Bedingung für Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 Sa 19.11.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo.......
Bsp.:
Sei a > 0 und die Folge [mm] (x_{n}) [/mm] definiert gemäß
[mm] x_{0} [/mm] = 0 und [mm] x_{n+1} [/mm] = a + [mm] x_{n}^{2} \forall [/mm] n [mm] \in \IN_{0}
[/mm]
Geben Sie eine notwendige und hinreichende Bedingung für a n, sodass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] existiert in [mm] \IR.
[/mm]
Die Bedingung für diese rekursive ??? Folge ist dass sie beschränkt sein
muss und monoton wachst, dann besitzt sie einen Grenzwert.
1.Schritt: Annahme [mm] x_{n} [/mm] -> x
x = [mm] a+x^{2}
[/mm]
[mm] x^{2} [/mm] - x + a = 0
[mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{-p \pm \wurzel{p^2 - 4q}}{2}
[/mm]
also [mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{1 \pm \wurzel{1 - 4a}}{2}
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = 1/2 * [mm] \wurzel{1 - 4a}
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = - 1/2 * [mm] \wurzel{1 - 4a}
[/mm]
dies sind die einzigen 2 möglischen Grenzwerte wenn die Folge konvergiert.
Vermutung [mm] x_{n} [/mm] <= [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{n} [/mm] >= [mm] x_{2}
[/mm]
also Folge nach oben und unten beschränkt?
Wie gehts jetzt weiter? Stimmen meine bisherigen Vermutungen?
Mit Induktion gehts schlecht denn
[mm] a_{1} [/mm] = 0 <= ??? [mm] x_{1} [/mm] ??? wegen dem a
mfg,
Hannes
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Probieren geht über Studieren.
Zunächst einmal zeigt ja schon deine Grenzwertberechnung, daß [mm]0 < a < \frac{1}{4}[/mm] gelten muß. Denn sonst würde der Radikand negativ werden. Und in der Tat scheinen das auch die [mm]a[/mm]-Werte zu sein, für die Konvergenz eintritt. Wenn man einmal ein paar Werte berechnet, sieht man, daß die Folge streng monoton wächst und beschränkt ist. Für einen Beweis liegt natürlich Induktion nahe, da die Folge rekursiv definiert ist.
Übrigens konvergiert die Folge trivialerweise auch für [mm]a=0[/mm]. Und für [mm]- \frac{3}{4} \leq a < 0[/mm] scheint die Folge auch zu konvergieren, indem sie sich dem Grenzwert nach Art einer Intervallschachtelung annähert: eines darüber, eines darunter.
Aber alles Vermutungen. Jetzt sind Beweise gefragt ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 So 20.11.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo....leider hilft mir deine Antwort auch nicht wirklich weiter wie ich jetzt vorgehen soll....ein bißl konkreter bitte.....danke
mfg,
Hannes
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Hallo Hannes,
ich find's genial, dass Du die Fixpunkte der Rekursionsformel r(x) = a + x² berechnet hast, chapeau!
Jetzt musst Du die Ergebnisse (= notwendige Bedingung) auch konsequent auswerten:
[mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{1\pm\wurzel{1-4a}}{2}
[/mm]
bedeutet ja, dass a [mm] \le \bruch{1}{4} [/mm] sein muss. 0 [mm] \le [/mm] a war Voraussetzung, also hast Du für positive a sowieso die Monotonie der Folge, jetzt fehlt die Beschränktheit:
Da der größtmögliche Grenzwert [mm] b_1 [/mm] = 1/2 ist, liefert er die Idee für die obere Schranke eines Induktionsbeweises:
Für alle 0 [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] 1/4 folgt aus [mm] a_n [/mm] < 1/2:
[mm] a_{n+1} [/mm] = a + [mm] a_n² [/mm] < 1/4 + (1/2)² = 1/2
dass auch [mm] a_{n+1} [/mm] < 1/2 ist. Das war's,
Gruß, Richard
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Mi 23.11.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo....danke....ich hab dennoch Fragen...
Mir ist klar wenn ich die Beschränktheit zeigen will muss ich ein Supremum
und Infimum definieren:
Dass ist in dem Fall: 0 <= [mm] x_{n} [/mm] <= 1/2
Wenn ich die Beschränktheit zeigen will:
a.)nach unten beschränkt: [mm] x_{n} [/mm] >= 0
b.)nach oben beschränkt: [mm] x_{n} [/mm] <= 1/2
a.) IA: n = 1 -> 0 <= 0
IV: [mm] x_{n} [/mm] >= 0
IS: n->n+1
[mm] a+x_{n}^2 [/mm] >= 0 w.A. da [mm] x_{n}>= [/mm] 0 und 1/4>a>0
b.)IA: n = 1 -> 0 <= 1/2
IV: [mm] x_{n} [/mm] <= 1/2
IS: n->n+1
a+ [mm] x_{n}^{2} [/mm] <= 1/2
[mm] x_{n}^{2} [/mm] + a - 1/2 <= 0
Hier komm ich dann nicht mehr weiter...
Deine Ausführungen kapier ich nicht...die Folge ist doch nicht [mm] a_{n} [/mm] sondern [mm] x_{n}......kann [/mm] mir wer helfen?
Ist mein Ansatz das Ganze anzugehen richtig?
Bräuchte schnell eine Lösung denn das Beispiel ist wichtig....vom Verständnis her denn am Samstag ist Klausur....
mfg,
Hannes
[mm] a+x_{n}^2 [/mm] >= 0 w.A. da [mm] x_{n}>= [/mm] 0 und 1/4>a>0
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