Begrenzte Netze in LCVS < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ein Netz in einem lokalkonvexen Vektorraum ist nicht unbededingt beschränkt, was das hantieren mit Netzen recht schwierig macht.
Meine Frage ist, wann Konvergenzerhaltung von beschränkten Netzen bereits ausreicht, um Stetigkeit von Funktionen mit einem LCVS als Definitionsbereich zu charakterisieren.
Genauer:
Sei E ein lokalkonvexer Vektorraum (=:LCVS, d.h. Hausdorff'sch und mit einer Null-Umgebungsbasis bestehend aus absolutkonvexen Mengen).
Eine Abbildung f:E->X (X topologischer Raum) heiße beschränkt-stetig, falls für jedes beschränkte konvergente Netz [mm] (x_{\alpha})_{\alpha \in A} [/mm] -> x gilt, dass das Bildnetz [mm] f(x_{alpha})_{\alpha \in A} [/mm] gegen f(x) konvergiert.
Äquivalent zu beschränkt stetig ist die Aussage, dass die Einschränkung von f auf eine beliebige beschränkte Menge stetig ist.
Um das hervorzuheben, X ist ein beliebiger topologischer Raum, und f eine beliebige Abbildung (d.h. nicht unbedingt linear).
Eine LCVS E heiße vom Typ BS, falls für jeden top Raum X, jede beschränkt-stetige Abbildung f:E->X bereits stetig ist.
Beispiele für BS-Räume sind dann natürlich alle sequentiellen LCVS (d.h. Räume in denen Folgenstetigkeit äquivalent zur Stetigkeit ist), insbes. metrisierbare LCVS und Silva-Räume.
Meine Frage: Gibt es eine Beschreibung der Eigenschaft BS anhand von bekannten Kategorien/Eigenschaften von LCVS?
Ist die Klasse der BS-Räume größer als die der sequentiellen?
Gibt es einen Zusammenhang zu bornologischen Räumen?
Danke für alle Antworten.
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 24.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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