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| Aufgabe | (Hauptaufgabe)
Für $n [mm] \geq [/mm] 0$, haben wir den UVR [mm]\mathbb{Q}[t]_n[/mm] des [mm] $\mathbb{Q}$-VR [/mm] der Polynome [mm]\mathbb{Q}[t][/mm],
[mm]\mathbb{Q}[t]_n := \{ p(t) \in \mathbb{Q}[t] : [/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Grad(p(t)) $\leq n \}$.
Wir betrachten den $\mathbb{Q}$-VR [mm]V := \mathbb{Q}[t]_3[/mm] mit der Basis $A = (1, t, [mm] t^2, t^3)$ [/mm] sowie den VR [mm]W := \mathbb{Q}[t]_2[/mm] mit der Basis
[mm]B = (1, t, t^2)[/mm]. Weiterhin betrachten wir die lineare Abildung $$D: V [mm] \rightarrow [/mm] W$$ $$D(p(t)) = p'(t) + 2p''(t).$$
(Aufgabe an der ich arbeite)
Sei $C$ die Basis $(1-t, [mm] t-t^2, t^2, t^3)$ [/mm] für $V$ und sei $D$ die Basis $(1+t, [mm] t+t^2, t^2)$ [/mm] für $W$. Finden Sie invertierbare Matrizen $S [mm] \in \mathbb{Q}^{3 \times 3}$ [/mm] und $T [mm] \in \mathbb{Q}^{4 \times 4}$, [/mm] sodass [mm] $M^C_D [/mm] (D) = S [mm] M^A_B [/mm] (D) T$. |
Hallo zusammen,
ich bearbeite gerade meine alte Klausur nach und komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Die Matrix [mm] $M^A_B [/mm] (D)$ habe ich bereits berechnet. Nun dachte ich mir, dass ich einfach [mm] $M^C_A [/mm] (D)$ sowie [mm] $M^B_D [/mm] (D)$ berechne und dann mit [mm] $M^C_D [/mm] (D) = [mm] M^B_D [/mm] (D) [mm] M^A_B [/mm] (D) [mm] M^C_A [/mm] (D)$ fertig bin.
Nun sind [mm] $M^C_A [/mm] (D)$ und [mm] $M^B_D [/mm] (D)$ leider nicht invertierbar.. und die Bearbeitung wurde als falsch angestrichen. (ohne weiteren Kommentar)
Habe ich mich verrechnet? (also ist zumindest die Vorgehensweise richtig?)
Oder geht man generell anders an solche Aufgaben heran?
Vielen Dank schonmal! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Sa 22.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
S und T sind Basiswechselmatrizen, also Darstellungen der Identischen Abbildung I von W bzw. V bezüglich verschiedener Basen, sie haben mit D gar nichts zu tun.
Dabei rechnet T die Koordinaten eines Polynoms p aus V bzgl. der Basis C in solche bzgl. der Basis A um. Damit kann dann $ [mm] M^A_B [/mm] (D) $ weiterarbeiten und liefert die Koordinaten von D(p) bzgl der Basis B. Diese werden schließlich von S in Koordinaten bzgl. der Basis D umgerechnet.
Es ist also $ T = [mm] M^C_A (I_4) [/mm] $ und $ S = [mm] M^B_D (I_3) [/mm] $
Gruß Sax.
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