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| Aufgabe | Gegeben ist ein VAR-Modell:
[mm]\Delta X_t = \alpha \cdot (\beta' X_{t-1}) + \Gamma \cdot Z_{2t} + \varepsilon_t[/mm]
mit den Bezeichnungen: [mm]\Delta X_t = X_t - X_{t-1}[/mm], [mm]Z_{2t} = (\Delta X_{t-1},..., \Delta X_{t-k})[/mm].
Außerdem: [mm](\Delta X_t) [/mm], [mm](\beta' X_{t-1})[/mm] stationär, [mm](\varepsilon_t)[/mm] ist unabh. und identisch verteilt mit [mm]E[\varepsilon_t] = 0, Var(\varepsilon_t) = \Omega[/mm] (nicht notwendig normalverteilt), [mm]\alpha, \beta, \Gamma[/mm] sind konstante Matrizen (alle nicht notwendig quadratisch).
Behauptung:
[mm]Var(\Delta X_t | Z_{2t}) = Var(\Delta X_t) - Cov(\Delta X_t, Z_{2t}) \cdot Var(Z_{2t})^{-1} \cdot Cov(Z_{2t}, \Delta X_t)[/mm]. |
Hallo,
Im Buch von Johansen "Likelihood-based inference in cointegrated vector-autoregressive models" wird behauptet, dass obige Gleichheit von Varianzen / bedingten Varianzen gilt.
Ich kenne solch eine Gleichheit nur, wenn [mm]\Delta X_t, Z_{2t}[/mm] ![[]](/images/popup.gif) gemeinsam normalverteilt ist, das muss hier aber nicht so sein.
Es gilt ja:
[mm]Var(\Delta X_t|Z_{2t}) = \alpha \cdot Var(\beta' X_{t-1}|Z_{2t}) \alpha' + \Omega[/mm],
[mm]Cov(\Delta X_t, Z_{2t}) = \alpha \cdot Cov(\beta' X_{t-1}, Z_{2t}) + \Gamma \cdot Var(Z_{2t})[/mm],
[mm]Var(\Delta X_t) = Cov(\Delta X_t, \Delta X_t) = \alpha Var(\beta' X_{t-1}) \alpha' + \Gamma Var(Z_{2t}) \Gamma' + \Omega + \alpha Cov(\beta' X_{t-1}, Z_{2t}) \Gamma' + \Gamma Cov(Z_{2t}, \beta' X_{t-1}) \alpha'[/mm]
usw. Aber ich sehe nicht, wie ich die auftauchenden bedingten Varianzen mit den (unbedingten) Varianzen/Kovarianzen in Verbindung bringen kann.
Ich gehe davon aus, dass man es aus der Struktur des Modells und den Eigenschaften der Stationarität / iid folgern kann. Hat jemand eine Idee  ?
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Den Ansatz [mm] $Var(\Delta X_t) [/mm] = [mm] E[Var(\Delta X_t | Z_{2t})] [/mm] + [mm] Var(E[\Delta X_t | Z_{2t}])$ [/mm] habe ich auch probiert, aber ich scheitere an der Berechnung der äußeren Erwartungswerte / Varianzen.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 18.03.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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