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Forum "Ganzrationale Funktionen" - Bedingungen angeben
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Bedingungen angeben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 04:06 Sa 14.07.2012
Autor: Mathe-Andi

Aufgabe
Die Funktion f habe bei 1 eine Nullstelle, c und d seien aus [mm] \IR. [/mm] Welche Bedingungen müssen c und d erfüllen? Geben Sie weiter die Bedingungen für c und d an, damit f keine (eine, zwei) weitere Nullstellen hat.

Habe ich das richtig gemacht?



[mm] f(x)=2x^{3}+2x^{2}+cx+d [/mm]

f(1)= 4+c+d=0

Bedingung: c+d=-4

[mm] f(x)=2x(x^{2}+x+0,5c)+d [/mm]

[mm] x_{1,2}=-0,5\pm\wurzel{\bruch{1}{4}-\bruch{1}{2}c} [/mm]

Diskriminante [mm] D=\bruch{1}{4}-\bruch{1}{2}c [/mm]

zu berücksichtigen: f(0)=d

keine Nst: D<0 für c<0,5, [mm] d\not=0 [/mm]

eine Nst: D=0 für c=0,5, [mm] d\not=0 [/mm]

zwei Nst: D>0 für c >0,5, [mm] d\not=0 [/mm]



        
Bezug
Bedingungen angeben: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 04:23 Sa 14.07.2012
Autor: Philipp91

Hallo Mathe-Andi,

> Die Funktion f habe bei 1 eine Nullstelle, c und d seien
> aus [mm]\IR.[/mm] Welche Bedingungen müssen c und d erfüllen?
> Geben Sie weiter die Bedingungen für c und d an, damit f
> keine (eine, zwei) weitere Nullstellen hat.
>  Habe ich das richtig gemacht?

bitte schreibe die komplette Aufgabe ins Forum. Ist explizit gefordert das f ein Polynom 3. Grades ist?

>  
>
>
> [mm]f(x)=2x^{3}+2x^{2}+cx+d[/mm]
>  
> f(1)= 4+c+d=0
>  
> Bedingung: c+d=-4
>  
> [mm]f(x)=2x(x^{2}+x+0,5c)+d[/mm]
>  
> [mm]x_{1,2}=-0,5\pm\wurzel{\bruch{1}{4}-\bruch{1}{2}c}[/mm]
>  
> Diskriminante [mm]D=\bruch{1}{4}-\bruch{1}{2}c[/mm]
>  
> zu berücksichtigen: f(0)=d
>  
> keine Nst: D<0 für c<0,5, [mm]d\not=0[/mm]
>  
> eine Nst: D=0 für c=0,5, [mm]d\not=0[/mm]
>  
> zwei Nst: D>0 für c >0,5, [mm]d\not=0[/mm]
>  
>  

MFG Philipp

Bezug
        
Bezug
Bedingungen angeben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:02 Sa 14.07.2012
Autor: angela.h.b.

Hallo,

wir betrachten hier die Funktion f mit [mm] f(x)=$f(x)=2x^{3}+2x^{2}+cx+d$. [/mm]

> Die Funktion f habe bei 1 eine Nullstelle, c und d seien
> aus [mm]\IR.[/mm] Welche Bedingungen müssen c und d erfüllen?
> Geben Sie weiter die Bedingungen für c und d an, damit f
> keine (eine, zwei) weitere Nullstellen hat.
>  Habe ich das richtig gemacht?
>  
>
>
> [mm]f(x)=2x^{3}+2x^{2}+cx+d[/mm]
>  
> f(1)= 4+c+d=0
>  
> Bedingung: c+d=-4

Ja, richtig.
Also ist d=-4-c, und man kann f(x) schreiben als
[mm] $f(x)=2x^{3}+2x^{2}+cx-4-c$ [/mm] mit [mm] c\in \IR. [/mm]


>  
> [mm]f(x)=2x(x^{2}+x+0,5c)+d[/mm]

So kommst Du nicht zum Ziel.
f(x) muß für die jetzt anstehende Untersuchung in ein Produkt zerlegt werden:
Du mußt zuerst den zur Nullstelle [mm] x_1=1 [/mm] gehörenden Linearfaktor, also (x-1), ausklammern und dann das verbleibende quadratische Polynom untersuchen.

