Berechnen einer Reihe < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:45 Mo 15.01.2007 | | Autor: | jaenz |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^n} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Parallel dazu war die (hoffentlich) ähnliche Reihe [mm]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}[/mm] gegeben, die ich mit folgendem Ansatz berechnet habe:
Durch einfaches Differenzieren der geometrischen Reihe, Einsetzen von [mm]\frac{1}{2}[/mm] und Multiplizieren dessen mit [mm]\frac{1}{2}[/mm] erhält man als Ergebnis diese Reihe. Als Ergebnis erhalte ich 2.
Kann ich diesen Ansatz ausbauen und wenn ja, wie? Oder wie sieht sonst ein Lösungsansatz aus. Es müsste wohl 6 rauskommen...
Bin für jede Hilfe dankbar.
Gruß
Jens
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 Di 16.01.2007 | | Autor: | moudi |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Jens
Ja es funktioniert ähnlich, aber man muss ein bisschen "kreativer" sein.
Sei $s=\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}$ und sei $t=\sum_{n=1}^\infty\frac{n^2}{2^n}$, dann gilt $2(s+t)=\sum_{n=1}^\infty \frac{n(n+1)}{2^{n-1}}=\left.\sum_{n=1}^\infty n(n+1)x^{n-1}\right|_{x=1/2}$.
Weiter ist $\sum_{n=1}^\infty n(n+1)x^{n-1}=\frac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^\infty (n+1)x^n\right)= \frac{d^2}{dx^2}\left(\sum_{n=-1}^\infty x^{n+1}\right)=\frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{1}{1-x}\right)$
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:48 Di 16.01.2007 | | Autor: | jaenz |
Der Einfall kam mir dann zum Glück auch noch in der Nacht, war aber dann doch zu müde, das noch zu posten.
Danke und Grüße
Jens
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