Beispiel zu Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich hänge bei folgender Aufgabe fest, und würde mich über etwaige Hilfestellung freuen.
Ist { a + [mm] \wurzel{3} [/mm] * b | a,b [mm] \in \IQ [/mm] } ein Vektorraum über [mm] \IQ [/mm] ? über [mm] \IR [/mm] ?
Danke im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:55 Do 06.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
hast du schon irgendwelche ansätze? hast du bestimmte vektorraum axiome nachgerechnet? ist es eine abelsche gruppe unter addition?
grüße
andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:12 Do 06.01.2005 | | Autor: | MrElgusive |
Ich habe nachgerechnet, dass es ein Verknüpfungsgebilde (Einselement, assoziativ, distributiv) bildet.
Für eine abelsche Gruppe muss die Verknüpfung kommutativ sein, liege ich da richtig?
Eigentlich eine dumme Frage: ist [mm] \wurzel{3} [/mm] eine rationale oder irrationale Zahl?
Grüße,
Christian.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:38 Do 06.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
> Ich habe nachgerechnet, dass es ein Verknüpfungsgebilde (Einselement, assoziativ, distributiv) bildet.
ok das ist ja schonmal was. was meinst du mit einselement? wenn du das bezüglich der addition betrachtest musst du eigentlich ein "nullelement" finden, also ein element, das bei addition nichts ändert, da bietet sich hier ja [m] 0 + \sqrt{3} \cdot 0 [/m] an!
wie gelten hier dstributivgesetze? dafür brauchst du doch zwei verknüpfungen? was war deine zweite verknüpfung?
> Für eine abelsche Gruppe muss die Verknüpfung kommutativ sein, liege ich da richtig?
genau. überlege dir mal, wie das aus der kommutativität der addition in [m] \mathbb{R}[/m] folgt!
> Eigentlich eine dumme Frage: ist eine rationale oder irrationale Zahl?
[m] \sqrt{3} [/m] muss irrational sein, denn sonst wäre [m] \{ a + \sqrt{3} \cdot b: a, b \in \mathbb{Q} \} = \mathbb{Q} [/m] (da [m] \mathbb{Q} [/m] körper ist und dann [m] a \in \mathbb{Q} [/m] und [m] \sqrt{3} \cdot b \in \mathbb{Q} [/m] und somit natürlich auch [m] a + \sqrt{3} \cdot b \in \mathbb{Q} [/m]) und damit wäre die aufgabe witzlos. zeigen, dass [m] \sqrt{3} [/m] irrational ist, kann man genauso wie bei [m] \sqrt{2} [/m] - also durch einen widerspruchsbeweis.
wenn du gezeigt hast, dass es sich um eine abelsche gruppe handelt musst du dich nur noch um die skalramultiplikation kümmern. mal soviel: im einen fall musst du zeigen, dass es nicht klappt, also z.b. ein gegenbeispiel angeben, so dass die skalarmultiplikation aus [m] \{ a + \sqrt{3} \cdot b: a, b \in \mathbb{Q} \} [/m] herausführt, im anderen fall musst du zeigen, dass es sich tatsächlich um einen vektorraum handelt! was dabei sehr nützlich sein kann ist, dass [m] \{ a + \sqrt{3} \cdot b: a, b \in \mathbb{Q} \} \subset \mathbb{R} [/m], dass du also immer in [m] \mathbb{R} [/m] rechnest egal ob du gerade [m] \mathbb{Q} [/m] oder [m] \mathbb{R} [/m] also körper für deinen vektorraum gewählt hast!
hoffe damit kommst du erstmal ein stück weiter.
grüße
andreas
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