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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:51 So 06.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Wir betrachten die [mm] \IR-Vektorräume \IR^2 [/mm] und [mm] \IR^3 [/mm] und in diesen die Basen
[mm] B=((\vektor{0\\ 1}),(\vektor{1 \\ 0})) [/mm] bzw. [mm] D=((\vektor{0 \\ 1\\-1}),((\vektor{-1 \\ 0\\1}),(\vektor{1 \\ 1\\0}))
[/mm]
und die Standardbasen
[mm] E_2=((\vektor{1 \\ 0}),(\vektor{0 \\ 1}) [/mm] und [mm] E_3=((\vektor{1 \\ 0\\0}),((\vektor{0 \\ 1\\0}),(\vektor{0 \\ 0\\1}))
[/mm]
Eine lineara Abbildung [mm] \varphi \in Hom(\IR^3,\IR^2) [/mm] ist gegeben durch
[mm] [\varphi]^{D}_{B} [/mm]
[mm] =\pmat{ 1 & 2 &3\\ 3 & 4&5 }
[/mm]
a) bestimmen sie [ [mm] \varphi ]^{ E_3}_{ E_2}
[/mm]
b)Gegeben sei weiterhin ein Vektor [mm] v\in \IR^3 [/mm] durch [mm] [v]_{E_3}:=\vektor{6 \\ 7\\8}. [/mm] Bestimme [mm] [\varphi(v)]_B [/mm] |
Guten morgen,
leider komm ich mit dem Thema Basiswechsel noch überhaupt nicht zurecht. Ich habe hier einwenig gesucht, aber leider nichts gefunden, was mir wirklich geholfen hat.
Ich habe überhaupt keine Ahnung wie ich an diese Aufgabe rangehen soll und wollte fragen, ob jemand weiß, wo ich ein Beispiel finden kann, was mich auch weiterbringt.
zu a)
Ich kenn die Formel [mm] [\varphi]^{B}_{A}= [\varphi]^{C}_{A}* [\varphi]^{B}_{C}
[/mm]
aber die bringt mir hier nichts oder?
Hätte ich [mm] [\varphi]^{ E_2}_{ E_3} [/mm] müsste ich es nur noch inventieren, aber das habe ich auch nicht.
Leider weiß ich auch nicht mehr als das zu Basiswechsel.
Wäre über jede Hilfe sehr dankbar!
Lg Melisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:19 So 06.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
danke erstmal für deine Antwort.
Denn link hatte ich mir schon angeschaut 
Mein Problem hier ist folgendes:
Ich muss ja [mm] E_3 [/mm] aus [mm] E_2 [/mm] darstellen, aber wie soll das gehen? [mm] E_3 [/mm] ist dreidimensional und [mm] E_2 [/mm] zwei?
[mm] (\vektor{1 \\ 0\\0})=?*\vektor{1\\0}+?*\vektor{0\\1}
[/mm]
ganz egal, was ich für das ? einsetze, da kommt immer was zweidimensionales raus :-S
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:42 So 06.02.2011 | | Autor: | pyw |
> Hallo,
>
>
> danke erstmal für deine Antwort.
> Denn link hatte ich mir schon angeschaut
> Mein Problem hier ist folgendes:
>
> Ich muss ja [mm]E_3[/mm] aus [mm]E_2[/mm] darstellen, aber wie soll das
> gehen? [mm]E_3[/mm] ist dreidimensional und [mm]E_2[/mm] zwei?
>
> [mm](\vektor{1 \\ 0\\0})=?*\vektor{1\\0}+?*\vektor{0\\1}[/mm]
Das ist nicht ganz richtig. Hier hast du nicht die Identitätsabbildung, sondern musst die Abbildung [mm] \varphi [/mm] noch ins Spiel bringen. Du musst die Bilder der Standardbasisvektoren (Koordinatenvektoren deiner Basiselemente in [mm] E_3) [/mm] unter [mm] \varphi [/mm] als Linearkombination der Basisvektoren in [mm] E_2 [/mm] darstellen.
Dafür brauchst du aber erst einmal eine Erkenntnis über die Abbildung [mm] \varphi. [/mm] Gegeben ist für dich nur [mm] \varphi^D_B=\pmat{ 1 & 2 &3\\ 3 & 4&5 } [/mm] . Was folgt für die Bilder der Standardbasisvektoren unter [mm] \varphi?
[/mm]
> ganz egal, was ich für das ? einsetze, da kommt immer was
> zweidimensionales raus :-S
Gruß, pyw
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:07 So 06.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
Um die Bilder der Standardbasisvektoren anzugeben muss ich doch diese als
Linearkombination der Basisvektoren darstellen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:14 So 06.02.2011 | | Autor: | pyw |
> Um die Bilder der Standardbasisvektoren anzugeben muss ich
> doch diese als
> Linearkombination der Basisvektoren darstellen oder?
Genau.
