Beispiel L^p-Funktion < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 So 14.06.2015 | | Autor: | Orchis |
Hallo zusammen,
ich hätte mal eine Frage zu den [mm] L^{p} [/mm] Räumen: Kann man allgemein sagen, dass jede beschränkte Funktion in [mm] L^p(K) [/mm] mit 1 [mm] \leq [/mm] p [mm] \leq \infty [/mm] und K kompakter Menge liegt (jede stetige dann ja auch, da stetige Fkt. auf kompakten Mengen Max und Min annehmen)? Müsste doch eigentlich so sein, denn zum einen ist die Funktion dann wegen der Beschränktheit erst recht wesentlich beschränkt und weil glaube ich der Raum der wesentlich beschränkten Funktionen [mm] (L^{\infty}) [/mm] in den [mm] L^{p} [/mm] mit 1 [mm] \leq [/mm] p < [mm] \infty [/mm] eingebettet ist, muss die Funktion insbesondere ja in jedem anderen [mm] L^p [/mm] Raum liegen.
Kann man das so sagen oder habe ich was übersehen? Vielen Dank schonmal! :)
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Hiho,
> Kann man das so sagen oder habe ich was übersehen?
das kann man nicht so sagen, das ist so....
Insofern: Alles ok.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:24 Mo 15.06.2015 | | Autor: | Orchis |
Stark, danke. Wollte einmal sicher gehen, denn ich benutze das ganze immer, aber bisher hatte ich mir nie überlegt, warum...hust.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:25 Mo 15.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
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> ich hätte mal eine Frage zu den [mm]L^{p}[/mm] Räumen: Kann man
> allgemein sagen, dass jede beschränkte Funktion in [mm]L^p(K)[/mm]
> mit 1 [mm]\leq[/mm] p [mm]\leq \infty[/mm] und K kompakter Menge liegt (jede
> stetige dann ja auch, da stetige Fkt. auf kompakten Mengen
> Max und Min annehmen)? Müsste doch eigentlich so sein,
> denn zum einen ist die Funktion dann wegen der
> Beschränktheit erst recht wesentlich beschränkt und weil
> glaube ich der Raum der wesentlich beschränkten Funktionen
> [mm](L^{\infty})[/mm] in den [mm]L^{p}[/mm] mit 1 [mm]\leq[/mm] p < [mm]\infty[/mm] eingebettet
> ist, muss die Funktion insbesondere ja in jedem anderen [mm]L^p[/mm]
> Raum liegen.
>
> Kann man das so sagen
Nein.
> oder habe ich was übersehen?
Ja. Funktionen in [mm] L^p(K) [/mm] sind messbar ! Es gibt auch nichtmessbare Funktionen, die beschränkt sind.
FRED
> Vielen
> Dank schonmal! :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Mo 15.06.2015 | | Autor: | Orchis |
Stimmt, das habe ich vergessen! Guter Hinweis!!!
Jetzt muss ich aber doch einmal fragen. Das Beschäftigen mit den [mm] L^p-Räumen [/mm] kam von folgender Frage:
Angenommen, ich habe eine Lösung
u:[0, 1] [mm] \to [/mm] [0, + [mm] \infty)
[/mm]
einer DGL
[mm] \dot{u}(x) [/mm] = a - b u(x), a [mm] \in [/mm] (0,1), b [mm] \in [/mm] [0, 1].
Kann man irgendwas darüber sagen, ob u integrierbar ist und somit in [mm] L^1([0, [/mm] 1]) ?
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Hiho,
insbesondere ist eine solche Lösung also differenzierbar.
Also heißt das was für u?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Mo 15.06.2015 | | Autor: | Orchis |
Ach, weil u stetig ist und das Intervall [0,1] kompakt, nimmt u Max und Min an. Es ist also insbesondere integrierbar.
@ Fred: Stimmt. durch Ausrechnen sieht man das auch!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:39 Mo 15.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ach, weil u stetig ist und das Intervall [0,1] kompakt,
> nimmt u Max und Min an. Es ist also insbesondere
> integrierbar.
>
> @ Fred: Stimmt. durch Ausrechnen sieht man das auch!
...... als stetige Funktion ist f auch messbar ....
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Mo 15.06.2015 | | Autor: | fred97 |
Für b=0 lautet die Lösung der DGL: u(x)=ax+c (c [mm] \in \IR)
[/mm]
Für b [mm] \ne [/mm] 0 lautet die Lösung der DGL: [mm] u(x)=ce^{-bx}- \bruch{a}{b} [/mm] (c [mm] \in \IR)
[/mm]
FRED
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