Bedeutung von Eigenvektoren < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:05 Mo 20.11.2006 | | Autor: | Erande |
Hallo allerseits!
Wie der Titel schon sagt suche ich die Bedeutung von Eigenwerten, Fixgeraden und Fixpunktgeraden.
Eigenwerte=Streckungsfaktor einer Fixgeraden(gerade die auf sich selbst abgebildet wird dessen längenverhalten sich allerdings ändert)
ist der streckungsfaktor 1 handelt es sich um eine fixpunktgerade(gerade die auf sich selbst abgebildet wird(längentreu!)
In der Schule hatten wir zum berechnen des ganzen folgenden ansatz
[mm] \vec a^'[/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2
\end{pmatrix}[/mm] [mm]{x \choose y}[/mm] + [mm]{v_1 \choose v_2}[/mm]
und haben mittels der überlegung, das das gesuchte Bild ein vielfaches des ursprungsvektors sein soll [mm] \lambda[/mm] [mm] \vec x[/mm] hinzugefügt.
Nach langem rumschieben der Gleichung kamen wir am ende zu einer Determinanten M [mm] (a_1*b_2-a_2*b_1) [/mm] und einer quadratischen gleichung welche wir in die gleichung der pq formel gebracht haben.
Am ende war unser ergebnis zur berechnung der eigenwerte
[mm] \bruch{a_1+b_2}{2} \pm \wurzel{(\bruch{a_1+b_2}{2})² - det M} [/mm]
Nunja....es ist ja offensichtlich das, wenn [mm] (\bruch{a_1+b_2}{2})² [/mm] < als det M ist es keine Lösung gibt da man ja bekanntlich aus negativen zahlen keine wurzel ziehen kann.
Außerdem kamen wir zu dem schluss, dass es genau eine Lösung gibt wenn [mm] (\bruch{a_1+b_2}{2})² [/mm] = det M ist(weil ja dann die wurzel 0 ist) und es genau 2 Lösungen gibt wenn [mm] (\bruch{a_1+b_2}{2})² [/mm] > det M ist.
Danach haben wir unsere [mm] \lambda [/mm] in unseren Ursprünglichen denkansatz eingefügt hatten 2 gleichungen mit je 2 unbekannten und konnten das system in sofern lösen, als dass wir am ende z.b.
[mm]{x_1 \choose -x_1}[/mm] ist der Eigenvektor zu [mm] \lambda [/mm] = 1
[mm]{x_1 \choose x_1} [/mm] ist der Eigenvektor zu [mm] \lambda [/mm] = 3
als ergebnisse hatten.
da der streckfaktor bei der einen geraden z.b. nur 1 war und somit jeder punkt auf sich selbst abgebildet wird handelt es sich bei diesem eigenvektor um eine Fixpunktgerade...oder? ^^
Nun aber meine Frage:
ist das system wie ich es bisher verstanden habe bzw. geglaubt hab verstanden zu haben richtig?
Und außerdem....was für eine geometrische bedeutung haben eigenwerte fixgeraden und fixpunktgeraden?
was kann ich daraus schließen wenn ich z.b. nur eine lösung also ein [mm] \lambda [/mm] habe oder wenn ich z.b. wie in der schule eine fixgerade und eine fixpunktgerade als ergebniss habe?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hoffe auf baldige antwort und wenns auch nur ein denkansatz ist! brauche dringend hilfe morgen ist die klausur und es wäre für meine "vorstellungskraft" sehr hilfreich wenn mir jemand einen ansatz dazu geben würde welche bedeutung diese geraden für eine aufgabe haben könnten.
Mfg. Erande
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Mo 20.11.2006 | | Autor: | goeba |
Hi,
ich verstehe Deine Herleitung nicht so ganz.
1. Behandelt ihr lineare Abbildungen
(also [mm] \vec(x) \mapsto [/mm] A [mm] \cdot \vec(x) [/mm] )
oder affine Abbildungen?