Die Bilder der Basisvektoren in D stehen eigentlich schon fast in der Matrix [mm] \varphi^D_B:
[/mm]
Der Koordinatenvektor von [mm] \varphi(d_j) [/mm] bzgl der Basis B ist gerade die j-te Spalte von [mm] \varphi^D_B. [/mm] Du musst nur aufpassen, dass in der Basis B die Reihenfolge der Standardbasisvektoren vertauscht ist.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:36 So 06.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
ehrlich gesagt hab weiß ich nicht, wie ich das machen soll :-S
Muss ich die Basis B als Linearkombination von [mm] E_2 [/mm] darstellen und die Basis D als Linearkombination von [mm] E_3? [/mm] Dann hätte ich aber nichts mit [mm] [varphi]^{D}_{B} [/mm] gemacht, also kann das nicht stimmen.
Ich glaube ich denke wieder an die Identitätsabbildung aus dem Link :-S
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:24 So 06.02.2011 | | Autor: | pyw |
> ehrlich gesagt hab weiß ich nicht, wie ich das machen soll
> :-S
[mm] [\varphi]_B^D [/mm] * KV bzgl D= KV des Bildes bzgl B.
Es folgt für den Basisvektor [mm] d_1=\vektor{0\\1\\-1} [/mm] in D: [mm] \pmat{ 1 & 2 &3\\ 3 & 4&5 }\vektor{1\\0\\0}= \vektor{1\\3}\Rightarrow \varphi(d_1)=1\vektor{0\\1}+3\vektor{1\\0}=\vektor{3\\1}
[/mm]
Ähnlich kannst du die Bilder der anderen Basisvektoren in D unter [mm] \varphi [/mm] ermitteln:
[mm] \varphi(d_2)=\varphi\vektor{-1\\0\\1}=2\vektor{0\\1}+4\vektor{1\\0}=\vektor{4\\2} [/mm] und [mm] \varphi(d_3)=\varphi\vektor{1\\1\\0}=3\vektor{0\\1}+5\vektor{1\\0}=\vektor{5\\3}
[/mm]
Für die Matrix [mm] [\varphi]_{E_2}^{E_3} [/mm] brauchst du dann die Bilder der Standardbasisvektoren [mm] e_1, e_2, e_3 [/mm] unter [mm] \varphi.
[/mm]
Es ist z. B. [mm] e_2=\frac{d_1+d_2+d_3}{2} \Rightarrow \varphi(e_2)=\frac{1}{2}(\vektor{3\\1}+\vektor{4\\2}+\vektor{5\\3})=\vektor{6\\3}
[/mm]
Die so ermittelten Bilder sind gleichzeitig die Koordinatenvektoren der Basis [mm] E_2. [/mm] Also ist die zweite Spalte von [mm] [\varphi]_{E_2}^{E_3} [/mm] der Vektor [mm] \vektor{6\\3}. [/mm] Vielleicht hilft es dir noch, dir vorzustellen, dass [mm] [\varphi]_{E_2}^{E_3} [/mm] die Matrix der Abbildung [mm] \varphi [/mm] ist - denn die Koordinatenvektoren sind ja bezüglich den Standardbasen.
Das wäre mein Weg. Hoffe, es ist dieses Mal verständlicher
Gruß, pyw
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 So 06.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
super danke, dass war sehr verständlich.
Das einzige was ich nicht verstanden habe ist:
> Es ist z. B. [mm][mm] e_2=\frac{d_1+d_2+d_3}{2} [/mm]
Wie kommt man darauf?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 So 06.02.2011 | | Autor: | pyw |
> super danke, dass war sehr verständlich.
Das freut mich
>
> Das einzige was ich nicht verstanden habe ist:
>
> > Es ist z. B. [mm][mm]e_2=\frac{d_1+d_2+d_3}{2}[/mm]
> Wie kommt man darauf?
Der Standardbasisvektor wird ja als Linearkombination der [mm] d_i [/mm] dargestellt. Am einfachsten ist es, wenn man die Linearkombination raten kann. Sonst muss man das LGS dafür lösen.
Gruß, pyw
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 So 06.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
sry ich weiß, ist nicht einfach mit mir, aber ich habe es immer noch nicht kappiert. Was für ein LGS muss ich lösen, damit ich auf
> >
> > > Es ist z. B. [mm][mm]e_2=\frac{d_1+d_2+d_3}{2}[/mm]
komme? Kann ich aus dem selben dann auch entnehmen, was [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_3 [/mm] sind?Also ich mein die Bilder davon.
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:12 So 06.02.2011 | | Autor: | pyw |
> sry ich weiß, ist nicht einfach mit mir, aber ich habe es
> immer noch nicht kappiert. Was für ein LGS muss ich
> lösen, damit ich auf [mm]e_2=\frac{d_1+d_2+d_3}{2}[/mm] komme?
