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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:46 Sa 10.06.2006 | | Autor: | Fliege |
| Aufgabe | Berechnen Sie, ob es ein Maximum oder ein Minimum gibt!!!
Nach diesem Schema:
f(x)=1-x²
f'(x)=-2x
-2x=0 [mm] \:(-2)
[/mm]
x=0
f'(-1)=2 (hier eine Zahl kleiner als 0) (in die ableitung einsetzen)
f'(1)=-2 (hier, eine zahl, größer als 0)(in die ableitung einsetzen)
an der Stelle x=0
f(0)=1 (in die funktion einsetzen)
Maximum bei (0/1) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo, also meine frage ist dazu jetzt, wie ich folgende aufgaben nach diesem schema berechnen kann: f(x)=2x3+3x2-12x+1
f(x)=x5+x3+x+1
f(x)=x4-8x3+22x2-24x+3
wär echt super, wenn mir jemand helfen könnte, weil ich solche aufgaben für meine klusur berechnen können muss!!!
vielen lieben dank, eure fliege
achso, also hinter den x.. sollen hochzahlen sein, weiss nur nicht, wie man die auf'm computer schreibt!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 Sa 10.06.2006 | | Autor: | Disap |
> Berechnen Sie, ob es ein Maximum oder ein Minimum gibt!!!
> Nach diesem Schema:
> f(x)=1-x²
> f'(x)=-2x
> -2x=0 [mm]\:(-2)[/mm]
> x=0
> f'(-1)=2 (hier eine Zahl kleiner als 0) (in die ableitung
> einsetzen)
> f'(1)=-2 (hier, eine zahl, größer als 0)(in die
> ableitung einsetzen)
> an der Stelle x=0
> f(0)=1 (in die funktion einsetzen)
> Maximum bei (0/1)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> hallo, also meine frage ist dazu jetzt, wie ich folgende
Hallo Fliege, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!!!
> aufgaben nach diesem schema berechnen kann:
> f(x)=2x3+3x2-12x+1
> f(x)=x5+x3+x+1
>
> f(x)=x4-8x3+22x2-24x+3
Zunächst einmal brauchst du die Ableitungen. Na gut, zumindest die erste.
Also musst du jede Funktion einmal ableiten
[mm] $f(x)=2x^3+3x^2-12x+1$
[/mm]
$f'(x) = ?$
Beim Ableiten kommst du auf einen 'quadratischen' Term, den du z. B. mit der PQ-Formel oder anderen Formeln lösen kannst. Je nachdem, was du da gelernt hast.
[mm] $g(x)=x^5+x^3+x+1$
[/mm]
$g'(x) = ?$
Du bekommst beim Ableiten einen Term dieser Art:
[mm] $ax^4+bx^2+c$
[/mm]
Die Nullstellen dieses Terms kannst du mit Hilfe der Substitution berechnen, und zwar [mm] x^2=z.
[/mm]
[mm] h(x)=x^4-8x^3+22x^2-24x+3
[/mm]
$h'(x) = ?$
Hier bekommst du eine 'häßlichere' Form:
[mm] ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
Die Nullstellen dieses Terms sind nicht leicht zu finden. Entweder numerisch oder wenn die Nullstellen (der Ableitung! - ansonsten musst du Extrema sagen) Zahlen wie 1,2,3,4 etc. sind, sind es die ganzzahligen Teiler des Absolutgliedes d die Nullstellen. Du musst also eine Nullstelle 'raten' und dann die Polynomdivision durchführen. Schon einmal davon gehört?
> wär echt super, wenn mir jemand helfen könnte, weil ich
> solche aufgaben für meine klusur berechnen können muss!!!
Um zumindest deine Ergebnisse (oder schöner wären natürlich auch Rechenschritte) noch einmal zu posten, wirst du schwer drumrumkommen. Du möchtest da doch sicherlich auch das Ergebnis wissen -> Aber ein gewisses Mass an Eigenleistung ist im Matheraum auch erwünscht.
