Berechne das Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:17 Mi 09.10.2019 | | Autor: | bondi |
| Aufgabe | | Berechne das folgende Integral: [mm] \integral \bruch{1}{t^2+9}dt [/mm] |
Hallo,
ich steige bei der Aufgabe noch nicht ganz durch. Unser Tutor hat seine Lösung geschickt.
[mm] \integral \bruch{1}{t^2+9}dt [/mm]
[mm] \integral \bruch{1}{9u^2+9}3du = \bruch{1}{3} \integral \bruch{1}{u^2+1} = \integral \bruch{1}{9u^2+9}3du = \bruch{1}{3} arctan(x)[/mm]
resubstituieren: [mm] \bruch{1}{3} \medspace arctan ( \bruch{t}{3} ) + C [/mm]
Ich habe mir die Aufgabe auf ![[]](/images/popup.gif) integralrechner.de
angeschaut. Da steht:
Substituiere [mm] u = \bruch{t}{3} \medspace \rightarrow \bruch{du}{dt} = \bruch{1}{3} \medspace \rightarrow dt = 3du [/mm]
Dass [mm] dt = 3du [/mm] ist klar. Aber wie kommt er auf [mm] u = \bruch{t}{3} \medspace [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 Mi 09.10.2019 | | Autor: | fred97 |
Wenn man dieses Integral $ [mm] \integral \bruch{1}{t^2+9}dt [/mm] $ sieht, sollte man sofort an [mm] \arctan [/mm] denken !
$ [mm] \integral \bruch{1}{t^2+9}dt= \frac{1}{9} \int \frac{1}{1+ \frac{t^2}{9}} [/mm] dt= [mm] \frac{1}{9} \int \frac{1}{1+ (\frac{t}{3})^2} [/mm] dt$.
So, nun denken wir an: $( [mm] \arctan [/mm] x)'= [mm] \frac{1}{1+x^2}$. [/mm] Damit ist die Substitution $u=t/3$ naheliegend. Damit erhalten wir
$ [mm] \integral \bruch{1}{t^2+9}dt= \frac{1}{9} \int \frac{1}{1+ u^2} [/mm] 3 [mm] du=\frac{1}{3} \int \frac{1}{1+ u^2} [/mm] du= [mm] \frac{1}{3} \arctan u+C=\frac{1}{3} \arctan(t/3)+C.$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Do 10.10.2019 | | Autor: | bondi |
Danke Fred :)
Ich bin nur noch nicht dahinter gestiegen, weshalb [mm] \bruch{du}{dt} = \bruch{1}{3} [/mm] sind.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 Do 10.10.2019 | | Autor: | fred97 |
> Danke Fred :)
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> Ich bin nur noch nicht dahinter gestiegen, weshalb
> [mm]\bruch{du}{dt} = \bruch{1}{3}[/mm] sind.
Hä ? Oben hast Du geschrieben, dass Dir das klar sei .... ??
Wir haben $u=u(t)= [mm] \frac{t}{3}$. [/mm] Dann ist $u'(t)= [mm] \bruch{du}{dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}.$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:36 Fr 11.10.2019 | | Autor: | bondi |
Alles gut. Hab [mm] du [/mm] und [mm] dt [/mm] verwechselt.
Danke :)
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