Berechne gemeinsame Verteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:45 So 18.03.2007 | | Autor: | Cyron |
| Aufgabe | Die ZV X1 und X2 seien st.u. und jeweils stetig gleichverteilt auf [0,1].
a) Berechne die Verteilung von Y=X1+X2
b) Berechne die Verteilung von Z=X1-X2 |
Die Vtlg von Y=X1+X2 hab ich noch berechnen können.
Mit folgenden Fallunterscheidungen:
Fall 2: [mm] y\in[0,1]
[/mm]
[mm] x1\in[0,y-x2] [/mm] ^ [mm] x2\in[0,y]
[/mm]
Fall3: [mm] y\in(1,2]
[/mm]
[mm] (x1\in[0,y-1] [/mm] ^ [mm] x2\in[0,1] [/mm] ) v [mm] (x1\in[y-1,1] [/mm] ^ [mm] x2\in[0,y-x1] [/mm] )
und danach dann Fubini halt.
Aber was muss ich bei Z=X1-X2 für Fallunterscheidungen machen?
Fall 2: z>=0
[mm] x1\in[0,z+x2] [/mm] ^ [mm] x2\in[z,1] [/mm]
hab ich noch hinbekommen, aber bei
Fall 3: z<=0
scheiter ich irgendwie. Würde mich über Hilfe sehr freuen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 So 18.03.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Cyron,
> Die ZV X1 und X2 seien st.u. und jeweils stetig
> gleichverteilt auf [0,1].
Was heisst st. u. ? Stetig? Unabhaengig?
>
> Aber was muss ich bei Z=X1-X2 für Fallunterscheidungen
> machen?
>
> Fall 2: z>=0
> [mm]x1\in[0,z+x2][/mm] ^ [mm]x2\in[z,1][/mm]
>
> hab ich noch hinbekommen, aber bei
>
> Fall 3: z<=0
>
> scheiter ich irgendwie.
Wenn Unabhhaengigkeit vorausgesetzt werden kann, so denke ich, dass du die Aufgabe analog zu der letzten Antwort zu
http://www.unimatheforum.de/read?t=229478
loesen kannst. Ansatz: [mm] $P(X-Y\le z)=P(X-z\le [/mm] y)$ fuer $-1<z<1$. Die Fallunterscheidungen lauten $-1<z [mm] \le [/mm] 0$ und $0 < z [mm] \le [/mm] 1$. Mach dir eine Skizze.
hth
PS: Deine LaTeX-Formatierungen sind schwer zu lesen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 So 18.03.2007 | | Autor: | Cyron |
Danke für deine Antwort!
Ja, die Aufgabe sollte eigentlich analog funktionieren, aber ich bekomme die Integrationsgrenzen einfach nicht raus. Die Lösung für X+Y kriege ich auch raus, aber für X-Y seltsamerweise nicht (man weiß ja was rauskommen muss).
(i) [mm] 0
[mm] $P(X-Y\le z)$={\integral_{z}^{1}{}}{\integral_{0}^{z+x2}{dx1 dx2}}={\integral_{z}^{1}{(z+x2) dx2}}=z+0.5-0.5z²
[/mm]
(ii) [mm] -1
[mm] $P(X-Y\le z)$={\integral_{a}^{b}{}}{\integral_{c}^{d}{dx1 dx2}}= [/mm] ?
Wie komm ich da auf die Grenzen a-d ? Hab mir schon ne Skizze gemalt, aber es will einfach nicht das richtige rauskommen..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 So 18.03.2007 | | Autor: | luis52 |
Aufgrund *meiner* Skizze erhalte ich fuer $-1<z<0$:
[mm] $P(X-Y\le z)=\int_0^{z+1}\int_{x_1-z}^1\, dx_2\, dx_1=\frac{(1+z)^2}{2}$.
[/mm]
hth
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:12 Mo 19.03.2007 | | Autor: | Cyron |
Vielen Dank! Das Ergebnis ist offensichtlich richtig.
Wie aber kommt man zu den Integrationsgrenzen?