> vielen lieben dank, eure fliege
> achso, also hinter den x.. sollen hochzahlen sein, weiss
> nur nicht, wie man die auf'm computer schreibt!!!
Oben links auf der Tastatur (neben der 1 und unter dem ESC-Zeichen und über dem Tabulator) befindet sich folgendes Zeichen: ^ . Das kennst du vielleicht vom ^^ Smiley. Vor jeder Hochzahl (sofern es nur eine ist), drückst du einmal die Taste mit dem Dach (die oben links halt) und dann die Hochzahl.
Der Quelltext für [mm] x^5 [/mm] sieht so aus: x^ 5 nur ohne Leerzeichen zwischen dem Dach und der 5.
Sonst etwas unklar?
LG Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Sa 10.06.2006 | | Autor: | Fliege |
Okay, also für die erste aufgabe bin ich so weit gekommen:
[mm] f(x)=2x^3+3x²-12x+1
[/mm]
f'(x)=6x²+6x-12 (die Ableitung)
dann muss ich das gleich null setzten: 6x²+6x-12=0
und dann muss ich es irgendwie schaffen, dass da nur noch steht x=...
aber in diesem fall geht das nicht! aber ich glaube, dass wenn ich jetzt alles durch 6 teile, es mit der pq-formel lösen kann, oder?!!!
das wäre dann so: x²+x-2=0 p=1 q=-2
x1/x2=-1:2+/-wurzel(1:2)²+2
x1/x2=-0,5+/-wurzel 2,25
x1=1 x2=2
ist das so richtig??? und was muss ich als nächstes tun? oder ist das das ergebnis jetzt? also kann ich jetzt sagen, dass es ein extrema an diesen punkten gibt? nee, oder, weil ich weiss ja nicht, ob es ein minimum oder maximum ist!!! bitte um hilfe!!! lg fliege
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Sa 10.06.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Okay, also für die erste aufgabe bin ich so weit gekommen:
> [mm]f(x)=2x^3+3x²-12x+1[/mm]
> f'(x)=6x²+6x-12 (die Ableitung)
>
> dann muss ich das gleich null setzten: 6x²+6x-12=0
> und dann muss ich es irgendwie schaffen, dass da nur noch
> steht x=...
> aber in diesem fall geht das nicht! aber ich glaube, dass
> wenn ich jetzt alles durch 6 teile, es mit der pq-formel
> lösen kann, oder?!!!
> das wäre dann so: x²+x-2=0 p=1 q=-2
> x1/x2=-1:2+/-wurzel(1:2)²+2
> x1/x2=-0,5+/-wurzel 2,25
> x1=1 x2=2
>
> ist das so richtig???
Fast, die Nullstellen der Ableitung (aslo mögliche Extrema) sind -1 und 2, ich schätze mal, du hast dich nur vertippt.
> und was muss ich als nächstes tun?
> oder ist das das ergebnis jetzt? also kann ich jetzt sagen,
> dass es ein extrema an diesen punkten gibt?>nee, oder, weil
> ich weiss ja nicht, ob es ein minimum oder maximum ist!!!
Um zu testen, ob ein Minimum oder Maximum vorliegt, brauchst du die 2. Ableitung. In dieser setzt du jetzt deine Nullstellen der ersten Ableitung ein . Also in deinem Fall: Die 2. Ableitung: f´´(x) = 12x - 6.
Ist das Ergebnis negativ, ergibt sich ein Maximum, ist es Positiv, ergibt sich ein Minimum (ich weiss, das hört sich falsch an, ist aber so...) Also in deinem Fall:
f´´(-1) = -18 < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] An der Stelle x = -1 ist ein Maximum
f´´(-2) = ... > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] An der Stelle x = 2 ist ein Minimum.
Um die genauen Punkte zu ermitteln, musst du noch f(-1) und f(2) berechnen.
