Bedingung für Skalarprodukt < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für welche [mm] \alpha, \beta [/mm] definiert
[mm] \pmat{ \vektor{x_1 \\ x_2},&\vektor{y_1 \\ y_2} } \mapsto x_1y_1+\alpha x_1y_2+\beta x_2y_1+x_2 y_2
[/mm]
ein Skalarprodukt auf [mm] \IR^2? [/mm] |
Ich bin jetzt erstmal auf die positive Definitheit gestoßen:
[mm] x_1^2+x_2^2+x_1x_2 (\alpha+\beta) \ge0
[/mm]
Wenn ich das etwas umforme, komme ich nur auf einen Ausdruck, der mir recht sinnlos erscheint:
[mm] \bruch{x_1}{x_2}+\bruch{x_2}{x_1} \ge -\alpha -\beta
[/mm]
Wo liegt der Fehler?
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Hallo
Ich würde zuerst die Darstellende Matrix deines Skalarproduktes aufstellen und an dieser die positive Definitheit und Symmetrie prüfen.
Da es sich um eine 2x2-Matrix handelt, kannst du einfach die Matrix in eine obere-Dreiecksmatrix umformen. Die Pivots müssen dann alle positiv sein.
Grüsse, Amaro
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Was sind denn die Pivots?
Ich komme auch einfach nicht auf den Fehler in meiner Rechnung:
[mm] x_1^2+x_2^2+x_1x_2 (\alpha+\beta) \ge [/mm] 0
=> [mm] x_1^2+x_2^2 \ge -x_1x_2 (\alpha+\beta)
[/mm]
=> [mm] x_1+\bruch{x_2^2}{x_1} \ge -x_2 (\alpha+\beta)
[/mm]
=> [mm] \bruch{x_1}{x_2}+\bruch{x_2}{x_1} \ge [/mm] - [mm] (\alpha+\beta)
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 Sa 26.09.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> Ich komme auch einfach nicht auf den Fehler in meiner
> Rechnung:
>
> [mm]x_1^2+x_2^2+x_1x_2 (\alpha+\beta) \ge[/mm] 0
>
> => [mm]x_1^2+x_2^2 \ge -x_1x_2 (\alpha+\beta)[/mm]
>
> => [mm]x_1+\bruch{x_2^2}{x_1} \ge -x_2 (\alpha+\beta)[/mm]
>
> => [mm]\bruch{x_1}{x_2}+\bruch{x_2}{x_1} \ge[/mm] - [mm](\alpha+\beta)[/mm]
Naja, Du kannst ja nicht willkührlich durch [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] teilen, da diese Werte positiv, negativ, aber auch null sein können. Das führt Dich zu Fallunterscheidungen, u.s.w.
Ich möchte Dir aber eine alternative Möglichkeit zum Nachweis eines Skalarproduktes aufzeigen. Du hast die Abbildung
[mm] $<\bullet,\bullet>:\IR^2\times\IR^2\rightarrow\IR$ [/mm] mit [mm] $<\vektor{x_1 \\ x_2},\vektor{y_1 \\ y_2}>:=x_1y_1+\alpha x_1y_2+\beta x_2y_1+x_2y_2$
[/mm]
mit [mm] $\alpha,\beta\in\IR$. [/mm] Ziel ist es nun, zu untersuchen, für welche [mm] $\alpha,\beta$ [/mm] diese Abbildung ein Skalarprodukt bildet. Generell sind dafür die folgenden drei Eigenschaften
(1): Linearität im 1. und 2. Argument sowie Multiplikation mit Skalaren
(2): Symmetrie
(3): positive Definitheit
Wir beginnen mit der dritten Eigenschaft. Dabei beachte man, dass sich jedes Skalarprodukt (im $n$-dimensionalen Raum) durch eine darstellende Matrix [mm] $A\in\IR^{n\times n}$ [/mm] wie folgt auffassen lässt:
[mm] $=x^{T}Ay$
[/mm]
In unserem Beispiel bedeutet dies:
[mm] $<\vektor{x_1 \\ x_2},\vektor{y_1 \\ y_2}>:=x_1y_1+\alpha x_1y_2+\beta x_2y_1+x_2y_2\overset{!}{=}(x_1,x_2)\pmat{ a & b \\ c & d }\vektor{y_1 \\ y_2}$
[/mm]
Multiplizieren wir die rechte Seite nun aus, so erhalten wir $a=d=1$, [mm] $b=\alpha$ [/mm] und [mm] $c=\beta$, [/mm] d.h. unsere Matrix [mm] $A\in\IR^{2\times 2}$ [/mm] sieht wie folgt aus:
[mm] $A=\pmat{ 1 & \alpha \\ \beta & 1 }$
[/mm]
Diese Abbildung [mm] $<\bullet,\bullet>$ [/mm] (ein Skalarprodukt ist sie ja noch nicht) ist genau dann positiv definit, wenn die Matrix $A$ positiv definit ist. Und die Matrix $A$ ist genau dann positiv definit, wenn alle ihre Eigenwerte streng größer als $0$ sind. Um die Eigenwerte zu bestimmen, müssen wir das charakteristische Polynom dieser Matrix bilden, d.h. wir berechnen
[mm] $\text{det}\pmat{ 1-\lambda & \alpha \\ \beta & 1-\lambda }=(1-(1+\sqrt{\alpha\beta}))\cdot(\lambda-(1-\sqrt{\alpha\beta}))$
[/mm]
D.h. Deine Matrix $A$ besitzt die zwei Eigenwerte
[mm] $\lambda_1=1+\sqrt{\alpha\beta}$
[/mm]
[mm] $\lambda_2=1-\sqrt{\alpha\beta}$
[/mm]
Unsere Bedingung für die positive Definitheit lautet nun: Wähle [mm] $\alpha,\beta\in\IR$, [/mm] so dass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:
(1): [mm] $\lambda_1=1+\sqrt{\alpha\beta}>0$
[/mm]
(2): [mm] $\lambda_2=1-\sqrt{\alpha\beta}>0$
[/mm]
Aus (2) folgt [mm] $\alpha\beta<1$. [/mm] (1) ist stets erfüllt, insofern die Wurzel definiert ist. Die Wurzel ist genau dann definiert, wenn [mm] $\alpha\beta\geqslant [/mm] 0$ erfüllt ist. Wir erhalten insgesamt:
[mm] $<\bullet,\bullet>$ [/mm] ist positiv definit [mm] $\Longleftrightarrow$ $\alpha,\beta\in\IR$ [/mm] mit [mm] $0\leqslant\alpha\beta<1$
[/mm]
Lieben Gruß
Denny
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:36 Sa 26.09.2009 | | Autor: | Egga-oerks |
Die Methode mit der darstellenden Matrix kannte ich gar nicht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:47 Sa 26.09.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
Jetzt aber auch noch die Symmetrie prüfen ;)
Grüsse, Amaro
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:07 Sa 26.09.2009 | | Autor: | Denny22 |
Sehr richtig,
dies führt uns dann zu der zusätzlichen Bedingung [mm] $\alpha=\beta$. [/mm] D.h. für die positive Definitheit und der Symmetrie der Abbildung benötigen wir
[mm] $\alpha,\beta\in\IR$ [/mm] mit [mm] $0\leqslant\alpha\beta<1$ [/mm] und [mm] $\alpha=\beta$
[/mm]
Lieben Gruß
Denny
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