Meine Vermutung:
1. Berechnung der Grenzen [mm] x2\in[x1-z,1]
[/mm]
z=x1-x2 => x2=x1-z
=> Vermutung: Entweder ist [mm] x2\in[0,x1-z] [/mm] oder [mm] x2\in[x1-z,1]
[/mm]
Sei z.B. z=-0.5 => x2=x1+0.5
Sei z.B. z=-0.8 => x2=x1+0.8
=> x2 wird immer größer und erreicht irgendwann die 1 und nicht die Null
=> [mm] x2\in[x1-z,1], [/mm] da [mm] x2\in[0,1]
[/mm]
2. Berechnung der Grenzen [mm] x1\in[0,z+1]
[/mm]
Sei x1=0 => x2=-z => P(0/-z)
Sei x2=0 => x1=z => P(z/0)
Durch diese beiden Punkte ziehe ich eine Gerade.
[mm] x1\in[0,1] [/mm] und [mm] x2\in[0,1] [/mm] ergibt ein Quadrat.
Die Gerade schneidet das Quadrat an den Punkten (0/-z) und (z+1,1)
=> [mm] x1\in[0,z+1]
[/mm]
Ist meine Erklärung richtig ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:45 Mo 19.03.2007 | | Autor: | luis52 |
> Die Gerade schneidet das Quadrat an den Punkten (0/-z) und
> (z+1,1)
> => [mm]x1\in[0,z+1][/mm]
>
> Ist meine Erklärung richtig ?
Es sieht so aus, wenngleich ich Muehe habe sie zu entziffern. Warum schreibst du x1 anstatt x_1?
Siehe Graphik.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Mo 19.03.2007 | | Autor: | Cyron |
Vielen Dank! Ich weiß eigentlich müsst ich es jetzt langsam mal verstanden haben, aber ich habe doch nochmal eine Frage:
Ich habe dieselbe Aufgabe für [mm] Z=X_1-X_2 [/mm] mit [mm] z\ge0 [/mm] gemacht.
[mm] x_1\in[z,1] [/mm] ist mir klar. Wieder wegen der Skizze und weil die Gerade das Quadrat an den Punkten (z/0) und (1/1-z) schneidet.
[mm] x_2\in[0,z+x1] [/mm] ist mir jetzt aber völlig unklar.
Ich hätte gedacht: [mm] x_2\in[0,x_1-z], [/mm] wegen
[mm] z=x_1-x_2 [/mm] => [mm] x_2=x_1-z [/mm] und dann halt [mm] x_2\in[0,x_1-z] [/mm] oder [mm] x_2\in[x_1-z,1] [/mm] als mögliche Grenzen.
Da [mm] z\ge0 [/mm] und somit [mm] x_1-z [/mm] irgendwann die Null erreicht hätte ich mich für [mm] x_2\in[0,x_1-z] [/mm] entschieden.
Warum also [mm] x_2\in[[0,z+x_1] [/mm] anstatt [mm] x_2\in[0,x_1-z] [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Mo 19.03.2007 | | Autor: | luis52 |
Ich meine zu verstehen, wo unsere Schwierigkeiten liegen. In einer deiner Antworten wolltest du ein Integral bestimmen, bei dem [mm] $x_2$ [/mm] die aeussere Integrationsvariable ist. Bei mir ist es [mm] $x_1$, [/mm] wenn ich so rechne:
[mm] $P(Z\le [/mm] z)= [mm] P(X_1-X_2\le z)=\int_0^{z+1}\int_{x_1-z}^1\, dx_2\,dx_1=\frac{(1+z)^2}{2} [/mm] $.
Dann schaue ich von unten nach oben. Schaut man in der Skizze von links nach rechts, so kann man [mm] $P(Z\le [/mm] z)$ auch so bestimmen:
[mm] $P(Z\le [/mm] z)= [mm] P(X_1-X_2\le z)=\int_{-z}^{1}\int_0^{x_2+z}\, dx_1\,dx_2=\frac{(1+z)^2}{2} [/mm] $.
hth
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Mo 19.03.2007 | | Autor: | Cyron |
Ja, aber wie kommt man auf
[mm] {\integral_{x_1-z}^{1}{dx_2}}
[/mm]
bzw
[mm] {\integral_{0}^{x_2+z}{dx_1}}
[/mm]
? (Ich meine die inneren Integrale)
Die äußeren Integrale sind klar wegen der Skizze. Aber wie komme ich auf die inneren Integrale ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Mo 19.03.2007 | | Autor: | luis52 |
> Die äußeren Integrale sind klar wegen der Skizze. Aber wie
> komme ich auf die inneren Integrale ?