Im ersten Fall kann ich Dir zur geometrischen Bedeutung schon mal folgendes sagen (immer davon ausgehen, dass Ihr alles im R2 macht):
- Wenn Du eine Fixpunktgerade hast, dann könnte es sich bei der Abbildung z.B. um eine Achsenspiegelung mit dieser Gerade als Spiegelachse handeln. Es könnte aber auch eine Projektion auf diese Gerade sein, also eben alles, was diese Achse als Fixpunktgerade hat.
Wenn Du zwei Eigenwerte hast, dann weißt Du genaueres. Nehmen wir mal an, der eine Eigenwert ist 1. Dann hast Du eine Fixpunktgerade durch den Urpsrung mit diesem Eigenvektor als Richtungsvektor.
Wenn der andere Eigenwert -1 ist, dann gibt es zwei Möglichkeiten:
a) der zweite Eigenvektor steht senkrecht zum ersten. Dann ist es eine Achsenspiegelung
b) der zweite Eigenvektor steht nicht senkrecht zum ersten. Dann ist es eine "Scherspiegelung", es wird also sozusagen "schräg" gespiegelt, und zwar in Richtung des zweiten Eigenvektors.
So weit erst mal,
Viele Grüße,
Andreas
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(Frage) überfällig | | Datum: | 18:35 Mo 20.11.2006 | | Autor: | Erande |
Also erstmal vielen dank für eine antwort :)
nun folgendes:
Eigentlich dachte ich bisher das durch die determinante [mm] M=a_1*b_2+a_2*b_1 [/mm] von der matrix [mm]\begin{pmatrix}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2
\end{pmatrix}[/mm]
sofern sie [mm] \not= [/mm] 0 ist eine affine matrix beschreibt....
und da man ja ebend diese det M bereits in der pq formel verwendet muss es sich ja sozusagen um eine affine abbildungsmatrix handeln...oder etwa nicht? ^^
nun zum anderen teil...also das es sich bei einer fixpunktgeraden um eine achsenspiegelung an einer geraden handelt kann ich gut nachvollziehen(danke dafür schonmal ^^) aber den teil mit "Es könnte aber auch eine Projektion auf diese Gerade sein" verstehe ich nicht so ganz...
die gerade projeziert sich doch eh auf sich selbst(angenommen es ist eine fix(punkt)gerade oder nicht?
> Wenn Du zwei Eigenwerte hast, dann weißt Du genaueres.
> Nehmen wir mal an, der eine Eigenwert ist 1. Dann hast Du
> eine Fixpunktgerade durch den Urpsrung mit diesem
> Eigenvektor als Richtungsvektor.
Ich dachte der Eigenwert wäre der Streckfaktor(bei "uns" immer [mm] \lambda) [/mm] welchen man erstmal in die form
[mm]/lambda /vec x^' =
\begin{pmatrix}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2
\end{pmatrix} * /vec x [/mm]
gebracht werden muss.
> Wenn der andere Eigenwert -1 ist, dann gibt es zwei
> Möglichkeiten:
> a) der zweite Eigenvektor steht senkrecht zum ersten. Dann
> ist es eine Achsenspiegelung
jop ^^
> b) der zweite Eigenvektor steht nicht senkrecht zum
> ersten. Dann ist es eine "Scherspiegelung", es wird also
> sozusagen "schräg" gespiegelt, und zwar in Richtung des
> zweiten Eigenvektors.
[...]was mich wieder zu der überlegung treibt die errechneten eigenwerte als /lambda in die formel einzusetzen um mir die richtung des eigenvektors auszurechnen...
frage also: ist es überhaupt richtig /lambda in die formel einzusetzen sodass man zu [mm]/lambda /vec x^' =
\begin{pmatrix}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2
\end{pmatrix} * /vec x [/mm]
kommt? wenn nicht, wie soll ich sonst auf den eigenvektor kommen wenn ich nur den eigenwert an sich habe? wir haben das thema leider erst eine stunde vor der klausur angeschnitten...daher ist auch mein wissen über eigenvektoren&co sehr beschränkt....geschweigedenn von deren bedeutung!
aber vielen dank das du schonmal etwas licht ins dunkel geworfen hast, denn so habe ich wenigstens eine kleine vorstellung davon, wofür man diese vektoren gebraucehn könnte bzw. was ich auf eine frage hinsichtlich der bedeutung der werte und vektoren antworte :)
Mfg...ein dankbares Erande
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:01 Mo 20.11.2006 | | Autor: | goeba |
Hi,
ok, ich hab es mal nachgeschaut, wie es üblicherweise gemacht wird.