Schreibe also [mm] f(x)=2x^{3}+2x^{2}+cx-4-c [/mm] als f(x)=(x-1)*(quadratisches [mm] \quad [/mm] Polynom) und untersuche danach die Nullstellen des quadratischen Polynoms.

Das quadratische Polynom kannst Du z.B. duch Polynomdivision durch (x-1) finden.

LG Angela

>  
> [mm]x_{1,2}=-0,5\pm\wurzel{\bruch{1}{4}-\bruch{1}{2}c}[/mm]
>  
> Diskriminante [mm]D=\bruch{1}{4}-\bruch{1}{2}c[/mm]
>  
> zu berücksichtigen: f(0)=d
>  
> keine Nst: D<0 für c<0,5, [mm]d\not=0[/mm]
>  
> eine Nst: D=0 für c=0,5, [mm]d\not=0[/mm]
>  
> zwei Nst: D>0 für c >0,5, [mm]d\not=0[/mm]
>  
>  


Bezug
                
Bezug
Bedingungen angeben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:05 Sa 14.07.2012
Autor: Mathe-Andi

Ok,

für diese Untersuchung muss ich also die teilweise Linearfaktorzerlegung anstreben, damit ich das quadratische Polynom gesondert von der bereits bekannten Nullstelle untersuchen kann.

[mm] f(x)=2x^{3}+2x^{2}+cx+d [/mm]
f(1)=4+c+d=0
c+d=-4 [mm] \Rightarrow [/mm] d=-4-c
[mm] f(x)=2x^{3}+2x^{2}+cx-4-c [/mm]

Polynomdivision:

[mm] (2x^{3}+2x^{2}+cx-4-c) [/mm] : (x-1) = [mm] 2x^{2}+4x+c+4 [/mm]

Daraus ergibt sich:

[mm] f(x)=(x-1)(2x^{2}+4x+c+4) [/mm]

[mm] 2x^{2}+4x+c+4=0 [/mm]
[mm] x_{1}=-1+\wurzel{-0,5c-1} [/mm]
[mm] x_{2}=-1-\wurzel{-0,5c-1} [/mm]

Untersuchung an der Diskriminante: D=-0,5c-1

keine Nst: D<0 für c<-2
eine Nst: D=0 für c=-2
zwei Nst: D>0 für c>-2

Damit wäre die Aufgabe hoffentlich richtig gelöst!? :-)



Bezug
                        
Bezug
Bedingungen angeben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:21 Sa 14.07.2012
Autor: Diophant

Hallo,

> für diese Untersuchung muss ich also die teilweise
> Linearfaktorzerlegung anstreben, damit ich das quadratische
> Polynom gesondert von der bereits bekannten Nullstelle
> untersuchen kann.
>
> [mm]f(x)=2x^{3}+2x^{2}+cx+d[/mm]
> f(1)=4+c+d=0
> c+d=-4 [mm]\Rightarrow[/mm] d=-4-c
> [mm]f(x)=2x^{3}+2x^{2}+cx-4-c[/mm]
>
> Polynomdivision:
>
> [mm](2x^{3}+2x^{2}+cx-4-c)[/mm] : (x-1) = [mm]2x^{2}+4x+c+4[/mm]
>
> Daraus ergibt sich:
>
> [mm]f(x)=(x-1)(2x^{2}+4x+c+4)[/mm]

Richtig. [ok]