Das hier müsstest du lösen:
[mm] e_2=\lambda_1 d_1+\lambda_2d_2+\lambda_3d_3 \gdw \vektor{0\\1\\0}=\lambda_1\vektor{0 \\ 1\\-1}+\lambda_2\vektor{-1 \\ 0\\1}+\lambda_3\vektor{1 \\ 1\\0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=\frac{1}{2}
[/mm]
> Kann ich aus dem selben dann auch entnehmen, was [mm]e_1[/mm] und [mm]e_3[/mm] sind?Also ich mein die Bilder davon.
Neinm, [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_3 [/mm] ergeben sich natürlich aus anderen Linearkombination der [mm] d_i [/mm] als bei [mm] e_2.
[/mm]
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 So 06.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
für [mm] e_1 [/mm] habe ich jetzt [mm] \lambda_{1}=\lambda_{2}=-\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] \lambda_{3}=\bruch{1}{2}
[/mm]
für [mm] e_3 [/mm] habe ich [mm] \lambda_{2}=\lambda_{3}=\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] \lambda_{1}=-\bruch{1}{2}
[/mm]
und wie schreib ich es auf als [mm] e_1=...?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 So 06.02.2011 | | Autor: | pyw |
> für [mm]e_1[/mm] habe ich jetzt
> [mm]\lambda_{1}=\lambda_{2}=-\bruch{1}{2}[/mm] und
> [mm]\lambda_{3}=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> für [mm]e_3[/mm] habe ich [mm]\lambda_{2}=\lambda_{3}=\bruch{1}{2}[/mm] und
> [mm]\lambda_{1}=-\bruch{1}{2}[/mm]
Stimmt beides.
>
>
> und wie schreib ich es auf als [mm]e_1=...?[/mm]
Du brauchst doch bloß noch die ermittelten Werte einsetzen 
[mm] e_1=\frac{d_3-d_2-d_1}{2}
[/mm]
[mm] e_3=\frac{d_3+d_2-d_1}{2}
[/mm]
Gruß, pyw
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 So 06.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
ja das war eine blöde frage von mir hab ich danach auch gemerkt
[mm] [\varphi]_{E_2}^{E_3}=\pmat{-1 &6 & 3 \\ 0&3 & 2 }
[/mm]
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Hallo melisa1,
> ja das war eine blöde frage von mir hab ich danach auch
> gemerkt
>
>
> [mm][\varphi]_{E_2}^{E_3}=\pmat{-1 &6 & 3 \\ 0&3 & 2 }[/mm]
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 So 06.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
Hallo nochmal,
jetzt bin ich endlich bei der b
ich wollte es so machen wie bei der a als wir
[mm] \vaphi (d_1) [/mm] usw. berechnet haben, habe aber gemerkt, dass das nicht geht. Wie muss ich hier denn anfangen?
Lg Melisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 So 06.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
ich nenne die Abbildungsmatrix jetzt einfach mal C.
[mm] \varphi (c_1)=\vektor{0 \\ -1}
[/mm]
[mm] \varphi (c_2)=\vektor{3 \\ 6}
[/mm]
[mm] \varphi (c_3)=\vektor{2 \\ 3}
[/mm]
jetzt brauch ich noch das Bild von vektor v und das mach ich, in dem ich das LGS löse ist das richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 So 06.02.2011 | | Autor: | pyw |
> ich nenne die Abbildungsmatrix jetzt einfach mal C.
>
> [mm]\varphi (c_1)=\vektor{0 \\ -1}[/mm]
>
> [mm]\varphi (c_2)=\vektor{3 \\ 6}[/mm]
>
> [mm]\varphi (c_3)=\vektor{2 \\ 3}[/mm]
Was sind denn das auf einmal für [mm] c_i?
[/mm]
>
> jetzt brauch ich noch das Bild von vektor v und das mach
> ich, in dem ich das LGS löse ist das richtig?
Das Bild eines Vektors berechnest du über linksseitige Matrixmultiplikation.
[mm] \varphi(v)=[\varphi]_{E_2}^{E_3}v=\pmat{-1 &6 & 3 \\ 0&3 & 2 }\vektor{6\\7\\8}
[/mm]
Das sollte eigentlich klar sein, das gehört zu den Basics.
Gruß, pyw
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 So 06.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
[mm] \varphi (v)=\vektor{60\\30}
[/mm]
d.h.
[mm] \vektor{60\\30}=a\vektor{0\\1}+b*\vektor{1\\0}
[/mm]
hieraus folgt a=30 und b=60
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 So 06.02.2011 | | Autor: | pyw |
> [mm]\varphi (v)=\vektor{60\\30}[/mm]
Mein Ergebnis ist [mm] \vektor{60\\37}
[/mm]
>
> d.h.
>
> [mm]\vektor{60\\30}=a\vektor{0\\1}+b*\vektor{1\\0}[/mm]
>
> hieraus folgt a=30 und b=60
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 So 06.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
ja hab mich verrechnet
ist das dann schon fertig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:04 So 06.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
super vielen vielen dank für deine tolle Hilfestellung!
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