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Forum "Analysis-Sonstiges" - Basiswechsel v. Exponentialfkt
Basiswechsel v. Exponentialfkt < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Basiswechsel v. Exponentialfkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:21 Mo 02.11.2020
Autor: hase-hh

Aufgabe
Schreibe folgende Exponentialfunktionen mithilfe der genannten Basis.

[mm] 2^x [/mm]    mit  Basis e

[mm] 3^x [/mm]   mit Basis  10.

Moin Moin,

gefunden habe ich:

[mm] a^x [/mm] = [mm] e^{ln(a)*x} [/mm]


[mm] 2^x [/mm] = [mm] e^{ln(2)*x} [/mm]



Aber was mache ich mit [mm] 3^x [/mm] ?




Danke & Gruß!


        
Bezug
Basiswechsel v. Exponentialfkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:13 Mo 02.11.2020
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Schau dir mal die Herleitung an:

[mm] $a^x= e^\log_e(a^x)$ [/mm]

Jetzt gilt ganz allgemein::  [mm] \log_b(a^x)=x*\log_b(a), [/mm] und daher

[mm] $a^x= e^\log_e(a^x)=e^{x*\log_e(a)}$ [/mm]

Bekommst du es damit hin?



Bezug
                
Bezug
Basiswechsel v. Exponentialfkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:14 Di 03.11.2020
Autor: hase-hh


> Hallo!
>  
> Schau dir mal die Herleitung an:
>  
> [mm]a^x= e^\log_e(a^x)[/mm]
>  
> Jetzt gilt ganz allgemein::  [mm]\log_b(a^x)=x*\log_b(a),[/mm] und
> daher
>  
> [mm]a^x= e^\log_e(a^x)=e^{x*\log_e(a)}[/mm]
>  
> Bekommst du es damit hin?
>  

Moin, also:

[mm] 3^x [/mm] = [mm] 10^{log_{10}(3^x)} [/mm] = [mm] 10^{x*log_{10}(3)} [/mm]  

Danke.


Bezug
        
Bezug
Basiswechsel v. Exponentialfkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:21 Mo 02.11.2020
Autor: HJKweseleit


> gefunden habe ich:
>  
> [mm]a^x[/mm] = [mm]e^{ln(a)*x}[/mm]
>  

Setze für a eine 3 ein.

Bezug
                
Bezug
Basiswechsel v. Exponentialfkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:17 Di 03.11.2020
Autor: fred97


> > gefunden habe ich:
>  >  
> > [mm]a^x[/mm] = [mm]e^{ln(a)*x}[/mm]
>  >  
> Setze für a eine 3 ein.


Verlangt war aber Basis 10.

Bezug
                        
Bezug
Basiswechsel v. Exponentialfkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:50 Di 03.11.2020
Autor: HJKweseleit


> > > gefunden habe ich:
>  >  >  
> > > [mm]a^x[/mm] = [mm]e^{ln(a)*x}[/mm]
>  >  >  
> > Setze für a eine 3 ein.
>
>
> Verlangt war aber Basis 10.

Sorry, hab ich übersehen.



Bevor du dir Formeln merkst und diese entweder bald vergisst oder durcheinander bringst, mach so:

[mm] 3^x=10^y, [/mm] y gesucht.

Jetzt mit ln:  x ln(3)=y ln(10) und somit
               y=x ln(3)/ln(10)

[mm] 3^x=10^{x ln(3)/ln(10)} [/mm]



Zusatz: Wir haben früher in der Handelsschule beim kaufmännischen Rechnen immer den Logarithmus zur Basis 10 benutzt, weil das mit Tabellen einfacher war. Dieser heißt lg und ist auf manchen Taschenrechnern noch vorhanden als log. Damit erhältst du:

[mm] lg(3^x)=x*lg(3) [/mm] und damit schon [mm] 3^x=10^{x*lg(3)} [/mm]

Bezug
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