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| Aufgabe | Klaus nimmt an einer Multiple-Choice-Klausur teil. Jede Aufgabe hat 5 mögliche Antworten, von denen genau eine korrekt ist. Wenn Klaus die Antwort zu einer Frage weiß, beantwortet er sie richtig, wenn er die Antwort nicht weiß, kreuzt er zufällig eine der 5 Möglichkeiten an (Gleichverteilungsannahme). Die Fragen in der Klausur sind derart, dass Klaus in 65% der Fälle die Antwort weiß.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Klaus Frage 1 richtig beantwortet?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Klaus die Antwort zu Frage 1 weiß unter der Bedingung, dass er Frage 1 richtig ankreuzt?
c) Die Klausur bestehe aus 12 Fragen. Sei [mm] N [/mm] die Zufallsvariable, die die Anzahl der Fragen beschreibt, die Klaus richtig ankreuzt. Bestimmen sie den Erwartungswert [mm] E(N) [/mm] und die Varianz [mm] Var(N) [/mm]. |
Hallo!
Es wäre super, wenn jemand mal über meine Lösung drüber schauen könnte! 
Ich definiere
[mm] A_1 [/mm]:= {Klaus kennt die Antwort }
[mm] A_2 [/mm]:= {Klaus kennt die Antwort nicht }
[mm] B [/mm] := { Klaus beantwortet die Frage richtig }
Dann sind
[mm] P(A_1)=0.65, P(A_2)=0.35, P(B|A_1)=1, P(B|A_2)=0.2 [/mm]
und daraus folgt in a):
[mm] P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2) = 0.72 [/mm]
b) mit Bayes folgt:
[mm] P(A_1|B)=\bruch{P(A_1)P(B|A_1)}{P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)}= \bruch{0.65}{0.72} = 0.903 = 90.3 [/mm] %
c) Ich definiere
[mm] N := \summe_{i=1}^{12}N_i [/mm]
wobei
[mm] N_i := \begin{cases} 0, & \mbox{Klaus beantwortet die Frage falsch } \\ 1, & \mbox{Klaus beantwortet die Frage richtig} \end{cases} [/mm]
mit
[mm] P(N_i=1)=0.72, P(N_i=0)=0.28 [/mm]
Weil [mm] N_i [/mm] Bernoulli-verteilt ist gilt:
[mm] E(N)=12*P(N_i=1)=12*0.72=8.64 [/mm]
und
[mm] Var(N)= 12*P(N_i=1)*P(N_i=0)=12*0.72*0.28=2.4192 [/mm]
Stimmt das so?
Grüßle, Lily
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> a):
> [mm]P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2) = 0.72[/mm]
Stimmt!
> b) mit Bayes folgt:
>
> [mm]P(A_1|B)=\bruch{P(A_1)P(B|A_1)}{P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)}= \bruch{0.65}{0.72} = 0.903 = 90.3[/mm]
Genau so!
> c) Ich definiere
> [mm]N := \summe_{i=1}^{12}N_i[/mm]
>
> wobei
> [mm]N_i := \begin{cases} 0, & \mbox{Klaus beantwortet die Frage falsch } \\ 1, & \mbox{Klaus beantwortet die Frage richtig} \end{cases}[/mm]
>
> mit
> [mm]P(N_i=1)=0.72, P(N_i=0)=0.28[/mm]
>
> Weil [mm]N_i[/mm] Bernoulli-verteilt ist
... und wir annehmen, dass die 12 Aufgaben unabhängig voneinander sind, ...
> gilt:
> [mm]E(N)=12*P(N_i=1)=12*0.72=8.64[/mm]
Stimmt schon wieder.
> und
> [mm]Var(N)= 12*P(N_i=1)*P(N_i=0)=12*0.72*0.28=2.4192[/mm]
Ja, diesmal hast Du benutzt, dass die Varianz der Bernoulli-Verteilung [mm] $\sigma^2=P(N=1)*P(N=0)$ [/mm] ist.
Alles richtig.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:40 So 04.01.2015 | | Autor: | Mathe-Lily |
Vielen Dank für die Rückmeldung!
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