>
> [mm]2x^{2}+4x+c+4=0[/mm]
> [mm]x_{1}=-1+\wurzel{-0,5c-1}[/mm]
> [mm]x_{2}=-1-\wurzel{-0,5c-1}[/mm]
>
> Untersuchung an der Diskriminante: D=-0,5c-1
>
> keine Nst: D<0 für c<-2
> eine Nst: D=0 für c=-2
> zwei Nst: D>0 für c>-2
>
> Damit wäre die Aufgabe hoffentlich richtig gelöst!? :-)
>
>

Wenn die Anzahl der Nullstellen nur für den quadratischen Faktor gelten soll, dann ja. Bedenke aber, dass du einen Linearfaktor hast, der in jedem Fall eine Nullstelle liefert. Die Funktion f bseitzt damit, wie jede ganzrationale Funktion ungerader Ordnung, mindestens eine Nullstelle, und u.U. eben auch zwei oder drei.

Zusatzfrage: wie sieht das geometrisch aus für den Fall, dass die Diskriminante gleich Null ist und f somit zwei Nullstellen besitzt? Von welcher Art ist insbesondere eine dieser Nullstellen?


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Bedingungen angeben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:28 Sa 14.07.2012
Autor: Mathe-Andi

Ja, es ist nach keiner, einer bzw. zwei weiteren Nullstellen gefragt.

Zur Zusatzfrage:

angenommen D=0, wären die Nullstellen

[mm] x_{1}=1 [/mm]
[mm] x_{2}=-1 [/mm]
[mm] x_{3}=-1 [/mm]

Eine doppelte Nullstelle bei -1 würde sich graphisch in einem Berührpunkt an x-Achse äußern, eine Extremstelle an der die x-Achse nicht geschnitten wird.



Bezug
                                        
Bezug
Bedingungen angeben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:36 Sa 14.07.2012
Autor: Diophant

Hallo,

> Ja, es ist nach keiner, einer bzw. zwei weiteren
> Nullstellen gefragt.

alles klar, dann passt deine obige Antwort. [ok]

> Zur Zusatzfrage:
>
> angenommen D=0, wären die Nullstellen
>
> [mm]x_{1}=1[/mm]
> [mm]x_{2}=-1[/mm]
> [mm]x_{3}=-1[/mm]
>
> Eine doppelte Nullstelle bei -1 würde sich graphisch in
> einem Berührpunkt an x-Achse äußern, eine Extremstelle
> an der die x-Achse nicht geschnitten wird.

Genau so ist es. Und es ist bei vielen Aufgaben hilfreich, dies zu wissen: immer wenn die Vielfachheit einer solchen Nullstellegerade ist, liegt ein Berührpunkt vor.


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Bedingungen angeben: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 12:33 Sa 14.07.2012
Autor: leduart

Hallo
Die Auswertung für c ist falsch ausser für eine Nullstelle. z.b D>0 für c<-2
Gruss leduart

Bezug
                        
Bezug
Bedingungen angeben: Kleine Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:51 Sa 14.07.2012
Autor: Diophant

Hallo Mathe-Andi,

netterweise hat leduart gut aufgepasst: :-)

> keine Nst: D<0 für c<-2
> eine Nst: D=0 für c=-2
> zwei Nst: D>0 für c>-2

Es ist genau andersherum:

c<-2: zwei NST
c=-2: eine NST
c>-2: keine NST

Das war vermutlich ein Tipp- oder ein kleiner Denkfehler, auf jeden Fall natürlich noch wichtig, es noch zu korrigieren.


Gruß, Diophant

Bezug
                        
Bezug
Bedingungen angeben: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:52 Sa 14.07.2012
Autor: Mathe-Andi

keine Nst: D<0 für c>-2
eine Nst: D=0 für c=-2
zwei Nst: D>0 für c<-2

Stimmt ja, eine Multiplikation/Division mit einer negativen Zahl kehrt das Vorzeichen um. Danke für den Hinweis!

Bezug
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