> bitte um hilfe!!! lg fliege
Ich hoffe, das hilft weiter.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Sa 10.06.2006 | | Autor: | Fliege |
Ja also das hilft mir auf jeden fall weiter, nur ich verstehe zwei sachen nicht: einmal, wie du auf 12x-6 kommst, weil ich komme da auf +6, und was du mit dem ende meinst, dass ich nur noch x=-1 und x=2 ausrechnen muss?????
außerdem wärs echt suuuppaaaaaaa lieb, wenn du mir bei folgender aufgabe noch helfen könntest: [mm] f(x)=x^5+x³+x+1
[/mm]
da ist die ableitung: [mm] f'(x)=5x^4+3x²+1
[/mm]
aber jetzt komme ich gar nicht mehr weiter, weil ich ja x² brauche um die pq-formel anzuwenden, oder?!!! wäre echt super nett, wenn du mir hier auch helfen könntest!!!
lieben gruß, fliege
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Sa 10.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fliege!
> da ist die ableitung: [mm]f'(x)=5x^4+3x²+1[/mm]
Wenn du hier substituierst $z \ := \ [mm] x^2$ [/mm] erhältst Du eine "normale" quadratische Gleichung:
[mm] $5*z^2+3*z+1 [/mm] \ = \ 0$
Am Ende die Resubstitution [mm] $x_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] \pm [/mm] \ [mm] \wurzel{z}$ [/mm] nicht vergessen.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:49 So 11.06.2006 | | Autor: | Fliege |
hi, also ich verstehe nicht was substiution oder so heißt??? haben wir noch nie gemacht...
kannst du mir dabei vllt doch noch weiter helfen, weil ich weiss echt nicht mehr weiter!!!!
lg, fliege
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:27 So 11.06.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo Fliege.
> hi, also ich verstehe nicht was substiution oder so
> heißt??? haben wir noch nie gemacht...
> kannst du mir dabei vllt doch noch weiter helfen, weil ich
> weiss echt nicht mehr weiter!!!!
Der Gag ist eigentlich ganz einfach an dieser Aufgabe. Wie Loddar schon (hoffentlich verständlich) hergeleitet hat, kommt man durch die Substitution auf den Term:
$ [mm] 5\cdot{}z^2+3\cdot{}z+1 [/mm] \ = \ 0 $
Das ist ein quadratischer Ausdruck, den du erst einmal wie gewohnt auflösen kannst mit Hilfe der PQ-Formel.
Du erhälst das Ergebnis:
[mm] z_{1,2}=\br{-3}{10}\pm\sqrt{\br{9}{100}-\br{20}{100}}
[/mm]
Da die Diskriminante (der Term unter der Wurzel) kleiner null ist, gibt es keine Lösung für die Aufgabe, also hat die Funktion [mm] $f(x)=x^5 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] + x + 1$ keine Extremstellen!
Oder hast du da irgendwie ein Minus mit einem Plus vertauscht?
> lg, fliege
L G
Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 So 11.06.2006 | | Autor: | Fliege |
okay, also so weite habe ich das verstanden, was mir aber noch probleme macht ist, dass vor dem z² ja keine zahl mehr stehen darf. also muss ich doch alles durch 5 teilen, oder??!!! das habe ich dann gemacht, und dann bekomme ich da raus: z²+o,6z+0,2=0
ist das richtig??
und wenn ich dann die pq formel anwende, dann muss ich einmal die wurzel nehmen, aber dann ist da eine negative zahl, und von denen kann man ja keine wurzel nehmen..??!!!
wie kommst du denn auf das ergabnis mit diesem 9/100???
wär echt klasse wenn du mir das noch erklären könntest!!!
lieben gruß, fliege
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 So 11.06.2006 | | Autor: | Disap |
Moin.
