Bedeutung von f(x)*f'(x)-4x=0 < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Wir haben diese gleichung gegeben ohne eine angabe was hinter
f(x) steckt unsere aufgabe ist es
Erkläre was die gleichung aussagt.
Zeichne die funktion.
Dokumentiere den weg zur lösung mit alle beinhalteten themen
Und wiederhole sie.
Ich mache gerade mein abi nach und das ist die neue art
Den stoff der letzten 12 Jahre zu wiederhollen und lücken
Zu schliessen leider habe ich keine ide für einen ansatz
Duch umformen, unbestimmtes integrieren und nachdenken
Kommt man auf triviale lösungen
Bitte hilfe
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:mathe board
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Hallo und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
Ich schreibe mal die Gleichung, um die es geht, hier nochmals in den Text (das ist besser, als wenn sie nur im Titel steht):
f(x)*f'(x)-4x=0
> Wir haben diese gleichung gegeben ohne eine angabe was
> hinter
> f(x) steckt unsere aufgabe ist es
> Erkläre was die gleichung aussagt.
> Zeichne die funktion.
> Dokumentiere den weg zur lösung mit alle beinhalteten
> themen
> Und wiederhole sie.
>
> Ich mache gerade mein abi nach und das ist die neue art
> Den stoff der letzten 12 Jahre zu wiederhollen und lücken
> Zu schliessen leider habe ich keine ide für einen ansatz
> Duch umformen, unbestimmtes integrieren und nachdenken
> Kommt man auf triviale lösungen
> Bitte hilfe
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:mathe board
Dort bist du aber auch nicht wirklich auf das eingegangen, was man dir geraten hat.
Es handelt sich um eine sog. gewöhnliche Differenzialgleichung 1. Ordnung. Für einen Mathematiker bzw. für Studenten mit einem gewissen Grundwissen in Analysis 1 besteht die Aufgabe im wesentlichen darin, die zunächst unbekannte Funktion f(x) durch Umformen und Integrieren rechnerisch zu ermitteln. Das ist jedoch kein Schulstoff, von daher ist es etwas schwierig einzuschätzen, wo wir da jetzt ansetzen können.
Sind dir Differenzial- und Integralrechnung vertraut? Falls nein, dann macht das keinerlei Sinn, sich mit einer solchen Aufgabe herumzuschlagen.
Falls doch: die Gleichung sagt ja wenn man sie umformt aus, dass für eine bestimmte Funktion das Produkt von Funktion und ihrer 1. Ableitung stets auf der Ursprungsgeraden y=4x liegt, da deine Gleichung ja äquivalent ist zu
f(x)*f'(x)=4x
Man kann also sicherlich einmal damit beginnen, diese Gerade zu zeichnen.
Die allgemeine Lösung des Problems ist allerdings so geartet, dass man meiner Ansicht nach da nicht so einfach durch geometrische Überlegungen draufkommen könnte.
Wenn man allerdings die Einschränkung f(0)=0 vornimmt (man nennt dies einen Anfangswerte), so kann man leicht eine elementare Funktion finden, für die die Gleichung gilt.
PS: Es wäre für die Zukunft besser, wenn du a) die Frage zunächst nur in einem Forum stellen würdest und b) zu deinem mathematischen Hintergrund präzisere Angaben machen würdest.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Do 12.09.2013 | | Autor: | fred97 |
Es geht also um Funktionen f , welche die Gleichung
(*) f(x)*f'(x)-4x=0
erfüllen.
Setzen wir mal [mm] g(x):=(f(x))^2, [/mm] so folgt mit der Kettenregel:
g'(x)=2f(x)*f'(x).
Bemüht man nun noch (*), so bekommt man:
g'(x)=8x,
also
[mm] g(x)=4x^2+c.
[/mm]
Damit hat man schonmal: [mm] (f(x))^2=4x^2+c
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:49 Do 12.09.2013 | | Autor: | Diophant |
Moin FRED,
> Setzen wir mal [mm]g(x):=(f(x))^2,[/mm] so folgt mit der
> Kettenregel:
>
> g'(x)=2f(x)*f'(x).
>
> Bemüht man nun noch (*), so bekommt man:
>
> g'(x)=8x,
>
> also
>
> [mm]g(x)=4x^2+c.[/mm]
wenn das mal nicht elegant ist. 
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:03 Do 12.09.2013 | | Autor: | fred97 |
> Moin FRED,
>
> > Setzen wir mal [mm]g(x):=(f(x))^2,[/mm] so folgt mit der
> > Kettenregel:
> >
> > g'(x)=2f(x)*f'(x).
> >
> > Bemüht man nun noch (*), so bekommt man:
> >
> > g'(x)=8x,
> >
> > also
> >
> > [mm]g(x)=4x^2+c.[/mm]
>
> wenn das mal nicht elegant ist.
Hallo Diophant,
danke. Bei mir klingelt es, wenn ich f*f' sehe. Wenn ich dann die Tür aufmache tritt die mir Kettenregel die Fkt. [mm] f^2 [/mm] ins Haus.
