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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:19 Di 30.03.2010 | | Autor: | ATDT |
| Aufgabe | Die lineare Abbildung [mm] \alpha [/mm] : [mm] \IZ^2_{3} \to \IZ^2_{3} [/mm] sei durch [mm] (x,y)^t \mapsto [/mm] (2x + y,x + [mm] 2y)^t [/mm] gegeben.
Weiter sei [mm] B=\{(2,1)^t,(1,1)^t\}. [/mm]
K bezeichne die kanonische Basis von [mm] \IZ^2_{3} [/mm] .
a) zeigen Sie, dass B eine Basis von [mm] \IZ^2_{3} [/mm] ist.
b) Bestimmen Sie die Basiswechselmatrizen [mm] S_{K,B} [/mm] und [mm] S_{B,K}.
[/mm]
c) Berechnen Sie die Darstellungsmatrix [mm] A^B_{\alpha}
[/mm]
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Ich brauche eigentlich nur eine Aufklärung für die Aufgabe b) und c)
Habe hier bereits die Lösung vorliegen, jedoch kann ich sie nicht nachvollziehen.
[mm] S_{K,B} [/mm] = [mm] (KK((2,1)^t), KK(1,1)^t)) [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 1 }.
[/mm]
[mm] S_{B,K} [/mm] = [mm] S^-1_{K,B} [/mm] = [mm] det(S_{K,B})^-1 [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 2 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 2 }.
[/mm]
Wie kommt man bei dieser Lösung auf [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 2 } [/mm] ?
Eine passende Formel zur Lösung habe ich bisher nicht gefunden.
zu c) [mm] \alpha(e1) [/mm] = [mm] (2,1)^t [/mm] und [mm] \alpha(e2) [/mm] = [mm] (1,2)^t [/mm] liefert [mm] A^K_{\alpha} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 }. [/mm]
[mm] A^B_{\alpha} [/mm] lässt sich berechnen durch [mm] A^B_{\alpha} [/mm] = [mm] S_{B,K} [/mm] * [mm] A_^K_{\alpha} [/mm] * [mm] S_{K,B} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 2 } [/mm] * [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 } [/mm] * [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
Aber wie kommt man hier auf [mm] A^K_{\alpha} [/mm] ?
Ich wäre sehr froh wenn mich hier jemand aufklären könnte.
Vielen Dank schonmal!
LG ATDT
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Die lineare Abbildung [mm]\alpha[/mm] : [mm]\IZ^2_{3} \to \IZ^2_{3}[/mm] sei
> durch [mm](x,y)^t \mapsto[/mm] (2x + y,x + [mm]2y)^t[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
gegeben.
> Weiter sei B={ [mm](2,1)^t,(1,1)^t[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}.
> K bezeichne die kanonische Basis von [mm]\IZ^2_{3}[/mm] .
>
> a) zeigen Sie, dass B eine Basis von [mm]\IZ^2_{3}[/mm] ist.
>
> b) Bestimmen Sie die Basiswechselmatrizen [mm]S_{K,B}[/mm] und
> [mm]S_{B,K}.[/mm]
>
> c) Berechnen Sie die Darstellungsmatrix [mm]A^B_{\alpha}[/mm]
>
> Ich brauche eigentlich nur eine Aufklärung für die
> Aufgabe b) und c)
> Habe hier bereits die Lösung vorliegen, jedoch kann ich
> sie nicht nachvollziehen.
>
> [mm]S_{K,B}[/mm] = [mm](KK((2,1)^t), KK(1,1)^t))[/mm] = [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 1 }.[/mm]
>
> [mm]S_{B,K}[/mm] = [mm]S^-1_{K,B}[/mm] = [mm]det(S_{K,B})^-1[/mm] * [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 2 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 2 }.[/mm]
>
> Wie kommt man bei dieser Lösung auf [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 2 }[/mm]
EDIT: diese Antwort stimmt nicht, denn sie berücksichtigt nicht, daß modulo 3 gerechnet werden muß.
Hallo,
überhaupt nicht.
Du suchst hier das Inverse zu [mm] _KS_B=\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 1 }, [/mm] und das ist [mm] _BS_K=\pmat{1&-1\\-1&2}.
[/mm]
Prüfe, ob sich damit Deine Fragen bereits geklärt haben.
Gruß v. Angela
> ?
>
> Eine passende Formel zur Lösung habe ich bisher nicht
> gefunden.
