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Forum "Integrationstheorie" - Beispiel L^p-Funktion
Beispiel L^p-Funktion < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Beispiel L^p-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:18 So 14.06.2015
Autor: Orchis

Hallo zusammen,

ich hätte mal eine Frage zu den [mm] L^{p} [/mm] Räumen: Kann man allgemein sagen, dass jede beschränkte Funktion in [mm] L^p(K) [/mm] mit 1 [mm] \leq [/mm] p [mm] \leq \infty [/mm] und K kompakter Menge liegt (jede stetige dann ja auch, da stetige Fkt. auf kompakten Mengen Max und Min annehmen)? Müsste doch eigentlich so sein, denn zum einen ist die Funktion dann wegen der Beschränktheit erst recht wesentlich beschränkt und weil glaube ich der Raum der wesentlich beschränkten Funktionen [mm] (L^{\infty}) [/mm] in den [mm] L^{p} [/mm] mit 1 [mm] \leq [/mm] p < [mm] \infty [/mm] eingebettet ist, muss die Funktion insbesondere ja in jedem anderen [mm] L^p [/mm] Raum liegen.

Kann man das so sagen oder habe ich was übersehen? Vielen Dank schonmal! :)

        
Bezug
Beispiel L^p-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:55 So 14.06.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Kann man das so sagen oder habe ich was übersehen?

das kann man nicht so sagen, das ist so....
Insofern: Alles ok.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Beispiel L^p-Funktion: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:24 Mo 15.06.2015
Autor: Orchis

Stark, danke. Wollte einmal sicher gehen, denn ich benutze das ganze immer, aber bisher hatte ich mir nie überlegt, warum...hust.

Bezug
        
Bezug
Beispiel L^p-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:25 Mo 15.06.2015
Autor: fred97


> Hallo zusammen,
>  
> ich hätte mal eine Frage zu den [mm]L^{p}[/mm] Räumen: Kann man
> allgemein sagen, dass jede beschränkte Funktion in [mm]L^p(K)[/mm]
> mit 1 [mm]\leq[/mm] p [mm]\leq \infty[/mm] und K kompakter Menge liegt (jede
> stetige dann ja auch, da stetige Fkt. auf kompakten Mengen
> Max und Min annehmen)? Müsste doch eigentlich so sein,
> denn zum einen ist die Funktion dann wegen der
> Beschränktheit erst recht wesentlich beschränkt und weil
> glaube ich der Raum der wesentlich beschränkten Funktionen
> [mm](L^{\infty})[/mm] in den [mm]L^{p}[/mm] mit 1 [mm]\leq[/mm] p < [mm]\infty[/mm] eingebettet
> ist, muss die Funktion insbesondere ja in jedem anderen [mm]L^p[/mm]
> Raum liegen.
>  
> Kann man das so sagen

Nein.


>  oder habe ich was übersehen?

Ja. Funktionen in [mm] L^p(K) [/mm] sind messbar ! Es gibt auch nichtmessbare Funktionen, die beschränkt sind.

FRED

> Vielen
> Dank schonmal! :)


Bezug
                
Bezug
Beispiel L^p-Funktion: Nachfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:45 Mo 15.06.2015
Autor: Orchis

Stimmt, das habe ich vergessen! Guter Hinweis!!!

Jetzt muss ich aber doch einmal fragen. Das Beschäftigen mit den [mm] L^p-Räumen [/mm] kam von folgender Frage:

Angenommen, ich habe eine Lösung
u:[0, 1] [mm] \to [/mm] [0, + [mm] \infty) [/mm]
einer DGL
[mm] \dot{u}(x) [/mm] = a - b u(x), a [mm] \in [/mm] (0,1), b [mm] \in [/mm] [0, 1].

Kann man irgendwas darüber sagen, ob u integrierbar ist und somit in [mm] L^1([0, [/mm] 1]) ?

Bezug
                        
Bezug
Beispiel L^p-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:15 Mo 15.06.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

insbesondere ist eine solche Lösung also differenzierbar.
Also heißt das was für u?

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Beispiel L^p-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:33 Mo 15.06.2015
Autor: Orchis

Ach, weil u stetig ist und das Intervall [0,1] kompakt, nimmt u Max und Min an. Es ist also insbesondere integrierbar.

@ Fred: Stimmt. durch Ausrechnen sieht man das auch!

Bezug
                                        
Bezug
Beispiel L^p-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:39 Mo 15.06.2015
Autor: fred97


> Ach, weil u stetig ist und das Intervall [0,1] kompakt,
> nimmt u Max und Min an. Es ist also insbesondere
> integrierbar.
>  
> @ Fred: Stimmt. durch Ausrechnen sieht man das auch!

......   als stetige Funktion ist f auch messbar ....

FRED


Bezug
                        
Bezug
Beispiel L^p-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:25 Mo 15.06.2015
Autor: fred97

Für b=0 lautet die Lösung der DGL: u(x)=ax+c (c [mm] \in \IR) [/mm]

Für b [mm] \ne [/mm] 0  lautet die Lösung der DGL: [mm] u(x)=ce^{-bx}- \bruch{a}{b} [/mm] (c [mm] \in \IR) [/mm]

FRED

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