Berechne Flächeninhalt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Mi 10.10.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Wir haben ein gleichseitiges Dreieck. Jede Seite wird in drei gleichlange Teile zerlegt. Der mittlere bildet die Grundseite eines darauf errichteten gleichseitigen Dreiecks. Dieser Prozess wird jeweils mit den neu entstandenen Seiten wiederholt.
Berechne den Flächeninhalt. |
Hallo
a= Seitenlänge des dreiecks am Anfang.
[mm] A_0 [/mm] = [mm] \frac{a^2 \wurzel{3}}{4}
[/mm]
[mm] A_1 [/mm] = [mm] A_0 [/mm] + 3 [mm] \frac{(\frac{a}{3})^2 \wurzel{3}}{4}
[/mm]
[mm] A_2 [/mm] = [mm] A_1 [/mm] + 12 [mm] \frac{(\frac{a}{9})^2 \wurzel{3}}{4}
[/mm]
[mm] A_3 [/mm] = [mm] A_2 [/mm] + 48 [mm] \frac{(\frac{a}{27})^2 \wurzel{3}}{4}
[/mm]
..
[mm] A_n [/mm] = [mm] A_{n-1} [/mm] + 3 [mm] 4^{n-1} \frac{(\frac{a}{3^n})^2 \wurzel{3}}{4}
[/mm]
für n>0
Also [mm] A_0 [/mm] ist der Flächeninhalt eines gleichseitigen dreiecks.
Bei [mm] A_1 [/mm] kommen 3 gleichseitige Dreiecke mit der Seitenlänge a/3 dazu...
[mm] A_n [/mm] = [mm] A_0 [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^{n} [/mm] 3 [mm] 4^{n-1} \frac{(\frac{a}{3^n})^2 \wurzel{3}}{4}
[/mm]
Ich weiß schon wie ich weiter umformen kann.
Aber mich stört, dass das [mm] A_0 [/mm] außerhalb der Summe ist. Kann ich das nicht in die Summe einbeziehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Mi 10.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Schnee-Flocke: Wir haben ein gleichseitiges Dreieck. Jede
> Seite wird in drei gleichlange Teile zerlegt. Der mittlere
> bildet die Grundseite eines darauf errichteten
> gleichseitigen Dreiecks. Dieser Prozess wird jeweils mit
> den neu entstandenen Seiten wiederholt.
> Berechne den Flächeninhalt.
> Hallo
> a= Seitenlänge des dreiecks am Anfang.
> [mm]A_0[/mm] = [mm]\frac{a^2 \wurzel{3}}{4}[/mm]
> [mm]A_1[/mm] = [mm]A_0[/mm] + 3
> [mm]\frac{(\frac{a}{3})^2 \wurzel{3}}{4}[/mm]
> [mm]A_2[/mm] = [mm]A_1[/mm] + 12
> [mm]\frac{(\frac{a}{9})^2 \wurzel{3}}{4}[/mm]
> [mm]A_3[/mm] = [mm]A_2[/mm] + 48
> [mm]\frac{(\frac{a}{27})^2 \wurzel{3}}{4}[/mm]
> ..
> [mm]A_n[/mm] = [mm]A_{n-1}[/mm] + 3 [mm]4^{n-1} \frac{(\frac{a}{3^n})^2 \wurzel{3}}{4}[/mm]
>
> für n>0
> Also [mm]A_0[/mm] ist der Flächeninhalt eines gleichseitigen
> dreiecks.
> Bei [mm]A_1[/mm] kommen 3 gleichseitige Dreiecke mit der
> Seitenlänge a/3 dazu...
>
> [mm]A_n[/mm] = [mm]A_0[/mm] + [mm]\sum_{k=1}^{n}[/mm] 3 [mm]4^{n-1} \frac{(\frac{a}{3^n})^2 \wurzel{3}}{4}[/mm]
>
> Ich weiß schon wie ich weiter umformen kann.
> Aber mich stört, dass das [mm]A_0[/mm] außerhalb der Summe ist.
> Kann ich das nicht in die Summe einbeziehen?
Das wir haarig, also lass es lieber. Was stört Dich denn ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 Mi 10.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Es hätte ja auch sein können, dass ich was übersehe und das leicht einzubeziehen geht.
Danke,lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:24 Do 11.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Lu-,
Setze die Fläche des ersten Dreiecks gleich Eins.
Gruß,
Wolfgang
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Hallo Lu-,
wenn Du Dein Ergebnis überprüfen möchtest, findest Du ![[]](/images/popup.gif) hier mehr zu diesem interessanten Objekt.
Die Fläche ist übrigens leichter zu bestimmen, wenn Du die in jedem Schritt hinzukommenden Flächen in Abhängigkeit von [mm] A_0 [/mm] bestimmst. So würde ich auch helbigs Tipp verstehen.
Im ersten Schritt kommt [mm] \bruch{1}{3}A_0 [/mm] hinzu, im zweiten [mm] \bruch{4}{27}A_0, [/mm] im dritten [mm] \bruch{16}{243}A_0, [/mm] im n-ten [mm] \bruch{4^{n-1}}{3^{2n-1}}A_0.
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 Do 18.10.2012 | | Autor: | Lu- |
> Im ersten Schritt kommt $ [mm] \bruch{1}{3}A_0 [/mm] $ hinzu, im zweiten $ [mm] \bruch{4}{27}A_0, [/mm] $ im dritten $ [mm] \bruch{16}{243}A_0, [/mm] $ im n-ten $ [mm] \bruch{4^{n-1}}{3^{2n-1}}A_0. [/mm] $
Hallo,
Wie kommst du auf genau die werte?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 Do 18.10.2012 | | Autor: | Helbig |
> > Im ersten Schritt kommt [mm]\bruch{1}{3}A_0[/mm] hinzu, im zweiten
> [mm]\bruch{4}{27}A_0,[/mm] im dritten [mm]\bruch{16}{243}A_0,[/mm] im n-ten
> [mm]\bruch{4^{n-1}}{3^{2n-1}}A_0.[/mm]
>
> Hallo,
> Wie kommst du auf genau die werte?
Auf jede Seite der Figur wird ein kleines Dreieck gesetzt, dessen Seite gedrittelt und dessen Fläche damit 1/9 ist. Dabei entstehen aus einer Seite vier kleine Seiten usw.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:59 Do 18.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo,
danke für die antwort.
Aber wieso steht im Nenner die Potenz : [mm] 3^{2n-1}
[/mm]
Da komme ich noch nicht drauf..
Mfg
Lu-
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:25 Fr 19.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du ein [mm] A_n [/mm] hast , mit was musst du es multiplizieren um den neuen Zuwachs zu finden?
weisst du wie man auf die 1/3, 1/27, 1/(27*9) kam?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:56 Fr 19.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Ich denke ich habs jetzt;)
Vielen DANK!
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