, vielen Dank, das habe ich gut hinbekommen.
Ich hatte die Matrix sogar schon darstehen, um lineare Unabhängigkeit zu zeigen, und dass das Diagramm kommutieren muss hab ich mir auch schon gedacht.
|
|
|
|