> okay, also so weite habe ich das verstanden, was mir aber
> noch probleme macht ist, dass vor dem z² ja keine zahl mehr
> stehen darf. also muss ich doch alles durch 5 teilen,
> oder??!!! das habe ich dann gemacht, und dann bekomme ich
> da raus: z²+o,6z+0,2=0
Richtig!
$ [mm] 5*z^2+3*z+1 [/mm] = 0 // :5$
$ [mm] z^2+\br{3}{5}*z+\br{1}{5} [/mm] = 0$
> ist das richtig??
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das ist genau das, aber ich persönlich schleppe lieber die Brüche mit herum :)
> und wenn ich dann die pq formel anwende, dann muss ich
> einmal die wurzel nehmen, aber dann ist da eine negative
> zahl, und von denen kann man ja keine wurzel nehmen..??!!!
Ja, genau das ist der Widerspruch in der Aufgabe.
>
> wie kommst du denn auf das ergabnis mit diesem 9/100???
> wär echt klasse wenn du mir das noch erklären könntest!!!
Die Rechnung ist, glaube ich, das passende Mittel:
$ [mm] z^2+\br{3}{5}*z+\br{1}{5} [/mm] = 0$//PQ
[mm] $z_{1,2}=\br{-3}{\red{2}*5}\pm\sqrt{(-\br{3}{\red{2}*5})^2-\br{1}{5}}$
[/mm]
[mm] $=\br{-3}{10}\pm\sqrt{(-\br{3}{10})^2-\br{1}{5}}$
[/mm]
[mm] $=\br{-3}{10}\pm\sqrt{\br{9}{100}-\br{1}{5}}$
[/mm]
Und wenn man den Bruch [mm] \br{1}{5} [/mm] noch auf den Nenner '100' bringt, erhält man [mm] \br{20}{100}
[/mm]
[mm] $=\br{-3}{10}\pm\sqrt{\br{9}{100}-\br{20}{100}}$
[/mm]
> lieben gruß, fliege
Alles klar?
Es grüßt
Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 So 11.06.2006 | | Autor: | Fliege |
hallöle, ja also ich glaube ich habe es jetzt echt verstanden!!! vielen lieben dank!!! aber nur noch eine kleine frage: wieso ist es +3/5, weil ich habe da minus raus...weil die pq formel doch -p/2 ist, oder?????
du hast mir echt super viel geholfen!!!! danke, danke, danke, lieben gruß, fliege
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Hallo Fliege,
ich habe zwar den Rest der Aufgabe nur überflogen, aber in diesem Falle hast du Recht. Die p-q-Formel angewandt auf die Gleichung $ [mm] z^2+\br{3}{5}\cdot{}z+\br{1}{5} [/mm] = 0 $ liefert
[mm] z_{1,2}=-\bruch{3}{5}...
[/mm]
Viele Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:46 So 11.06.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo zusammen.
> [mm]z_{1,2}=\red{-}\bruch{3}{5}...[/mm]
Ai ai ai, da ist mir tatsächlich das Vorzeichen verloren gegangen, ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") .
Guter Hinweis von Fliege und mathmetzsch.
Meine Antwort ist natürlich jetzt editiert worden!
Es dankt:
Disap
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 Sa 10.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fliege!
> verstehe zwei sachen nicht: einmal, wie du auf 12x-6
> kommst, weil ich komme da auf +6,
Da hast Du Recht, das muss $f''(x) \ = \ 12*x \ [mm] \red{+} [/mm] \ 6$ heißen.
> und was du mit dem ende meinst, dass ich nur noch x=-1 und x=2
> ausrechnen
Da sind die zugehörigen Funktionswerte [mm] $y_{\max} [/mm] \ = \ f(-1)$ bzw. [mm] $y_{\min} [/mm] \ = \ f(2)$ gemeint.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:40 Sa 10.06.2006 | | Autor: | Fliege |
Hey lodder, kannst du mir vllt trotzdem noch bei der anderen aufgabe helfen?!!! wär echt super!!! lieben gruß, fliege
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