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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Do 20.01.2005 | | Autor: | SERIF |
Wenn K [mm] \in \IR [/mm] ein kompaktes Intervall und f [mm] \in [/mm] F(K,K) stetig ist.
wie kann man dann zeigen das die Fixpunktgleichung
f(x)=x lösbar ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:43 Do 20.01.2005 | | Autor: | andreas |
hallo
sei [m] [a, b] = K \subset \mathbb{R} [/m] und $f: K [mm] \to [/mm] K$ stetig.
es gilt offensichtlich [m] f(x) = x \; \Longleftrightarrow \; f(x) - x = 0 [/m]. folglich genügt es zu zeigen, dass die funktion [m] g(x) := f(x) - x [/m] eine nullstelle in $[a, b]$ hat.
es gilt $g(a) = f(a) - a [mm] \geq [/mm] a - a = 0$ und $g(b) = f(b) - b [mm] \leq [/mm] b - b = 0$. ist $g(a) = 0$ oder $g(b) = 0$, dann ist die aussage offensichtlich, ansosnten gilt $g(a) > 0 >g(b)$ und man sieht die existenz der nullstelle mit dem zwischenwertsatz, da mit $f$ auch $g$ als summe stetiger funktionen stetig ist!
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Fr 21.01.2005 | | Autor: | SERIF |
Danke dir. Reicht das wenn ich das was du geschrieben hast. als beweis nehme.?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 So 23.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
es kommt vorallem darauf an, ob DICH der beweis überzeugt! je nachdem kannst du das dann entscheiden.
grüße
andreas
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