Wenn du [mm] $x_2$ [/mm] mit [mm] $-z
Mehr kann ich nicht sagen. Vielleicht uebernimmt ja mal ein anderer Helfer...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:52 Mo 19.03.2007 | | Autor: | Cyron |
Bei der Fallunterscheidung [mm] z\le0 [/mm] kommt das auch hin.
Jetzt aber mal bei der Aufgabe: Berechne die Verteilung von [mm] Z=X_1-X_2
[/mm]
Fall: [mm] z\ge0
[/mm]
Skizze: Schnittpunkte der Geraden bei (z/0) und (1/1-z). Alles rechts der Geraden im Quadrat ist die gesuchte Fläche.
Satz:
Wenn ich [mm] x_2 [/mm] mit [mm] 0
Das ergibt das Integral [mm] {\integral_{0}^{1-z}{}}{\integral_{x_2+z}^{1}{dx_1}}dx_2=0.5z²-z+0.5
[/mm]
Ergebnis ist aber falsch. Mach ich was verkehrt oder muss man bei der Aufgabe anders vorgehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Mo 19.03.2007 | | Autor: | luis52 |
>
> Jetzt aber mal bei der Aufgabe: Berechne die Verteilung von
> [mm]Z=X_1-X_2[/mm]
> Fall: [mm]z\ge0[/mm]
>
> Skizze: Schnittpunkte der Geraden bei (z/0) und (1/1-z).
> Alles rechts der Geraden im Quadrat ist die gesuchte
> Fläche.
>
> Satz:
> Wenn ich [mm]x_2[/mm] mit [mm]0
> Integral), dann kann [mm]x_1[/mm] von der Geraden [mm]z=x_1-x_2[/mm] <=>
> [mm]x_1=x_2+z[/mm] bis 1 gewählt werden
>
> Das ergibt das Integral
> [mm]{\integral_{0}^{1-z}{}}{\integral_{x_2+z}^{1}{dx_1}}dx_2=0.5z²-z+0.5[/mm]
>
> Ergebnis ist aber falsch. Mach ich was verkehrt oder muss
> man bei der Aufgabe anders vorgehen?
Dein inneres Integral ist falsch. Du musst ueber die beiden Flaechen $A$ und $B$ integrieren. Bedenke: Es muss [mm] $x_2\ge x_1+z$ [/mm] erfuellt sein.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. 2 (fehlt/gelöscht)]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:55 Mo 19.03.2007 | | Autor: | Cyron |
Bei der Geraden hast du dich vertan, da müsste [mm] x_1-x_2=z [/mm] hin, oder? Und dann ist das innere Integral bei B nicht [mm] {\integral_{0}^{x_2-z}{}}, [/mm] sondern [mm] {\integral_{0}^{x_2+z}{}}, [/mm] oder?
Falls ja, dann habe ich es endlich verstanden. Danke, danke, danke!!!
Mein Problem zuletzt war, dass ich die falsche Fläche im Sinn hatte und gar nicht auf das [mm] P(X_1-X_2 \le [/mm] z) eingegegangen bin und den Teil der Skizze integrieren wollte der gar nicht schraffiert ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:29 Di 20.03.2007 | | Autor: | luis52 |
> Bei der Geraden hast du dich vertan, da müsste [mm]x_1-x_2=z[/mm] hin, oder?
Ja.
> Und dann ist das innere Integral bei B nicht
> [mm]{\integral_{0}^{x_2-z}{}},[/mm] sondern
> [mm]{\integral_{0}^{x_2+z}{}},[/mm] oder?
Ja.
> Falls ja, dann habe ich es endlich verstanden. Danke,
> danke, danke!!!
>
Werde die Graphik fuer die Nachwelt korrigieren. Wer weiss, wofuer man das noch einmal brauchen kann...
Schoenen Tag.
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