Die affine Abbildung ist für Punkte (geg. durch Ortsvektor [mm] \vec{x} [/mm] ) definiert durch
[mm] \vec{x} \mapsto [/mm] A [mm] \vec{x} [/mm] + [mm] \vec{t}
[/mm]
und für Vektoren (die keine Ortsvektoren sind, sondern z.B. Verbindungsvektoren)
[mm] \vec{v} \mapsto [/mm] A [mm] \vec{v}
[/mm]
So dass man sich für Vektoren nicht um den Transformationsanteil der affinen Abbildung kümmern muss.
Du berechnest die Dererminante
[mm] \vmat{ a-\lambda & b \\ c & d-\lambda }
[/mm]
und das Ergebnis ist dann eine quadratische Gleichung, die man mit der pq-Formel lösen kann.
Es kann sein, dass ihr affine Abbildungen so definiert habt, dass die Determinante (die normale, ohne [mm] \lambda [/mm] ) immer ungleich Null ist. Dann kann das mit der Projektion auf eine Gerade nicht passieren.
Also, wo sind jetzt noch genau Deine Fragen? Weißt Du, wie man Eigenwerte und Eigenvektoren ausrechnet?
Vielleicht rechnest Du spaßeshalber mal die Eigenwerte und Eigenvektoren von
[mm] \vec{x}' [/mm] = [mm] \vmat{ 1 & 0 \\ 2 & -4 } [/mm] + [mm] \vektor{2 \\ 3}
[/mm]
aus. Ich kann aber nicht garantieren, dass das jetzt eine tolle Aufgabe ist, hab ich mir nur so ausgedacht.
Viele Grüße,
Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:36 Mo 20.11.2006 | | Autor: | Erande |
also mein thread ging anfangs ja nur um die bedeutung von eigenvektoren also wozu man diese einzeichnen kann und ob fixgeraden etc eine besondere bedeutung im geometrischen sinne haben.
habe die aufgabe mal ausgerechnet und kam auf die eigenwerte [mm] /lambda_1 [/mm] =-4 und [mm] /lambda_2 [/mm] =1
mittlerweile hab ich zudem festgestellt dass ich in sachen eigenvektor ausrechnen noch nicht allzu sicher bin....
oder stimmt es das es bei /lambda=-4 keinen eigenvektor hat? denn die gleichung(en) ergibt immer 0...
bei /lambda = 2 habe ich nur bis zur matrix gerechnet...weiß irgentwie nicht wie ich jetz weiter machen soll oder ob das überhaupt richtig ist(na rosige aussichen für morgen...)
[mm]\begin{Bmatrix}
0 & 0 \\
2 & -5
\end{Bmatrix} [/mm]
nachdem ich ja die /lambda ausgerechnet habe hab ich sie einfach in die ursprungsform eingesetzt....ich dachte eigentlich dann würde man irgentwie auf einen eigenenvektor kommen aber irgentwie...ka...weiß ich halt nicht weiter.
Und ebend hier greift auch meine frage von beginn....wozu brauch man diese eigenvektoren? ^^
hab mir schon bilder angeguckt aber sehe von ihnen aus keinen zusammenhang in irgenteiner weise zu anderen vektoren bzw habe ich bisher keinen gefunden...brauch man sie um etwas auszurechnen? kann man was an ihnen ablesen? wenn ja was? :)
Mfg. Erande
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(Frage) überfällig | | Datum: | 21:19 Mo 20.11.2006 | | Autor: | goeba |
Hi,
ich hab jetzt leider keine Zeit mehr, vielleicht kann jemand anderes noch etwas erklären.
Eigenwerte und Eigenvektoren braucht man eigentlich dazu, um die Matrix zu diagonalisieren - das vergiss aber bitte schnell wieder.
In Deinem Fall dient es eben dazu, die Abbildung zu klassifizieren, also ob Drehung, Spiegelung , Streckung usw.
Viele Grüße,
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mi 22.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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