Beispiel für DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:49 Di 10.06.2008 | | Autor: | DaReava |
| Aufgabe | Finde eine Lösung für folgende DGL:
$g'(t)=-2t/g(t)$ |
Hallo!
Wieder mal ein Problem, vor dem ich da stehe:
Ich habe nicht die geringste Ahnung, auf was ich bei der Aufgabe raus soll,
bzw was dabei die Vorgehensweise ist.
Habe zwar auf verschiedenen Seiten sehr schöne allgemeine Erklärungen gefunden, was eine DGL ist, was der Sinn davon ist, etc etc-
aber leider nicht, wie ich ein so einfaches, konkretes Beispiel berechne.
Es wäre toll, wenn sich jemand die Zeit nehmen würde, einen (ausführlichen) Lösungsweg mitsamt Erklärungen zu skizzieren.
reava
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:55 Di 10.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Das ist eine Dgl. "mit getrennten Veränderlichen".
Habt Ihr in der Vorlesung kein Lösungsmethode für diesen Typ behandelt ?
FRED
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Di 10.06.2008 | | Autor: | DaReava |
Es kann sein, dass ein solches Verfahren in der Vorlesung angeschnitten wurde,
allerdings ist diese derart unstrukturiert und ohne roten Faden (es gibt etwa keine Überpunkte, welches Thema gerade behandelt wird, während ständig Sprünge gemacht werden etc), dass ich mir die Übungsaufgaben lieber allein erarbeite.
Dass das manchmal zu Problemen führt ist klar, aber bislang hat das so alles ganz gut geklappt.
Zum Thema: Dank des Stichwortes hab ich einige Aufgaben im Internet begutachtet und bin zu folgendem Schluss gekommen:
[mm] $g'(t)=\frac{-2t}{g(t)} \gdw [/mm] g(t)g'(t) = -2t$
Integriere beide Seiten:
[mm] $\int{g(t)}\,{dt} [/mm] = -2 [mm] \int{t}\,{dt}$
[/mm]
womit das Ergebniss lauten würde: [mm] $G(t)=-t^2$
[/mm]
soweit korrekt?
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Hallo DaReava,
das passt so noch nicht, trenne die Variablen g und t sorgfältig
Du kannst $g'(t)$ schreiben als [mm] $\frac{dg}{dt}$
[/mm]
Damit hast du also:
[mm] $g'=\frac{-2t}{g}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{dg}{dt}=\frac{-2t}{g} \qquad \mid \cdot{}g [/mm] \ [mm] \mbox{und} [/mm] \ [mm] \cdot{}dt$ [/mm] auf beiden Seiten:
[mm] $\Rightarrow [/mm] g \ dg \ = \ -2t \ dt$
Nun beide Seiten integrieren:
[mm] $\blue{\int}{g \ dg} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\int}{-2t \ dt}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{1}{2}g^2 [/mm] \ + \ [mm] c_1 [/mm] \ = \ [mm] -t^2 [/mm] \ + \ [mm] c_2$ [/mm] mit [mm] $c_1,c_2\in\IR$
[/mm]
Die Integrationskonstanten kannst du zu einer zusammenfassen:
[mm] $\Rightarrow \frac{1}{2}g^2 [/mm] \ = \ [mm] -t^2 [/mm] \ + \ c$, [mm] $c\in\IR$
[/mm]
Das nach $g$ auflösen...
Denke an den Definitionsbereich und daran, dass eine Lösungsfunktion [mm] $g:t\mapsto [/mm] ...$ auf einem zusammenhängenden Intervall definiert sein muss...
Gruß
schachuzipus
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