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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Bedingte Wahrscheinlichkeit
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Bedingte Wahrscheinlichkeit: "Korrektur"
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:26 Di 15.05.2018
Autor: Twaddle

Aufgabe
Eine Krankheit tritt in einer Risikogruppe mit Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{1}{10000} [/mm] auf. Eine Person, welche zu der Risikogruppe gehört, unterzieht sich einer Diagnosemethode, welche eine Erkrankung mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,8% erkennt und gesunde Personen mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,2% fälschlicherweise als positiv testet. Gemäß Beispiel 2.26 aus der Vorlesung, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine positiv getestete Person tatsächlich erkrankt ist, nur 4,75%. Für eine aussagekräftigere
Diagnose soll der Test deshalb zweimal unabhängig voneinander durchgeführt werden.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person erkrankt ist, wenn beide Tests
positiv sind?

Hinweis:
Die Unabhängigkeit der Tests ist so zu interpretieren, dass mögliche Fehlerquellen für die Diagnose in beiden Durchführungen unabhängig voneinander auftreten.
Dies  impliziert  nicht,  dass  die  beiden  Ereignisse [mm] A_{1} [/mm] := ”erster Befund positiv“  und
[mm] A_{2} [/mm] := ”zweiter Befund positiv“ stochastisch unabhängig sind.

Hallo zusammen!

Ich habe folgende Aufgabe und auch eine Lösung dazu, wobei ich wissen will, ob denn die Lösung auch richtig ist.

Wie schon in der Aufgabenstellung steht, haben wir die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass tatsächlich ein positiv getesteter Mensch wirklich krank ist. Das haben wir mittels "Satz von Bayes" gemacht.

Im jetzigen Fall haben wir das Modell einfach nur um einen Test erweitert, wobei klar ist, dass [mm] A_{1} [/mm] und [mm] A_{2} [/mm] nicht unabhängig sind.
Ich habe mir dabei einfach überlegt, dass ich mein Baumdiagramm um einen Pfad erweitert wird, mit denselben Wahrscheinlichkeiten für "positiv getestet" bzw. "negativ getestet".

Wieder benutze ich den Satz von Bayes um die Aufgabe zu lösen:

C := "krank unter der Bedingung zweimal positiv getestet"

$ [mm] P(C)=\bruch{\bruch{0,998^{2}}{10000}}{\bruch{0,998^{2}}{10000}+\bruch{9999*0,002^{2}}{10000}}\approx [/mm] 96,1% $

Meiner Meinung nach müsste das Ergebnis auch stimmen, will es aber nur noch einmal überprüft bekommen. Hier ist sehr schön zu sehen, dass sich durch einen zweimaligen Test die Wahrscheinlichkeit stark erhört. Deshalb wird in der Praxis bei einem positiven Test (bsp. ELISA-Test) mindestens ein zweiter gemacht wird um eine genauere Aussage zu treffen.
Danke schon einmal für die Mühe.

Liebe Grüße

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Bedingte Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:50 Di 15.05.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Eine Krankheit tritt in einer Risikogruppe mit
> Wahrscheinlichkeit [mm]\bruch{1}{10000}[/mm] auf. Eine Person,
> welche zu der Risikogruppe gehört, unterzieht sich einer
> Diagnosemethode, welche eine Erkrankung mit einer
> Wahrscheinlichkeit von 99,8% erkennt und gesunde Personen
> mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,2% fälschlicherweise
> als positiv testet. Gemäß Beispiel 2.26 aus der
> Vorlesung, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine
> positiv getestete Person tatsächlich erkrankt ist, nur
> 4,75%. Für eine aussagekräftigere
> Diagnose soll der Test deshalb zweimal unabhängig
> voneinander durchgeführt werden.
> Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person
> erkrankt ist, wenn beide Tests
> positiv sind?

>

> Hinweis:
> Die Unabhängigkeit der Tests ist so zu interpretieren,
> dass mögliche Fehlerquellen für die Diagnose in beiden
> Durchführungen unabhängig voneinander auftreten.
> Dies impliziert nicht, dass die beiden Ereignisse
> [mm]A_{1}[/mm] := ”erster Befund positiv“ und
> [mm]A_{2}[/mm] := ”zweiter Befund positiv“ stochastisch
> unabhängig sind.
> Hallo zusammen!

>

> Ich habe folgende Aufgabe und auch eine Lösung dazu, wobei
> ich wissen will, ob denn die Lösung auch richtig ist.

>

> Wie schon in der Aufgabenstellung steht, haben wir die
> Wahrscheinlichkeit berechnet, dass tatsächlich ein positiv
> getesteter Mensch wirklich krank ist. Das haben wir mittels
> "Satz von Bayes" gemacht.

>

> Im jetzigen Fall haben wir das Modell einfach nur um einen
> Test erweitert, wobei klar ist, dass [mm]A_{1}[/mm] und [mm]A_{2}[/mm] nicht
> unabhängig sind.
> Ich habe mir dabei einfach überlegt, dass ich mein
> Baumdiagramm um einen Pfad erweitert wird, mit denselben
> Wahrscheinlichkeiten für "positiv getestet" bzw. "negativ
> getestet".

>

> Wieder benutze ich den Satz von Bayes um die Aufgabe zu
> lösen:

>

> C := "krank unter der Bedingung zweimal positiv getestet"

>

> [mm]P(C)=\bruch{\bruch{0,998^{2}}{10000}}{\bruch{0,998^{2}}{10000}+\bruch{9999*0,002^{2}}{10000}}\approx 96,1%[/mm]

>

> Meiner Meinung nach müsste das Ergebnis auch stimmen, will
> es aber nur noch einmal überprüft bekommen.

Ja, das passt. [ok]


Gruß, Diophant

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