Gruß FRED
>
>
> Gruß, Diophant
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Also ich habe den stoff bis zur 12 klasse gehabt
Also integral und differenzial ist kein problem
Jedoch verstehe ich nicht den ansatz mit g(x)
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Hallo,
> Also ich habe den stoff bis zur 12 klasse gehabt
> Also integral und differenzial ist kein problem
Ok. Dann kennst du ja die Kettenregel, sie ist hier der Dreh- und Angelpunkt.
> Jedoch verstehe ich nicht den ansatz mit g(x)
Setze mal allgemein
[mm] g(x)=\left(f(x)\right)^2
[/mm]
und leite diese Funktion mit Hilfe der Kettenregel nach x ab. Dann siehst du unmittelbar ein, was FRED gemeint hat - und sicherlich dein Lehrer/deine Lehrerin auch. Ich habe das vorhin irgendwie nicht gesehen, der Punkt geht an FRED  . Denn seine Lösung ist sicherlich exakt die, welche angedacht ist, so viel kann man jetzt auf jeden Fall sagen.
Gruß, Diophant
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> > Moin FRED,
> >
> > > Setzen wir mal [mm]g(x):=(f(x))^2,[/mm] so folgt mit der
> > > Kettenregel:
> > >
> > > g'(x)=2f(x)*f'(x).
> > >
> > > Bemüht man nun noch (*), so bekommt man:
> > >
> > > g'(x)=8x,
> > >
> > > also
> > >
> > > [mm]g(x)=4x^2+c.[/mm]
> >
> > wenn das mal nicht elegant ist.
>
> Hallo Diophant,
>
> danke. Bei mir klingelt es, wenn ich f*f' sehe. Wenn ich
> dann die Tür aufmache tritt die mir Kettenregel die Fkt.
> [mm]f^2[/mm] ins Haus.
>
> Gruß FRED
Hallo,
leider haben nicht alle solche Klingeln wie Fred.
Dann kann man aber durch etwas Umformen der DGL
$\ [mm] y*\frac{dy}{dx}\ [/mm] -\ 4*x\ =\ 0$
sehr leicht sehen, dass da Separation der Variablen
angezeigt ist:
$\ [mm] y\,*\,dy\ [/mm] =\ [mm] 4*x\,*\,dx$
[/mm]
... und jetzt beidseitig integrieren (und nicht
vergessen, dass eine Integrationskonstante rein-
kommen muss) !
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:59 Do 12.09.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > Moin FRED,
> > >
> > > > Setzen wir mal [mm]g(x):=(f(x))^2,[/mm] so folgt mit der
> > > > Kettenregel:
> > > >
> > > > g'(x)=2f(x)*f'(x).
> > > >
> > > > Bemüht man nun noch (*), so bekommt man:
> > > >
> > > > g'(x)=8x,
> > > >
> > > > also
> > > >
> > > > [mm]g(x)=4x^2+c.[/mm]
> > >
> > > wenn das mal nicht elegant ist.
> >
> > Hallo Diophant,
> >
> > danke. Bei mir klingelt es, wenn ich f*f' sehe. Wenn ich
> > dann die Tür aufmache tritt die mir Kettenregel die Fkt.
> > [mm]f^2[/mm] ins Haus.
> >
> > Gruß FRED
>
>
> Hallo,
>
> leider haben nicht alle solche Klingeln wie Fred.
> Dann kann man aber durch etwas Umformen der
> DGL
>
> [mm]\ y*\frac{dy}{dx}\ -\ 4*x\ =\ 0[/mm]
>
> sehr leicht sehen, dass da Separation der Variablen
> angezeigt ist !
Hallo Al,
der User Wellekremer, der die Frage gestellt hat, wird erst noch Abitur machen.
In der Schule lernt man "Separation der Variablen" nicht.
Gruß FRED
>
> LG , Al-Chw.
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> der User Wellekremer, der die Frage gestellt hat, wird erst
> noch Abitur machen.
>
> In der Schule lernt man "Separation der Variablen" nicht.
In der Regel wird da ja das Thema Differentialgleichungen
(außer dem Fall f'(x)= gegebene Funktion oder allenfalls
noch f"(x)= gegebene Funktion) überhaupt nicht behandelt ..
LG , Al
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Ja diesen ansatz haben wir verfolgt kommen dan beim integrieren
Aber zu
[mm] \wurzel{4x^2 + c}
[/mm]
Und unser lehrer sagt gerade es were nur eine teilösung
Ist es den das richtige ergebnis nach der integration ??
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Hallo Wellekremer,
> Ja diesen ansatz haben wir verfolgt kommen dan beim
> integrieren
> Aber zu
> [mm]\wurzel{4x^2 + c}[/mm]
> Und unser lehrer sagt gerade es were
wäre ...
> nur eine teilösung
> Ist es den das richtige ergebnis nach der integration ??
Rechne doch vor!
Man kommt mit [mm]\int{ f \ df} \ = \ \int{4x \ dx}[/mm] auf
[mm]\frac{1}{2}f^2 \ = \ 2x^2+c[/mm]
Also [mm]f^2 \ = \ 4x^2+2c \ = \ 4x^2+C[/mm]
Das [mm]2c[/mm] ist ja "nur" eine Konstante, die ich auch [mm]C[/mm] nennen kann.
Damit ergeben sich für [mm]f[/mm] aber die Möglichkeiten
[mm]\red{\pm}\sqrt{4x^2+C}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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