Bedingter Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:57 So 24.04.2016 | | Autor: | Sogge93 |
| Aufgabe | Seien X,Y unabhängige Zufallsvariablen mit X,Y ~ U(0,1).
Berechne E(X * Y | X*Y > [mm] \bruch{1}{4}) [/mm] |
Hallo zusammen.
Habe diese Aufgabe im Rahmen einer größeren Programmieraufgabe zu lösen.
Bis jetzt habe ich die Dichtefunktion von X*Y=Z
f(z)=-log(z)
sowie die Verteilungsfunktion
F(z)=z-z*log(z)
ermittelt. Nun bin ich unschlüssig, ob ich mittels dieser bereits den bedingten Erwartungswert ausrechnen kann. Der normale Erwartungswert beträgt ja [mm] \bruch{1}{4}.
[/mm]
Ich habe auch schon das Ganze einmal mit dem Rechner durchsimuliert und bin auf einen Wert nahe 0,475 gekommen, aber eine exakte Berechnungsvorschrift wäre natürlich schöner. Könnt ihr mir einen Tipp geben? 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 So 24.04.2016 | | Autor: | luis52 |
Moin, bestimme die Verteilungsfunktion von [mm] $(XY\mid [/mm] XY>1/4)$, also
[mm] $P(XY\le [/mm] z [mm] \mid XY>1/4)=\frac{P(XY\le z \cap XY>1/4)}{P(XY>1/4)}=\frac{P(1/41/4)}$,
[/mm]
erhalte die Dichte durch Ableiten und berechne dann den Erwartungswert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:57 So 24.04.2016 | | Autor: | Sogge93 |
Ich habe jetzt noch eine alternative, vermutlich aber äquivalente Lösung gefunden:
E(X*Y | X*Y > [mm] p)=\bruch{\integral_{p}^{1}{f(x)*x dx}}{1-F(p)}
[/mm]
mit F(p) wie oben bereits definiert. Man erhält dann, wenn man die Stammfunktion ermittelt und alles zusammenrechnet:
E(X*Y | X*Y [mm] >p)=\bruch{\bruch{1}{4}-\bruch{p^2}{4}+\bruch{1}{2}*p*log(p)}{1-(p-p*log(p))},
[/mm]
was für [mm] p=\bruch{1}{4} [/mm] den Wert [mm] \approx [/mm] 0.473577 liefert.
Vielen Dank für die Anregung, Luis
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