>
> zu c) [mm]\alpha(e1)[/mm] = [mm](2,1)^t[/mm] und [mm]\alpha(e2)[/mm] = [mm](1,2)^t[/mm] liefert
> [mm]A^K_{\alpha}[/mm] = [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 }.[/mm]
> [mm]A^B_{\alpha}[/mm] lässt sich berechnen durch [mm]A^B_{\alpha}[/mm] =
> [mm]S_{B,K}[/mm] * [mm]A_^K_{\alpha}[/mm] * [mm]S_{K,B}[/mm]
>
> Aber wie kommt man hier auf [mm]A^K_{\alpha}[/mm] ?
>
> Ich wäre sehr froh wenn mich hier jemand aufklären
> könnte.
> Vielen Dank schonmal!
>
> LG ATDT
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo,
wenn noch nicht alles klar ist, kannst Du gerne Rückfragen stellen - aber stell die Frage nicht kommentarlos um auf "unbeantwortet".
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:52 Di 30.03.2010 | | Autor: | ATDT |
wurde ja noch nicht auf die Frage eingegangen? oder hab ich was übersehen?
daher hab ich auf unbeantwortet gestellt.
"Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)"
ok das hab ich gesehen und hab auch versucht die Eingaben zu korrigieren.
Und nun?
lg
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> wurde ja noch nicht auf die Frage eingegangen? oder hab ich
> was übersehen?
> daher hab ich auf unbeantwortet gestellt.
>
> "Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)"
>
> ok das hab ich gesehen und hab auch versucht die Eingaben
> zu korrigieren.
> Und nun?
Hallihallo,
offenbar hast Du nicht weitergelesen, daß ich Dir gesagt habe, daß die Matrix für den Basiswechsel von K nach B völlig falsch ist.
Bewege das in Deinem Herzen, und falls damit noch nicht alles klar ist, frage, was es noch zu fragen gibt.
(Rückfragen bitte als Fragen (roter Kasten) stellen. Dann sieht sie jeder.)
Gruß v. Angela
>
> lg
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Di 30.03.2010 | | Autor: | ATDT |
oh,... die paar Zeilen hatte ich tatsächlich übersehen. Tut mir leid.
Du hast geschrieben das der Basiswechsel von K nach B völlig falsch ist?
Du meintest bestimmt den Basiswechsel von B nach K oder?
und ja genau das hab ich mir auch schon überlegt und auch schon berechnet. Aber ich war mir nicht sicher ob die Lösung einfach die Inverse von K,B ist?
Weil eben in der Lösung, die ich hier habe was anderes drin steht.
nämlich [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 2 }
[/mm]
und das ist sogar die korrigierte version. Es gab einen fehler aber der wurde schon verbessert.
Ich hoffe das ist wirklich die Lösung.
LG ATDT
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> oh,... die paar Zeilen hatte ich tatsächlich übersehen.
> Tut mir leid.
> Du hast geschrieben das der Basiswechsel von K nach B
> völlig falsch ist?
> Du meintest bestimmt den Basiswechsel von B nach K oder?
Hallo,
nein, ich meinte den von K nach B, in Deiner Schreibweise [mm] S_{BK}, [/mm] in meiner [mm] _BS_K. [/mm]
(Immer von rechts nach links lesen, denn die Vektoren werden ja auch rechts dranmultipliziert.)
Aber ich habe etwas völlig anderes übersehen: es geht ja um [mm] \IZ_{\red{3}}^2, [/mm] es muß also modulo 3 gerechnet werden...
Also von vorne:
die Matrix, die den Basiswechsel von B nach K erledigt, enthält in den Spalten die Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl K.
Damit ist zweifelsohne
[mm] S_{KB}=\pmat{2&1\\1&1}.
[/mm]
Die Matrix, die das Gegenteilige tut, also den Wechsel von K nach B vollzieht, ist die Inverse der Matrix [mm] S_{KB}.
[/mm]
Beim Invertieren mußt Du modulo 3 rechnen, und damit kommst Du in der Tat auf die in Deiner Musterlösung angegebene Matrix [mm] S_{BK}=\pmat{1&2\\2&2}.
[/mm]
(Ich hatte zuvor in [mm] \IR [/mm] gerechnet.)
Ist das Invertieren ein Problem für Dich? In Deiner Aufgabe wird das mit der ![[]](/images/popup.gif) cramerschen Regel gemacht, aber mit dem Gaußalgorithmus geht's natürlich ebenfalls.
So, ich hoffe, daß jetzt Dinge klar, sind, die vorher unklar waren.
Falls es noch Fragen gibt: fragen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Di 30.03.2010 | | Autor: | ATDT |
Du bist ein Supergenie!!!
Ach mensch da wär ich nie drauf gekommen! wegen [mm] \IZ^2_{3} [/mm] und Modulo-Rechnung!
Invertieren ist für mich kein Problem... ich mache das immer durch Erweitern mit der Einheitsmatrix auf der rechten Seite :) Klappt wunderbar!
Vielen DANK!
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